2020届高三数学一轮复习 2.3 平面向量学案

专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第三讲 平面向量【最新考纲透析】1 平面向量的实际背景及基本概念（1） 了解向量的实际背景。（2） 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。（3） 理解向量的几何意义。2 向量的线性运算（1） 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。（2） 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。（3） 了解向量线性运算的性质及其几何意义。3 平面向量的基本定理及坐标表示（1） 了解平面向量的基本定理及其意义。（2） 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。（3） 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。（4） 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。4 平面向量的数量积（1） 理解平面向量数量积的含义及其物理意义。（2） 了解平面向量的数量积与向量投影的关系。（3） 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。（4） 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。5 向量的应用（1） 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。（2） 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。【核心要点突破】要点考向1：向量的有关概念及运算考情聚焦：1向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。2该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其基本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。3多以选择、填空题的形式出现，有关会渗透在解答题中。考向链接：向量的有关概念及运算要注意以下几点：（1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻 （3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。例1：（2020山东高考理科12）定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，令，下面说法错误的是（ ）A.若与共线，则 B. C.对任意的，有 D. ()2 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】根据所给定义逐个验证.【规范解答】选B，若与共线，则有，故A正确；因为 ,，而，所以有 ，故选项B错误，故选B. 【方法技巧】自定义型信息题1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型. 2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性要点考向2：与平面向量数量积有关的问题考情聚焦：1与平面向量数量积有关的问题（如向量共线、垂直及夹角等问题）是高考考查的重点。2该类问题多数是单独命题，有时与其他知识交汇命题，考查学生分析问题、解决问题的能力。3多以选择题、填空题的形式出现，有时会渗透在解答题中。考向链接：与平面向量数量积有关的问题1解决垂直问题：均为非零向量。这一条件不能忽视。2求长度问题：，特别地。3求夹角问题：求两非零向量夹角的依据例2：1.（2020湖南高考理科4）在中，=90AC=4，则等于（ ）A、-16 B、-8 C、8 D、16【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理.【思路点拨】由于=90，因此选向量CA，CB为基底.【规范解答】选D .=(CB-CA)(-CA)=-CBCA+CA2=16.【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理.二是考查数量积，平面向量基本定理，考查垂直，夹角和距离（长度）.2. （2020广东高考文科5）若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)满足条件(8)=30，则x=( ) A6 B5 C4 D3【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.【思路点拨】 先算出，再由向量的数量积列出方程，从而求出【规范解答】选. ，所以. 即：，解得： ，故选.要点考向3：向量与三角函数的综合考情聚集：1向量与三角函数相结合是高考的重要考查内容，在近几年的高考中，年年都会出现。2这类问题一般比较综合，考查综合应用知识分析问题、解决问题的能力。一般向量为具，考查三角恒等变换及三角函数的性质等。3多以解答题的形式出现。例3在直角坐标系 （I）若； （II）若向量共线，当【解析】（1） 2分又解得 4分或 6分 （II） 8分 10分 12分注：向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性。（1）解决这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算；（2）常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思路。【高考真题探究】1（2020重庆高考理科2）已知向量，满足，则（ ）A0 B C4 D8【命题立意】本小题考查向量的基础知识、数量积的运算及性质，考查向量运算的几何意义，考查数形结合的思想方法.【思路点拨】根据公式进行计算，或数形结合法，根据向量的三角形法则、平行四边形法则求解.【规范解答】选B （方法一）；（方法二）数形结合法：由条件知，以向量，为邻边的平行四边形为矩形，又因为，所以，则是边长为2的正方形的一条对角线确定的向量，其长度为，如图所示.【方法技巧】方法一：灵活应用公式，方法二：熟记向量及向量和的三角形法则2（2020全国高考卷理科8）ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若= , = , ， 则=（ ）（A）+ （B） + （C）+ （D） +【命题立意】本题考查了平面向量基本定理及三角形法则的知识。【思路点拨】运用平面向量三角形法则解决。由角平分线性质知DB:AD= CB:CA =1:2 这样可以用向量, 表示。【规范解答】 选B，由题意得AD:DB=AC；CB=2:1,AD=AB,所以+ +【方法技巧】角平分线性质、平面向量基本定理及三角形法则3（2020浙江高考文科13）已知平面向量则的值是 。【命题立意】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题。【思路点拨】本题先把垂直关系转化为数量积为0，再利用向量求模公式求解。【规范解答】由题意可知，结合，解得，所以2=，开方可知答案为.【答案】【方法技巧】（1）；（2）。4（2020江西高考）已知向量， ，若 则= 【解析】因为所以.答案： 5（2020广东高考）已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值 【解析】（1）与互相垂直，则，即，代入得，又，.（2），则，.6（2020海南宁夏高考）已知向量（）若，求的值； （）若求的值. 【解析】（） 因为，所以于是，故（）由知，所以从而，即，于是.又由知，所以，或.因此，或【跟踪模拟训练】一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）1.若，且，则向量与的夹角为 ( )A30 B60 C120 D1502. 已知O，A，M，B为平面上四点，且，则（ ）A点M在线段AB上 B点B在线段AM上C点A在线段BM上DO、A、M、B四点一定共线3.平行四边形ABCD中，A C为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则等于（ ）A6 B8 C-8 D-64. 已知为不共线的非零向量，且，则以下四个向量中模最小者为（ ） （A）（B） （C）（D）5. 已知向量夹角为120，且则等于（ ）(A)4 (B)3(C)2 (D)1 6. 平面向量的集合A 到A的映射f()()，其中为常向量若映射f满足f()f()对任意的，A恒成立，则的坐标可能是（ ）A(，) B(，) C(，) D(，)二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）7. 已知e1、e2是两个不共线的向量，a = k2e1 + （k）e2和b = 2e1 + 3e2是两个共线向量，则实数k = 8. 已知向量，满足，与的夹角为，则_，若，则实数_9. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动。若其中，则的最大值是 三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）10. 已知向量，且（）求的值；（）求的值11.设函数，其中向量，. （）求函数的最小正周期和最大值； （）求函数的单调递增区间.12.已知向量，.（）若，求； （）设，（1） 求的单调增区间；（2） 函数经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？参考答案1.D2.B3.B4.A5.A6.B二、填空题7. 8.