2019年高考文科数学试题全国卷2（文）

绝密绝密启用前启用前 20192019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 本试卷共本试卷共 5 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 注意事项：注意事项： 1 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 考生信息条形码粘贴区。考生信息条形码粘贴区。 2 2选择题必须使用选择题必须使用 2B2B 铅笔填涂；非选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用 0.50.5 毫米黑色字迹的签字毫米黑色字迹的签字 笔书写，字体工整、笔迹清楚。笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3 3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答 案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5 5保持卡面清洁，不保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。纸刀。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合= |1Ax x ， |2Bx x=，则 AB= A. (1，+) B. (，2) C. (1，2) D. 1.C 由题知，( 1,2)AB = ，故选 C 2.设 z=i(2+i)，则z= A. 1+2i B. 1+2i C. 12i D. 12i 2.D 2 i(2i)2ii1 2iz =+=+= +， 所以1 2zi= ，选 D 3.已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|ab|= A. 2 B. 2 C. 5 2 D. 50 3.A 由已知，(2,3)(3,2)( 1,1)= ab， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 所以 22 |( 1)12=+=ab， 故选 A 4.生物实验室有 5只兔子， 其中只有 3 只测量过某项指标， 若从这 5只兔子中随机取出 3只， 则恰有 2只测量过该指标概率为 A. 2 3 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 4.B 设其中做过测试的 3 只兔子为, ,a b c，剩余的 2 只为,A B，则从这 5 只中任取 3 只的 所有取法有 , , , , , , , , , , , , , , , , , a b ca b Aa b Ba c Aa c Ba A B， ,c, , ,c, ,b, , ,c, , bAbBA BA B共 10 种 其 中 恰 有 2 只 做 过 测 试 的 取 法 有 , , , , , , , , , , , ,a b Aa b Ba c Aa c B ,c, , ,c, bAbB共 6种， 所以恰有 2 只做过测试的概率为 63 105 =，选 B 5.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测 甲：我的成绩比乙高 乙：丙的成绩比我和甲的都高 丙：我成绩比乙高 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次 序为 A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙 5.A 若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故 3 人成绩由 高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确， 则甲必预测错误，丙比乙的成绩高， 乙比甲成绩高， 即丙比甲， 乙成绩都高，即乙预测正确， 不符合题意，故选 A 6.设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)= 1 x e ，则当 x0)两个相邻的极值点，则= A. 2 B. 3 2 C. 1 D. 1 2 8.A 由题意知，( )sinf xx=的周期 23 2() 44 T = ，得2=故选 A 9.若抛物线 y2=2px（p0）的焦点是椭圆 22 3 1 xy pp +=的一个焦点，则 p= A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 9.D 因为抛物线 2 2(0)ypx p=的焦点(,0) 2 p 是椭圆 22 3 1 xy pp +=的一个焦点，所以 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 2 3() 2 p pp=，解得8p =，故选 D 10.曲线 y=2sinx+cosx在点(，1)处的切线方程为 A. 10 xy = B. 2210 xy = C. 2210 xy+ + = D. 10 xy+ = 10.C 当x=时，2sincos1y =+=，即点( , 1) 在曲线2sincosyxx=+ 上 2cossin ,yxx = 2cossin2, x y = = 则2sincosyxx=+在 点 ( , 1) 处的切线方程为( 1)2()yx =，即2210 xy+ + =故选 C 11.已知 a（0， 2 ） ，2sin2=cos2+1，则 sin= A. 1 5 B. 5 5 C. 3 3 D. 2 5 5 11.B 2sin2cos21=+， 2 4sincos2cos.0,cos0 2 = sin0,2sincos=，又 22 sincos1+= ， 22 1 5sin1,sin 5 = =，又 sin0， 5 sin 5 = ，故选 B 12.设 F 为双曲线 C： 22 22 1 xy ab =（a0，b0）的右焦点，O为坐标原点，以 OF为直径的 圆与圆 x2+y2=a2交于 P、Q两点若|PQ|=|OF|，则 C的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 12.A 设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQx 轴， 又|PQOFc=，|, 2 c PAPA=为以OF为直径的圆的半径， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 A为圆心| 2 c OA = , 2 2 c c P ，又P点在圆 222 xya+=上， 22 2 44 cc a+=，即 22 22 2 ,2 2 cc ae a = 2e = ，故选 A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13.若变量 x，y满足约束条件 2360 30 20 xy xy y ， ， ， + + 则 z=3xy的最大值是_. 13.9 画出不等式组表示的可行域，如图所示， 阴影部分表示的三角形 ABC区域，根据直线30 xyz=中的z表示纵截距的相反数，当 直线3zxy=过点3,0C （ ）时，z取最大值为 9 14.我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10个车次的正点 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 率为 0.97，有 20个车次的正点率为 0.98，有 10个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列 车所有车次的平均正点率的估计值为_. 14.0 98. 由 题 意 得 ， 经 停 该 高 铁 站 的 列 车 正 点 数 约 为 10 0.9720 0.98 10 0.9939.2+=，其中高铁个数为 10+20+10=40，所以该站所有高 铁平均正点率约为 39.2 0.98 40 = 15.VABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 bsinA+acosB=0，则 B=_. 15. 3 4 .由正弦定理， 得sinsinsincos0BAAB+= (0, ),(0, )AB，sin0,A 得sincos0BB+=，即tan1B =， 3 . 4 B =故选 D 16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体 或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由 两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美图 2是一个棱 数为48的半正多面体， 它的所有顶点都在同一个正方体的表面上， 且此正方体的棱长为1 则 该半正多面体共有_个面，其棱长为_ 16.(1).26 (2). 21 . 由图可知第一层与第三层各有 9 个面，计 18 个面，第二层共有 8 个面，所以该半正多面体共有18 826+ =个面 如图，设该半正多面体的棱长为x，则ABBEx=，延长BC与FE交于点G，延长BC 交正方体棱于H，由半正多面体对称性可知，BGE为等腰直角三角形， 22 ,2( 21)1 22 BGGECHxGHxxx=+=+=， 1 21 21 x= + ，即该半正多面体棱长为 21 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求题为选考题，考生根据要求 作答作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。 17.如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E在棱 AA1上，BEEC1. （1）证明：BE平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥 11 EBBCC的体积 17.（1）因为在长方体 1111 ABCDABC D中， 11 BC 平面 11 AAB B； BE 平面 11 AAB B，所以 11 BCBE， 又 1 BEEC， 1111 BCECC=，且 1 EC 平面 11 EBC， 11 BC 平面 11 EBC， 所以BE 平面 11 EBC； （2）设长方体侧棱长为2a，则 1 AEAEa=， 由（1）可得 1 EBBE；所以 222 11 EBBEBB+=，即 22 1 2BEBB=， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 又3AB=，所以 222 1 22AEABBB+=，即 22 2184aa+= ，解得3a =； 取 1 BB中点F，连结EF，因为 1 AEAE=，则EF AB； 所以EF 平面 11 BBCC， 所以四棱锥 11 EBBCC的体积为 1 11 1 1 111 3 6 318 333 E BB C CBB C C VSEFBC BB EF = = 矩形 . 18.已知 n a是各项均为正数的等比数列， 132 2,216aaa=+. （1）求 n a的通项公式； （2）设 2 log nn ba=，求数列 n b的前 n项和. 18.(1)因为数列 n a 是各项均为正数的等比数列， 32 216aa=+， 1 2a =， 所以令数列 n a 的公比为q， 22 31 =2aa qq=， 21 2aaqq=， 所以 2 2416qq=+，解得2q = (舍去)或4， 所以数列 n a 是首项为2、公比为4的等比数列， 121 2 42 nn n a =。 (2)因为 2 log nn ba=，所以21 n bn=， +1 21 n bn=+， 1 2 nn bb + -=， 所以数列 n b 是首项为1、公差为2的等差数列， 2 1 21 2 n n Snn +- =?。 19.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些 企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y的频数分布表. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 y的分组 0.20,0) 0,0.20) 0.20,0.40) 0.40,0.60) 0.60,0.80) 企业数 2 24 53 14 7 （1） 分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、 产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间 的中点值为代表）.（精确到 0.01） 附： 748.602 . 19.(1)由题意可知，随机调查的100个企业中增长率超过 0 40 0 的企业有14 721+ =个， 产值负增长的企业有2个， 所以增长率超过 0 40 0 的企业比例为 21 100，产值负增长的企业比例为 21 10050 =。 (2)由题意可知，平均值 () 20.124 0.1 53 0.3 14 0.5 7 0.7 100 0.3y ?+? =， 标准差的平方： ()()()()() 22222 2 1 100 20.1 0.3240.1 0.3530.3 0.3140.5 0.370.70.3s 轾 =?-+?+?+?+ ? 犏 臌 1 100 0.32 0.96 0.56 1.120.0296=+=， 所以标准差 0.02960.0004 740.02 8.6020.17s =椿椿 。 20.已知 12 ,F F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab +=的两个焦点， P 为 C上一点， O为坐标原点 （1）若 2 POFV为等边三角形，求 C 的离心率； （2)如果存在点 P，使得 12 PFPF，且 12 FPF的面积等于 16，求 b的值和 a 的 取值范围. 20. （1） 连结 1 PF， 由 2 POFV为等边三角形可知： 在 12 FPF中， 12 90FPF=， 2 PFc=， 1 3PFc=， 于是 12 23aPFPFcc=+=+， 故椭圆 C 的离心率为 2 31 13 c e a = + ； 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 （2） 由题意可知， 满足条件的点( , )P x y存在， 当且仅当 1 216 2 yc=，1 yy xc xc = + ， 22 22 1 xy ab +=， 即16c y = 222 xyc+= 22 22 1 xy ab += 由以及 222 abc=+ 得 4 2 2 b y c =，又由知 2 2 2 16 y c =，故4b =； 由得 2 222 2 () a xcb c =，所以 22 cb ，从而 2222 232abcb=+= ，故 4 2a ； 当4b =， 4 2a 时，存在满足条件的点P. 故4b =，a 的取值范围为4 2,)+. 21.已知函数( )(1)ln1f xxxx= .证明： （1） ( )f x存在唯一的极值点； （2）( )=0f x有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 21.（1）由题意可得， ( )f x的定义域为(0,)+， 由( )(1)ln1f xxxx= ， 得 11 ( )ln1ln x fxxx xx =+ = ， 显然 1 ( )lnfxx x = 单调递增； 又(1)10 f = ， 1ln4 1 (2)ln20 22 f = ， 故存在唯一 0 x，使得 0 ()0fx=； 又当 0 xx时， 0 ()0fx，函数( )f x单调递增；当 0 0 xx时， 0 ()0fx，函数( )f x 单调递减； 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 因此， ( )f x存在唯一的极值点； （2）由（1）知， 0 ()(1)2f xf=，又 22 ()30f ee= ， 所以( )0f x =在 0 (,)x +内存在唯一实根，记作x = . 由 0 1x得 0 1 1x ， 又 1111( ) ()(1)ln10 f f = =， 故 1 是方程( )0f x =在 0 (0,)x内的唯一实根； 综上，( )=0f x有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分请考生在第分请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，O为极点，点 000 (,)(0)M 在曲线:4sinC=上，直线 l过点 (4,0)A 且与OM垂直，垂足为 P. （1）当 0= 3 时，求 0 及 l的极坐标方程； （2）当 M在 C上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P点轨迹的极坐标方程. 22.（1）因为点 000 (,)(0)M 在曲线:4sinC=上， 所以 00 4sin4sin2 3 3 =； 即(2 3,) 3 M ，所以tan3 3 OM k =， 因为直线 l过点 (4,0)A 且与OM垂直， 所以直线l直角坐标方程为 3 (4) 3 yx= ，即340 xy