2019高考数学天津试题（理科）

20192019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）数学（理工类） 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1.1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.2.本卷共本卷共 8 8 小题。小题。 参考公式：参考公式： 如果事件如果事件A、B互斥，那么互斥，那么 ()( )( )P ABP AP B=+ . . 如果事件如果事件A、B相互独立，那么相互独立，那么 ()( ) ( )P ABP A P B= . . 圆柱的体积公式圆柱的体积公式VSh=，其中，其中S表示圆柱的底面面积，表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高表示圆柱的高. . 棱锥的体积公式棱锥的体积公式 1 3 VSh=，其中，其中S表示棱锥的底面面积，表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高表示棱锥的高. . 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.设集合1,1,2,3,5A= ，2,3,4B = ，|13CxRx= ，则()ACB = A. 2 B. 2，3 C. -1，2，3 D. 1，2， 3，4 1.D 因为1,2AC =， 所以()1,2,3,4ACB =. 故选 D。 2.设变量 , x y满足约束条件 20, 20, 1, 1, xy xy x y + + ，则目标函数4zxy=+的最大值为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 2.D 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。 目标函数的几何意义是直线4yxz=+在y轴上的截距， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 故目标函数在点A处取得最大值。 由 20, 1 xy x += = ，得( 1,1)A ， 所以 max 4 ( 1) 15z= + =。 故选 C。 3.设xR，则“ 2 50 xx ”是“|1| 1x ”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.B 化简不等式，可知 05x推不出 11x； 由11x能推出05x， 故“ 2 50 xx ”是“|1| 1x ”的必要不充分条件， 故选 B。 4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 A. 5 B. 8 C. 24 D. 29 4.B 1,2Si= 1 1,1 2 25,3jSi= + =8,4Si=， 结束循环，故输出8。 故选 B。 5.已知抛物线 2 4yx=的焦点为F，准线为l.若与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =的两条 渐近线分别交于点A和点B，且| 4|ABOF=（O为原点） ，则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 5.D 抛物线 2 4yx=的准线l的方程为1x =， 双曲线的渐近线方程为 b yx a = ， 则有( 1,), ( 1,) bb AB aa 2b AB a =， 2 4 b a =，2ba=， 22 5 cab e aa + = 。 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 故选 D。 6.已知 5 log 2a =， 0.5 log0.2b =， 0.2 0.5c = ，则, ,a b c的大小关系为（ ） A. acb B. abc C. bca D. cab 6.A 55 1 log 2log5 2 a =， 0.50.5 log0.2log0.252b =， 10.20 0.50.50.5 ，故 1 1 2 c， 所以acb。 故选 A。 7.已知函数( )sin()(0,0,|)f xAxA=+是奇函数，将( )yf x= 的图像上所 有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像对应的函数为( )g x.若( )g x的 最小正周期为2，且2 4 g = ，则 3 8 f = （ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 7.C 因为 ( )f x为奇函数，(0)sin0=,0,fAkk= =，0= ； 又 12 ( )sin,2 , 1 2 2 g xAxT = 2=，2A=，又()2 4 g = ( )2sin2f xx=， 3 ()2. 8 f = 故选 C。 8.已知aR，设函数 2 22 ,1, ( ) ln ,1, xaxax f x xaxx + = 若关于x的不等式( ) 0f x 在R上恒 成立，则a的取值范围为（ ） 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 A. 0,1 B. 0,2 C. 0,e D. 1,e 8.C (0)0f，即0a ， （1）当01a时， 2222 ( )22()22(2)0f xxaxaxaaaaaaa=+=+=， 当1a时，(1)10f= ， 故当0a 时， 2 220 xaxa+ 在(,1上恒成立； 若ln0 xax(1,)+上恒成立，即 ln x a x 在(1,)+上恒成立， 令( ) ln x g x x =，则 2 ln1 ( ) (ln ) x g x x = ， 当 ,xe 函数单增，当0,xe函数单减， 故 max ( )( )g xg ee=，所以ae。当0a 时， 2 220 xaxa+ 在(,1上恒成立； 综上可知，a的取值范围是0, e， 故选 C。 第第卷卷 二二. .填空题：本大题共填空题：本大题共 6 6 小题小题. . 9.i是虚数单位，则 5 1 i i + 的值为_. 9.13 5(5)(1) 2313 1(1)(1) iii i iii = + 。 10. 8 3 1 2 8 x x 是展开式中的常数项为_. 10.28 88 48 4 188 3 1 (2 )()( 1) 2 8 rrrrrrr r TCxC x x + = ， 由8 40r=，得2r =， 所以的常数项为 22 8 ( 1)28C=. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 11.已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经 过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 _. 11. 4 . 由题意四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为5，借助勾股定理，可 知四棱锥的高为 5 12 = ，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，故圆 柱的高为1，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，圆柱的底面半径为 1 2 ，故圆柱的体积为 2 1 1 24 = 。 12.设aR，直线20axy+= 和圆 22cos , 1 2sin x y =+ = + （为参数）相切，则a的值为_. 12. 3 4 圆 22cos , 1 2sin x y =+ = + 化为普通方程为 22 (2)(1)2xy+=， 圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2， 由直线与圆相切，则有 2 21 2 1 a a + = + ，解得 3 4 a =。 13.设0,0,25xyxy+= ，则 (1)(21)xy xy + 的最小值为_. 13.4 3 (1)(21)221,xyxyxy xyxy + = 0,0,25,0,xyxyxy+= 2 2 326 4 3 xyxy xyxy + =， 当且仅当3xy =，即3,1xy=时成立， 故所求的最小值为4 3。 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 14. 在四边形ABCD中，ADBC， 2 3AB = ，5AD = ，30A = ，点E在线段 CB的延长线上，且AEBE=，则BD AE =_. 14.1. 建立如图所示的直角坐标系，则(2 3,0)B， 5 3 5 (, ) 22 D 。 因为ADBC，30BAD=，所以30CBE=， 因为AEBE=，所以30BAE=， 所以直线BE的斜率为 3 3 ，其方程为 3 (2 3) 3 yx= ， 直线AE的斜率为 3 3 ，其方程为 3 3 yx= 。 由 3 (2 3), 3 3 3 yx yx = = 得3x =，1y = ， 所以( 3, 1)E。 所以 3 5 (, ) ( 3, 1)1 22 BD AE = 。 三三. .解答题解答题. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . 15. 在VABC中，内角ABC， ，所对的边分别为, ,a b c.已知 2bca+ = ， 3 sin4 sincBaC=. （）求cosB值； （）求sin 2 6 B + 的值. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 15.()在VABC中，由正弦定理 sinsin bc BC =得sinsinbCcB=， 又由3 sin4 sincBaC=，得3 sin4 sinbCaC=，即34ba=. 又因为2bca+ =，得到 4 3 ba=， 2 3 ca=. 由余弦定理可得 222 cos 2 acb B ac + = 222 416 1 99 2 4 2 3 aaa aa + = . ()由()可得 2 15 sin1 cos 4 BB= ， 从而 15 sin22sincos 8 BBB= ， 22 7 cos2cossin 8 BBB= . 故 153713 57 sin 2sin2 coscos2 sin 666828216 BBB + +=+= = . 16.设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 2 3 .假定甲、乙两位同学到 校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （）用X表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量X的分布列 和数学期望； （）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7： 30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件M发生的概率. 16.()因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立， 且每天 7:30 之前到校的概率均为 2 3 ， 故 2 3, 3 XB ，从面()() 3 3 21 0,1,2,3 33 kk k P XkCk = . 所以，随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 随机变量X的数学期望 2 ()32 3 E X = =. ()设乙同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数为Y，则 2 3, 3 YB . 且3,1 2,0MXYXY=. 由题意知事件3,1XY=与2,0XY=互斥， 且事件3X =与1Y =，事件2X =与0Y =均相互独立， 从而由()知： ()()3,12,0P MPXYXY= ()()3,12,0P XYP XY=+= (3) (1)(2) (0)P XP YP XP Y=+= 824120 279927243 =+=. 17.如图，AE 平面ABCD，,CFAEADBC ， ,1,2ADABABADAEBC=. （）求证：BF平面ADE； （）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （）若二面角EBDF的余弦值为 1 3 ，求线段CF的长. 17.依题意，可以建立以A为原点，分别以,AB AD AE的方向为x轴，y轴，z轴正方向的 空间直角坐标系(如图)， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 可得()()()()()0,0,0 ,1,0,0 ,1,2,0 ,0,1,0 ,0,0,2ABCDE. 设()0CFh h=，则()1,2,Fh. ()依题意，()1,0,0AB =是平面ADE的法向量， 又()0,2,BFh=，可得 0BF AB= ， 又因为直线BF 平面ADE，所以BF平面ADE. ()依题意，( 1,1,0),( 1,0,2),( 1, 2,2)BDBECE= = = ， 设(), ,nx y z=为平面BDE的法向量， 则 0 0 n BD n BE = = ，即 0 20 xy xz += + = ， 不妨令z=1，可得()2,2,1n =， 因此有 4 cos, 9| CE n CE n CE n = . 所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 4 9 . ()设(), ,mx y z=为平面BDF的法向量，则 0 0 m BD m BF = = ，即 0 20 xy yhz += += . 不妨令y=1，可得 2 1,1,m h = . 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 由题意，有 2 2 4 1 cos, 34 3 2 m n h m n mn h = + ，解得 8 7 h =. 经检验，符合题意 所以，线段CF的长为 8 7 . 18.设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为 4，离 心率为 5 5 . （）求椭圆的方程； （）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N 在y轴的负半轴上.若| |ONOF=（O为原点） ，且OPMN，求直线PB的斜率. 18.() 设椭圆的半焦距为c，依题意， 5 24, 5 c b a =，又 222 abc=+ ，可得 5a = ， b=2，c=1. 所以，椭圆方程为 22 1 54 xy +=. ()由题意，设()()(),0 ,0 PPPM P xyxM x.设直线PB的斜率为()0k k ， 又()0 2,B，则直线PB的方程为2ykx=+，与椭圆方程联立 22 2 1 54 ykx xy =+ += ， 整理得() 22 45200kxkx+= ，可得 2 20 45 P k x k = + ， 代入2ykx=+得 2 2 8 10 45 P k y k = + ， 进而直线OP的斜率 2 45 10 P P yk xk = ， 在2ykx=+中，令0y =，得 2 M x k = . 由题意得()0, 1N，所以直线MN的斜率为 2 k . 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 由OPMN，得 2 45 1 102 kk k = ， 化简得 2 24 5 k =，从而 2 30 5 k = . 所以，直线PB的斜率为 2 30 5 或 2 30 5 . 19.设 n a是等差数列， n b是等比数列.已知 112233 4,622,24abbaba=+，. （）求 n a和 n b的通项公式； （）设数列 n c满足 1 1 1,22, 1, ,2 , kk n k k n cc b n + = = 其中 * kN. （i）求数列() 22 1 nn ac的通项公式； （ii）求 () 2 * 1 n i i i acn = N. 19.()设等差数列 n a 的公差为d，等比数列 n b 的公比为q. 依题意得 () () 2 62 4262 62 424124 qdd qdd =+=+ =+=+ ，解得 3 2 d q = = ， 故4(1) 331 n ann=+ =+， 1 6 23 2 nn n b = . 所以， n a 的通项公式为31 n an=+， n b 的通项公式为3 2n n b = . ()(i)()()()() 222 113 21 3 219 41 nnn nnn n acab=+= . 所以，数列() 22 1 nn ac的通项公式为 () 22 19 41 nn n ac=. (ii)() 22 11 1 nn iiiii ii acaa c = =+ () 22 22 11 1 nn ii i ii aac = =+ () 221 243 2 nn n = + () 1 9 41 n i i= + () () 211 4 1 4 3 25 29 1 4 n nn n =+ + () 211* 2725 212 nn nnN =+ . 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 20.设函数( )e cos ,( ) x f xxg x=为( ) fx的导函数. （）求( )fx的单调区间； （）当, 4 2 x 时，证明( )( )0 2 f xg xx + ； （）设 n x为函数( )( ) 1u xf x=在区间2,2 42 mm + 内的零点，其中nN，证 明 2 00 2 2sincos n n nx x e x + . 20.()由已知，有( )()ecossin x fxxx=. 当() 5 2,2 44 xkkkZ + 时，有sincosxx，得( )0fx ，则( )fx单调递 减; 当() 3 2,2 44 xkkk