《杆件的内力截面法》PPT课件

第五章杆件的内力,5-1杆件的拉伸（压缩）内力5-2杆件的扭转内力5-3弯曲内力剪力与弯矩5-4剪力图和弯矩图5-6剪力、弯矩和载荷集度间的微分关系5-7平面刚架与平面曲杆的弯矩内力,5-1杆件的拉伸或压缩时的内力,计算简图,二、轴力与轴力图,a）假想地将构件沿截面m-m处一分为二；,b)取其中任一部分为研究对象;,c)由平衡条件,FN分布内力系的合力轴力,符号规定：拉为正(+)，压为负(-),求得内力,外力不能沿作用线移动。因为材料力学中研究的对象是变形体，不是刚体，力的可传性不成立。对变形体而言，力是定位矢量。,1、轴力,注意,2、轴力图,用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图。将正的轴力画在上侧，负的画在下侧。,解:1)AB段：,3)CD段,轴力图,2)BC段：,轴力图,2)BC段：,1、用截面法求轴力时，取留下的一部分作受力图时，在切开的截面上建议假设正的轴力，由平衡方程得出的FN值为正，说明轴力为正（拉力）；FN值为负，说明轴力为负（压力）。,注意,5-2扭转的概念.扭矩与扭矩图,一、扭转的概念,1受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。2变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。轴：以扭转为主要变形的构件称为轴。,计算简图,二、外力偶矩的计算,已知：P传递的功率,（kw）n转速,（r/min）求：外力偶矩Me(Nm),由此求得外力偶矩：,若传递功率单位为马力（PS)时,由于1PS=735.5Nm/s,解：,三、扭矩与扭矩图,1、扭矩,扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）,T称为截面n-n上的扭矩。,用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正，如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。,注意,2、扭矩图,解：各轮上的外力偶矩：,在BC段内，假想以截面1-1将轴分成两部分，取左半部分为研究对象,例：已知：传动轴，n=300r/min，PA=36kW，PB=PC=11kW，PD=14kW。试画出轴的扭矩图。,同理，CA段：,AD段：,扭矩图,5-3弯曲的概念.剪力与弯矩,受力特点：在包含杆轴的纵向平面内作用一对大小相等、方向相反的力偶或在垂直于杆件轴线方向作用横向力。变形特点：杆件轴线由直线变为曲线。,一、弯曲的概念,对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲（或平面弯曲）。,非对称弯曲：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面内这种弯曲称为非对称弯曲。,二、梁的计算简图,简支梁：一端为固定铰支座，而另一端为可动铰支座，如右图a所示。,悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端的梁，如右图b所示。,外伸梁：一端伸出支座之外的梁，如右图c所示。,静定梁：梁的所有支座反力均可由静力平衡方程确定。,跨：梁在两支座之间的部分称为跨，其长度称为梁的跨长。,三、弯曲内力,1、由梁的静力平衡方程求两端的支座反力FA、FB,2、用假想截面m-m将梁分为两部分，并以左段为研究对象；,FS称为横截面m-m上的剪力，它是与横截面相切的分布内力系的合力。,M称为横截面m-m上的弯矩。它是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。,剪力与弯矩的符号规定：,弯矩：下凸为正，反之为负,剪力：“左上右下”为正，反之为负,剪力对所取梁段内任意一点的矩为顺时针，为正剪力，反之为负（顺为正，逆为负）。,固定截面，若外力或外力偶使梁产生上挑的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负）。,解：1.求支座反力,得,2.求截面11上的内力,同理,对于C左截面：,对于C右截面：,平衡方程求解内力的正负号表示假设方向与实际方向关系。,在集中力作用处，左右截面上剪力发生突变，突变值为该集中力的大小；而弯矩保持不变。,例1如图所示的简支梁，试求11及C左右截面上的内力。,求截面FS和M时，均按规定正向假设，这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩正负号也作同样判断。,建议,解：1.求支反力,2.求截面C的内力,注：对悬臂梁，可取截面到自由端部分为研究对象，可省略求支反力,3.求距A为x处截面的内力,例2如图所示的悬臂梁，求截面C及距A端为x处截面的内力。,5-4剪力图和弯矩图,一、剪力、弯矩方程,若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩,可以表示为x的函数，称为剪力和弯矩方程，即,三、根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图的步骤,第一，求支座反力。第二，根据截荷情况分段列出FS(x）和M(x)方程。在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点，对应的截面称为控制截面。第三，求控制截面内力，作FS、M图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，FS=0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控制截面的内力值标在坐标的相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。并注明的数值。,二、剪力图及弯矩图一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化，将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形分别称为剪力图和弯矩图,例3试画出如图示简支梁AB的剪力图和弯矩图。,解：1.求支反力，由,得,2.列剪力、弯矩方程,在AC段内，,在BC段内,集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小弯矩图上无突变，但斜率发生突变，折角点,在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。,例4受均布载荷作用的简支梁，如下图所示，作梁的剪力图和弯矩图。,解：1.求支反力,2.列剪力、弯矩方程,3.求控制截面处的剪力和弯矩,4.作剪力图和弯矩图,例5如图示的简支梁，试作梁的剪力图和弯矩图。,解：1.求支反力，由,2.求内力,在AC段内,在BC段内,得,3.画剪力图和弯矩图,在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为:,而剪力图无改变,注意x取值范围等号的取法：,1.在集中力作用处(剪力图中有突变)，剪力方程中x的取值没有等号；,2.在集中力偶作用处(弯矩图中有突变)，弯矩方程中x的取值没有等号；,3.对于某一截面，在无限接近的范围内，左右相等才有“”,即剪力图和弯矩图为连续时才有等号。,(0xa),(axl),集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小;弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。,在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。,在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且弯矩M最大值发生于FS=0处。,在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力偶的大小而剪力图无改变。,5-5剪力、弯矩及载荷集度间的微分关系,规定：分布载荷q向上为正。,解：考虑dx段的平衡,第二式中最后一项为高阶微量，可以略去，故得,上式再对x一次微分，得,以上三式给出了q(x)、FS(x)、M(x)间的导数关系。它表明：1、剪力图上某点处的斜率等于梁在该点处荷载集度q(x)的大小。2、弯矩图上某点处的斜率等于梁在该点处剪力F(x)的大小。3、弯矩图上某点处的斜率变化率等于梁在该点处的分布载荷集度。,4、利用导数关系，经过积分得,以上两式表明，在x=x2和x=x1两截面上的剪力之差，等于两截面间载荷图的面积；两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。,剪力FS(x)=C(常数），剪力图为一条水平直线；,弯矩M(x)CxD,即弯矩为x的一次函数，弯矩图为一斜直线，,当FS0时，弯矩图(/)；,当FS0时，弯矩图()。,剪力FS(x)为x的一次函数,剪力图为斜直线，而弯矩M(x)为x的二次函数，弯矩图为抛物线。,当q0,剪力图为一向右上方倾斜的直线，M(x)图为一向下凸的二次抛物线。,利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：1求支座反力；2分段确定剪力图和弯矩图的形状；3求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；4确定和。,在FS=0的截面,在剪力突变的截面,在紧靠C的某一侧截面,例6如图示一外伸梁，试作出梁的剪力图和弯矩图。,解：1.求支反力,2.画剪力图,在AC段，q=0，该段剪力图(-)在AB段，q=C0，该段剪力图()在A点，因有反力FA，剪力图有突变，突变值为=FA。,3.画弯矩图,在CA段，q=0，FS0，弯矩图()；在AB段，q=C0,弯矩图()；在FS=0的截面处，M图取极值；在A点，因有力偶m，弯矩图有突变，突变值为=m。,例7如图示一外伸梁，试作出梁的剪力图和弯矩图。,例9已知简支梁的剪力图如图所示。作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。,例8试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。,5-7平面刚架与平面曲杆的弯矩内力,静定刚架:凡未知反力和内力能由静力学平衡条件确定的刚架。,刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。,平面刚架的内力:剪力、弯矩、轴力,平面刚架：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。,各杆连接处称为刚节点。刚架变形时，刚节点处各杆轴线之间的夹角保持不变。,弯矩图：画在各杆的受压一侧，不注明正、负号。剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），注明正负号。,例10试绘出如图所示刚架的弯矩图和轴力图,对CA段距右端为x1的截面,对BA段距B端为x2的截面,解：用任意横截面取右段，,例11如图曲杆，轴线为1/4圆弧，半径为R，受垂直向下的载荷P的作用，试画出其内力图。,对于曲杆，内力的符号规定为：引起拉伸变形的轴力为正；使轴线曲率增加（即外侧受拉）的弯矩为正；对所取杆段内任一点，若剪力对该点之力矩为顺时针转向，则剪力为正。,平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆,杆件内力的一般描述,杆件在外力作用下产生变形，研究任一横截面m-m上的内力。用截面法