二项式定理课件资料

二项式定理【高考导航】二项式定理在高考中每年一道题，题型为以下几种：求展开式某一项或某一项的系数；求所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和；二项式某一项为字母，求这个字母的值；求近似值的问题.试题难度不大，与教材习题相当.因此，二项式定理一节内容的学习或复习要重视基础，对二项式定理的展开式、通项公式、二项式系数的性质等弄清原理，熟练掌握，不必追求难解题.【学法点拨】本节内容是初中所学多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式二项式乘方的展开式，是培养观察，归纳能力的好题材，二项式定理是以公式形式表现二项式的正整数幂的展开式在指数、项数、系数等方面内在联系的重要定理，应在(ab)2、(ab)2、（ab）2的展开式的了解基础上，归纳掌握好二项式定理.通项公式TC(r0，1，2，n)集中体现了二项式展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心它是求展开式的某些项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）以及系数的重要公式.二项式系数C(r0，1，2，n)是一组仅与二项式的次数n有关的n1个组合数，而与a、b无关，它不包括a、b本身（或a、b的某次幂）的系数.只有当求某指定项的系数时，才包括a、b的系数，称展开式中的某一项的系数，当二项式两项本身的系数都是1时，展开式的二项式系数就是展开式各项的系数，但当二项式的两项本身的系数不为1时，这两者就不同了，要在把握概念的基础上掌握好二项式系数的性质及应用.【基础知识必备】一、必记知识精选1.二项式定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)2.通项公式：Tr1Canrbr3.二项式系数性质：(1)距两端等距离的二项式系数相等，即CC.(2)二项式系数的中间项或中间两项的二项式系数最大.当n为偶数时，中间一项（即第1项）的二项式系数最大;当n为奇数时，中间两项（即第和第1项）的二项式系数最大.(3)在二项展开式中各项的二项式系数和为2n，即：CCCC2n.(4)在二项展开式中，奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和，都等于2n1，即CCCCCC2n1.二、重点难点突破掌握二项式定理及其通项公式是本节的重点，会求二项展开式、展开式的中间项等指定项，会求二项式系数，指定项系数等.这些都是二项式定理的灵活运用，是本节的难点.突破难点的关键是准确熟练地写出二项展开式及通项公式.(ab)n的展开式具有如下性质：1.展开式的项数：共n1项.2.展开式的每一项的指数：a与b的指数之和为n，即二项展开式各项的次数等于二项式的次数n，字母a的指数依次降幂排列，指数由n逐次减1直到0，字母b按升幂排列，指数从0起逐项加1到n.3.二项式系数的特征：每一项的系数为一组合数，第r1项的系数为C.学习二项式定理时，还应注意：1.二项式定理从左到右的使用为展开，从右到左的使用可以化简、求和和证明.这个公式的逆用功能不可忽视.2.对于通项公式是相对于(ab)n标准形式而言的，对于(ab)n的展开式的通项Tr1(1)rCanrbr，它是第r1项而不是第r项，公式中的a，b位置不能颠倒.利用通项公式可求展开式的特定项.3.应用二项式定理时，要有目标意识，同时要处理好“一般”与“特殊”的关系，注意变形的技巧以及等价转化的数学思想方法.三、易错点和易忽略点导析本节易错点是在审题时，观察不仔细，不能发现差异，或将二项式系数与某项系数混淆，现举例说明.【例1】如果(12x)7a0a1xa2x2a7x7，那么a1a2a7的值等于（）A.2 B.1 C.0D.2错解：令f(x)(12x)7，则f(1)(12)7a0a1a71.选择B.正确解法：令f(x)(12x)7，则f(1)(12)7a0a1a7f(1)1.又令xO，得a01.a1a2a71a02.故选A.错解分析：错因在于审题失误，未注意到式子a1a2a7中没有a0，致使赋值x1后便认为是所求，因此，解此类问题要仔细观察，克服粗心大意.【例2】求CCCC的值.错解：原式211.正确解法：CCC211C204812047.错解分析：忽略了二项式系数的和是指CCCC2n，或者是审题未发现缺少C而出现失误.【例3】 求(x1)5展开式中的常数项.错解：(x1)5(x)15，展开式的通项为Tr1C(x)5r(1)r，而(x)5r的展开式中的通项为Tk1Cx5rk()kCx5r2k.欲求常数项，令5r2k0，即r2k5且0r5，0k5r.有三组解或或所求常数项为CC(1)，CC(1)3和CC(1)5，即30，20和1.正确解法一：（x1）5(x)15，通项为Tr1C(x)5r(1)r（0r5）当r5时，T6C(1)51；当0r5时，(x)5r的通项为Tk1Cx5rk()kCx5r2k(0k5r).0r5，且rZ.r只能取1或3相应的k值分别为2或1.常数项为CC(1)CC(3)3(1)51.正确解法二：由于本题只有5次，也可以直接展开，即(x)15(x)55(x)410(x)310(x)25(x)1.由x；的对称性知，只有在x的偶数次幂中的展开式中才会出现常数项且是各自的中间项，常数项为5C10C51.正确解法三：(x1)5(x1)(x1)(x1)(x1)(x1).按多项式乘法的规律，常数可从五个因式中都选取1相乘为(1)5;或从五个因式中选定一因式中取x，一因式取，另三个因式中取(1)，为CC(1)3;或从五个因式某二因式中取x，另二因式中取，余下一个因式中取1，所得式为CC(1)，所以常数项为(1)5 CC(1)3CC(1)51.错解分析：错解一是出现了C这个无意义的数，原因是解题不严密造成的，在考虑(x)5r的展开式时，用的是二项式定理，但没有注意到二项式定理只对nN*适用.当r5时，5r0，此特殊情况应特殊处理.二是概念的理解错误，同一展开式只能有一个常数项，不可能有两个或多个常数项.【综合应用创新思维点拨】一、学科内综合思维点拨二项式定理经常与数列、不等式以及极限等知识综合组题.【例1】 已知(xx)n的展开式中第5、6、7项的系数依次成等差数列，求展开式中的常数项.思维入门指导：第5、6、7项的系数就是此三项的二项式系数，由此可求出次数n的值.解：第5、6、7项的系数分别为C、C、C，依题意有2CCC(n6)，即2.所以，n221n980.n7或n14.(1)当n7时，设展开式中的常数项为Tr1，则Tr1C(x)7rxrCx.令7r280，得r4.所以T5C35.(2)当n14时，仿上可得T9C3003.综上，当n7时，常数项为35，当n14时，常数项为3003.点拨：对幂指数未知的二项式中求特定项的问题，一般要由题设先求出n值，然后再求特定项.在求特定项时，往往利用通项公式将问题转化为解方程或不等式组来求出r值.【例2】 求证：对nN，33n26n1可被676整除.证明：当n0时，原式0，可被676整除；当n1时，原式0，也可被676整除；当n2时，原式27n26n1(261)n26n1(26nC26n1C262C261)26n126nC26n1C262上式中每一项都含有262这个因数，故可被262676整除.综上述，对一切自然数，33n26n1可被676整除.点拨：此题n0与n1应单独处理，易被忽略.【例3】 设an1qq2qn1(nN*，q1)，AnCCa2Can.求证：An2n(1q)n.证明：q1，an.AnCa1Ca2CanCCC(CCCC)(CqCq2CqnC)2n(1q)n.点拨：本题逆用了二项式定理及CCC2n，这些重要的数学模型常常运用于解题过程中.二、学科间综合思维点拨【例4】 一个螺旋桨在某种情况下转动，它所消耗的功率P（单位：马力）和螺旋桨的直径D（单位：米）的关系是P6D5，已知D3.11，求P（精确到100马力）.解：D3.11，P6(3.11)56(30.11)5635C340.11C32(0.11)2C(0.11)5.在精确100马力的要求下，第三项及其以后的各项可以略去不计，P635C34O.116(24344.55)1725.3170O，即所消耗功率约为1700马力.点拨：在进行估算求值时，经常使用二项式定理，特别地当h很小、n较大时，（1h）n1nh是工业计算中经常使用的粗算公式.三、应用思维点拨【例5】 某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22，人均粮食占有量比现在提高10.如果人口增长率为1，那么耕地年均每年只能减少多少公顷?(精确到1公顷，粮食单产，人均粮食占有量)解：设耕地平均每年至多减少x公顷，该地区现有人口P人，粮食单产M吨/公顷，依题意有：(110%).解得x10311031(CC0.01C0.012)10311.10454(公顷).答：耕地每年至多只能减少4公顷.点拨：本题应用了指数，二项式定理的基础知识.【例6】 今天是星期天，从今天起22000天后的第一天是星期几?解：22000666644(71)6664(7666C7665C71)28(7665C7664C)4.能被7整除，所以22000被7整除，所以22000被7除余数为4.又因为今天星期天，所以4天后的第一天应为星期五.四、创新思维点拨【例7】已知a、b为正整数，且1，试证明：对每一个nN*，都有(ab)nanbn22n2n1.思维入门指导：本题创新点在于综合性强，要灵活地运用二项式定理的展开式和不等式的均值定理.证明：由1，得xab2，即ab20，ab4.而(ab)nanbnCan1b Can2b2Cabn1Cabn1Ca2bn2Can1bC()C()C()(CCC).将代入得(ab)nanbn(CCC)(11)nCC2n(2n2)2n22n2n1.命题成立.点拨：本题考查了CCCC2n及a、bR时有及逆向思维的数学思想方法.五、高考思维点拨【例8】（2003，河南、江苏，4分）(x2)9展开式中x9的系数是_.解：由通项公式，得Tr1C(x2)9r(x1)r()rCx183r.令183r9得r3，系数为()3C.点拨：本题考查二项式定理中通项公式的运用.【例9】(1999，全国理，5分)若(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值是（）A.1 B.1C.0 D.2思维入门指导：注意到(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)，故可使用赋值法求解，也可以用二项式定理直接求出a0，a1，a2，a3，a4，然后求解.解法一：令x1，得a0a1a2a3a4(2)4.令x1，得a0a1a2a3a4(2)4.(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)(2)4(2)4.(1)41.故选A.解法二：(2x)4C()4C(2x)()3C(2x)2()2C(2x)3C(2x)4，a0C()49，a1C2()324，a2C22()272，a3C2332，a4C2416.(a0a2a4)2(a1a3)2972(56)2940994081.点拨：显然解法一显得巧妙.六、经典类型题思维点拨【例10】 求二项式(x2)10展开式中的常数项.思维入门指导：应用通项公式，依据x01，求r的值.解：展开式中第r1项为：Tr1C(x2)10r()rCx()r.令20r0，得r8.T9C()8.点拨：对Tr1表达式进行化简变形时，要注意指数运算法则的正确使用.【例11】若n为正奇数，求7nC7n1C7n2C7被9除所得的余数.思维入门指导：注意逆用二项式定理.解：由二项式定理可知，原式(71)n1(91)n19nC9n1C9n2(1)n1C9(1)n1.n为正奇数，除以9的余数为297.点拨：余数应满足0r9，rN，不能是负整数，且题目中已知式比(71)n的展开式少最后一项，不要忽略.【例12】在(ax1)7的展开式中，x3项的系数是x2项的系数与x4项的系数的等差中项，若a1，求a的值.解：Tr1C(ax)7r，依题意，得2Ca3Ca4Ca2，即5a210a30.又a1，a1.【例13】求()9展开式中的有理项.思维入门指导：展开式中的有理项，就是通项公式中x的指数为整数的项.解：Tr1C(x)9r(x)r(1)rCx，令Z，即4Z，用r0，1，2，9进行检验，得r3或r9.当r3时，4，T4(1)3Cx484x4;当r9时，3，T10(1)9Cx3x3.二项式()9的展开式中的有理项是T484x4，T10x3.【例14】已知（12x3x2）7a0a1xa2x2a13x13a14x14，(1)求a0a1a2a14;(2)求a1a3a5a13.解：(1)令x1，则a0a1a13a1427128.(2)令x1，则a0a1a2a3a1467.得2(a1a3a13)2767，a1a3a5a13.七、探究性学习点拨【例15】 求证：在（pq）n（p0，q0）的展开式中，(1)Tk1是最大项的充要条件是Tk1Tk，且Tk1Tk2；(2)首项是最大项的充要条件是T1T2；(3)末项是最大项的充要条件是Tn1Tn.证明：(1)在(pq)n的展开式中，TkCpq，Tk1Cpq，Tk2Cpq，则，的值随k的增大而减小，随k减小而增大.故从1可知，对一切kk，有1.即若Tk1Tk，则Tk1大于Tk以前的任何一项.同理，.的值随k的增大而增大，随大的减小而减小.故从1可知对一切kk2，则有1.即若Tk1Tk2，则Tk1大于Tk2以后的每一项.故Tk1是展开式中的最大项，必须且只须Tk1Tk，Tk1Tk2.(2)当k0时，最大项是首项，其充要条件是T1T2.(3)当kn时，最大项是末项，其充要条件是Tn1Tn.【强化练习题】A卷：教材跟踪练习题(100分 60分钟)一、选择题(每题5分，共50分)1.二项式(x)10的展开式中，x6的系数是()A.27CB.27C C.9C D.9C2.(2)6的展开式中，常数项是（）A.20 B.20C.160 D.1603.当nN*且n2时，122224n15pq（其中p，q为非负整数，且0q5），则q的值为（）A.0 B.1 C.2D.与n有关4.39C37C35C33C31C38C36C34C32的值是（）A.0 B.49 C.512D.5135.设二项式(3)n的展开式中的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为S，若pS272，则n等于（）A.4 B.5C.6D.86.(1)4(x1)5的展开式中，x4的系数为（）A.40 B.10 C.40 D.457.已知()n展开式中各项系数和大于8，且小于32，则展开式系数最大的项是（ ）A.6 B.xC.4xD.4x或4x8.设(2x)9a0a1xa2x2a8x8a9x9，则a8a9（）A.17B.19C.8D.5129.已知(2x2)n(nN*)的展开式中含有常数项，则n的最小值是（）A.4B.5 C.9D.1010.已知(ax1)2n和(xa)2n1的展开式中xn的系数相等，aR，且a0，则a与1的大小关系是（）A.a1 B.a1C.a1D.a1二、填空题（每题5分，共20分）11.在(x2)9的展开式中，第4项的二项式系数是_，最后一项的系数是_.12.4141被7除所得的余数是_.13.(13a2b)5展开式中不含b的项系数之和是_.14.(ax1)9与(x2a)8的展开式中，x3的系数相等，则1aa2a100_(a0).三、解答题（每题10分，共30分）15.已知()n的展开式中的第4项与第2项系数的比是15：1，求展开式的倒数第3项.16.在二项式()n的展开式中，前3项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.17.已知m、nN*，f（x）（1x）m（1x）n的展开式中x项的系数为19，求f(x)的展开式中x2的系数的最小值，并求此时展开式中x3项的系数.B卷：综合应用创新练习题（90分 60分钟）一、学科内综合题（每题10分，共20分）1.若(12x)5的展开式中的第二项小于第一项，不小于第三项，求实数x的取值范围.2.已知a为实常数，且(a)6展开式的常数项为2104，求证lg是方程f(x)6x37x23x10的根.二、应用题（10分）3.某公司的股票今天的指数为2，以后每天的指数都比上一天的指数增加0.2，则100天以后这家公司的股票指数约为多少？（精确到0.001）三、创新题（34分）（一）教材变型题（10分）4.（P113习题10.4第4题变型）在（2x）2的展开式中，设x2的系数为an(n2，3，)，求的值.（二）一题多解（10分）5.试求(1x)3(1x)4(1x)100展开式中x3项的系数.（三）一题多变(14分)6.设函数f(x)是定义在R上的一个给定函数，函数g(x)Cf()(1x)nCf()x(1x)n1Cf()xn(1x)0（其中x0，且x1）.(1)当f(x)1时，求g(x)；(2)当f(x)x时，求g(x).四、高考题（共26分）7.（2002，上海春招，8分）若在()n的展开式中，第4项是常数项，则n_.8.(2001，上海理，9分)在代数式(4x22x5)(1)5的展开式中，常数项为_.9.(1995，上海，9分)若(x1)nxnax3bx21(nN*)，且a：b3：1，那么n_.加试题：竞赛趣味题(每题5分，共10分)1.要使n位数111是11的倍数，n应满足怎样的条件?2.(1998，浙江省夏令营试题)设nN*，要使是11的倍数，则n满足怎样的条件？【课堂内外】“博弈”浅谈早在距今2000多年的中国战国时，曾有一个流传后世的典故，在著名军事家孙膑的帮助下，齐国大将田忌以“下驷对上驷，上驷对中驷，中驷对下驷”的策略，在平均劣势下，赢得了对国王的赛马胜利.“田忌赛马”的故事，用现代术语来说就是一个典型的博弈问题，博弈思想的种子出自中国，却在西方开花结果，并成为当代应用最广泛的数学分支之一.现代的博弈论，主要研究决策主体的行为在直接相互作用时，人们如何进行决策，以及这种决策如何达到均衡的问题，在博弈论的分析中，一定场合中的每个对弈者在决定采取何种行动时，都有策略地，有目的的行事，考虑到他的决策及对其他人的影响，通过选择最佳行动方案，来寻求收益或效用的最大化.1950至1953年间，就读于普林斯顿大学数学系的纳什发表了4篇对博弈论的发展有划时代意义的论文.证明了非合作博弈均衡纳什均衡的存在.纳什的研究方法实际上很简单，他设计了一个3个人的“竞选游戏”.让3个参加游戏的人在不同条件下选择自己最有利的“代理人”，而其结果显示，当3个人互不结盟，互不对抗的条件下，所选出的“代理人”对各自利益的影响最坏.因此，某种程度的合作或结盟，才能使各自利益最大化.尽管现代博弈论是由美籍匈牙利数学家冯诺伊曼和经济学家奥斯卡摩根斯坦在1944年创立的，但通过这个“游戏”，纳什奠定了自己在博奕论中的大师地位.在英文中，博奕论也可以翻译为“游戏理论”，而在实际生活中，确实有许多游戏都反映了博奕论的思想.如扑克、下棋、赛马，甚至赌博，都有博奕的影子.例如最简单的幼儿游戏“石头、剪子、布”中，我们的问题是：对方如何行动，而我又将如何应对才能最佳？这实际上就涉及了博弈论的核心问题，即博弈论是以对方的行为作为自己决策的依据，并寻求最佳结果.社会生活的许多现象，都带有相互竞争与合作的特征.如股市，庄家和散户之间也可以算是一种博弈.如果你在股市博弈中加入了散户一方，你的对手就是拥有控盘能力的庄家.因此，当你与大多数散户一样做出入市的决定，你的对手的应招就是打压股价，在你无奈而退时，对手却抬高股价.散户与庄家都在追求各自利益的最大化.这就展开了博弈.在更大的范围内，国际政治格局中的战略结盟与敌对等等，无一不是搏弈，可以说，博弈在当代世界中无处不在.参考答案A卷1.D点拨：Tr+1=Cx10-r(-)r,令10-r=6,得r=4,x6的系数为9C.2.C3.A点拨：由于1+2+22+24n-1=24n-1,问题化归为求24n-1被5除的余数.24n-1=16n-1=（1+15）n-1=C15+C152+C15n，即除以5的余数为0.选A.4.D点拨：原式=（3-1）9+1=513.5.A点拨：依题意4n+2n=272，2n=16，n=4.6.D点拨：含x4项的系数为CC（-1）1+CC（-1）2+CC（-1）3=45.7.A点拨：本题中展开式各项系数和就是二项式系数和2n，82n32.3n5.n=4，而系数最大的项是中项T3=C()2(x-)2=6x.8.A点拨：a8+a9C2（-1）8+（-1）=17.9.B点拨：Tr+1=C(2x2)n-rx-3r=2n-rCx2n-5r.令2n-5r=0，则n的最小值是5.10.C点拨：(ax+1)2n中xn系数为Can，(x+a)2n+1中xn的系数为an+1,Can=Can+1(a0).a=1-1.a1.二、11.84,-点拨:第4项的二项式系数为C=84.最后一项是第10项，系数为C(-)9=-.12.6点拨：4141=（42-1）41=4241-C4240+C42=1，4141被7除所得余数是-1+7=6.13.-32点拨：令b=0；a=1，得不含b的项系数之和是（1-3）5=-32.14.点拨:(ax+1)9展开式中x3的系数是Ca3，(x+2a)8中x3的系数C(2a)5,Ca3=C(2a)5(a0).a=.1+a+a100=.三、15.解：由C:C=15:1得（n-1）（n-2）=90.解得n=11.倒数第3项为T10=55ab-3.16.解:展开式前三项的系数为1,依题意,1+=n.解得n=8或n=1(舍).Tr+1=x4-r.设Tr+1项是有理项,则r=0,4,8.展开式中的有理项是T1=x4,T5=x,T9=.17.解:f(x)展开式中x项的系数为C+C,m+n=19.f(x)展开式中x2项的系数为C+C=+=n2-19n+171=(n-)2+.当n=9或n=10时，x2项的系数最小，最小值是81，此时，m=10或m=9.x7项的系数为