2020高考数学二轮专题复习 数列

数列数列 【考纲解读考纲解读】 1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法， 并能根据递推公式写出数列的前几项. 2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公式解答 简单的问题. 3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公式解决 简单的问题. 【考点预测考点预测】 1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难 度易、中、难三类皆有. 2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时 要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意： 1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公 式等. 2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量 a1、d（或q） ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代 入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1 和 q1 两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成 等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳. 5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的 关键. 6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、 数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果. 7数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【要点梳理要点梳理】 1.证明数列 n a是等差数列的两种基本方法：（1）定义法： 1nn aad 为常数； （2）等差中项法： 11 2(2) nnn aaan . 2.证明数列 n a是等比数列的两种基本方法：（1）定义法： 1n n a q a (非零常数)； （2）等差中项法： 2 11( 2) nnn aaan . 3.常用性质:(1)等差数列 n a中,若mnpq,则 mnpq aaaa; (2)等比数列 n a中,若mnpq,则 mnpq aaaa. 4.求和: (1)等差等比数列,用其前 n 项和求出; (2)掌握几种常见的求和方法:错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法; (3)掌握等差等比数列前 n 项和的常用性质. 【考点在线考点在线】 考点考点 1 1 等差等比数列的概念及性质等差等比数列的概念及性质 在等差、等比数列中，已知五个元素 1n a ,a ,n,d或q， n S中的任意三个，运用方程的思想，便 可求出其余两个，即“知三求二” 。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项 1 a和公差（或 公比q） 。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如 （1）等差数列 n a 中，若mnpq，则 mnpq aaaa；等比数列 n a中，若 mnpq，则 mnpq a aa a . （2）等差数列 n a 中， n2nn3n2nknk n 1 S ,SS ,SS ,SS, 成等差数列。其中 n S是等差数列的 前 n 项和；等比数列 n a 中（q1 ） ， n2nn3n2nknk n 1 S ,SS ,SS ,SS, 成等比数列。其中 n S是等比数列的前 n 项和； （3）在等差数列 n a 中，项数 n 成等差的项 n a也称等差数列. （4）在等差数列 n a 中， 2n 1n S2n1 a ； 2nnn 1 Sn aa . 在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体 思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用. 例例 1.1. (2020(2020 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 11)11)在等差数列 n a中， 37 37aa，则 2468 aaaa . 【答案答案】74 【解析解析】 284637 37aaaaaa，故 2468 2 3774aaaa 【名师点睛名师点睛】本题考查等差数列的性质. 【备考提示备考提示】：熟练掌握等差等比数列的概念与性质是解答好本类题的关键. 考点考点 2 2 数列的递推关系式的理解与应用数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的 类型进行解题。如“逐差法”若 nn 1 aan, 且 1 a1；我们可把各个差列出来进行求和， 可得到数列 n a的通项. nnn 1n 1n 2211 aaaaaaaa n n1 nn12 1. 2 再看“逐商法”即 n 1 n a n1 a 且 1 a1，可把各个商列出来求积。 nn 12 n1 n 1n 21 aaa aan n1n22 1n! aaa AA AA A 另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题. 例例 2.2.（20202020 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 9)9)数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1=1, an+1 =3Sn(n 1),则 a6=( ) （A）3 44 （B）3 44+1 (C) 44 （D）44+1 【答案答案】A 【解析解析】由题意，得 a2=3a1=3.当 n 1 时，an+1 =3Sn(n 1) ，所以 an+2 =3Sn+1 ， -得 an+2 = 4an+1 ，故从第二项起数列等比数列，则 a6=3 44. 【名师点睛名师点睛】本小题主要考查 n a与与 n S的关系： 1 n nn 1 S n=1 a SS n2 ，数列前 n 项和 n S和通项 n a是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式 nnn 1 aSS 时，一定要注意条件n2，求 通项时一定要验证 1 a是否适合。解决含 n a与与 n S的式子问题时，通常转化为只含 n a或者转化 为只 n S的式子. 【备考提示备考提示】：递推数列也是高考的内容之一,要熟练此类题的解法,这是高考的热点. 练习练习 2.2.（20202020 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 5)5)若等比数列an满足 anan+1=16n，则公比为（ ）Z （A）2 （B）4 （C）8 （D）16 【答案答案】B 【解析解析】设公比是 q，根据题意 a1a2=16 ，a2a3=162 ，得 q2=16 .因为 a12q=160, a120，则 q0，q=4. 考点考点 3 3 数列的通项公式数列的通项公式 n a与前与前 n n 项和公式的应用项和公式的应用 等差、等比数列的前 n 项和公式要深刻理解，等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数.等 比数列的前 n 项和公式 n 1 n11 n a 1q aa Sq 1q1q1q （q1） ，因此可以改写为 n n Saqb (ab0)是关于 n 的指数函数，当q1时， n1 Sna. 例例 3.(20203.(2020 年高考江苏卷年高考江苏卷 13)13)设 721 1aaa，其中 7531 ,aaaa成公比为 q 的等比 数列， 642 ,aaa成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是 . 【答案答案】 3 3 【解析解析】由题意： 23 1212121 112aaa qaa qaa q ， 2 2222 1,12aqaaqa 【答案答案】A 【解析解析】通过 25 80aa，设公比为q，将该式转化为08 3 22 qaa，解得q=-2，带入 所求式可知答案选 A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 考点考点 4.4. 数列求和数列求和 例例 4.4. ( (山东省济南市山东省济南市 20202020 年年 2 2 月高三教学质量调研理科月高三教学质量调研理科 2020 题题) ) 已知 n a为等比数列，256, 1 51 aa； n S为等差数列 n b的前n项和，, 2 1 b 85 25SS . （1） 求 n a和 n b的通项公式； （2） 设 n T nnb ababa 2211 ，求 n T. 【解析】 （1） 设 n a的公比为q,由 4 51 aa q,得4.q 所以 1 4. n n a 设 n b的公差为d，由 85 25SS 得32 2 3 2 3 1 ad, 所以 1 131. n bb ndn （2） n T 1 1 24 54 8431 n n 2 44 245431 n n Tn -得： 21 323 44.44312324 . nnn n Tnn 所以 22 4. 33 n n Tn 【名师点睛名师点睛】本小题主要考查等比等差数列的通项公式及前 n 项和公式、数列求和等基础知 识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. 【备考提示备考提示】：熟练数列的求和方法等基础知识是解答好本类题目的关键. 练习练习 4.4. （20202020 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 1818） 已知等差数列 n a满足： 3 7a ， 57 26aa. n a的前 n 项和为 n S. （）求 n a 及 n S；（）令 2 1 1 n n b a （nN ）,求数列 n b的前 n 项和 n T. 【解析解析】 （）设等差数列 n a的公差为 d，因为 3 7a ， 57 26aa，所以有 考点考点 5 5 等差、等比数列的综合应用等差、等比数列的综合应用 解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的 过程中适时应用 例例 5 5(2020(2020 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 19)19)已知公差不为 0 的等差数列 n a的首项 1 aa (aR),设 数列的前 n 项和为 n S，且 1 1 a ， 2 1 a ， 4 1 a 成等比数列（）求数列 n a的通项公式及 n S（）记 123 1111 . n n A SSSS ， 2 12 22 1111 . n n B aaaa ，当2n 时，试比 较 n A与 n B的大小. 当2n 时， 2012 21 n nnnn CCCCn即 11 11 12nn ； 所以当0a 时， nn AB；当0a 时， nn AB . 【名师点睛名师点睛】本小题主要考查等差等比数列的通项与前 n 项和等基本知识，考查逻辑思维能 力、分析问题和解决问题的能力 【备考提示备考提示】：熟练掌握等差等比数列的基础知识是解决本类问题的关键. 练习练习 5.(20205.(2020 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 20)20) 已知数列已知数列 n a与与 n b满足满足 11 ( 2)1 n nnnn bab a , , 1 3( 1) , 2 n n bnN , ,且且 1 2a . . （）求）求 23 ,a a的值的值; ; ()()设设 2121nnn caa , ,nN, ,证明证明 n c是等比数列是等比数列; ; ()()设设 n S为为 n a的前的前 n n 项和项和, ,证明证明 21212 12212 1 () 3 nn nn SSSS nnN aaaa . . 【解析解析】 （）由 1 3( 1) , 2 n n bnN ,可得 2, 1, n n b n 是奇数 是偶数 , 11 ( 2)1 n nnnn bab a , 当 n=1 时, 12 21,aa 由 1 2a ,得 2 3 2 a ; 当 n=2 时, 23 25,aa可得 3 8a . ()证明:对任意nN, 21 212 221 n nn aa - 2 221 221 n nn aa - -得: 21 2121 3 2 n nn aa ,即 21 3 2 n n c ,于是 1 4 n n c c ,所以 n c是等比数列. ()证明: 1 2a ,由()知,当kN 且2k 时, 21131532123 ()()() kkk aaaaaaaa =2+3(2+ 3523 222 k )=2+ 1 21 2(1 4) 32 1 4 k k ,故对任意kN , , 由得 2121 2 2221, kk k a 所以 21 2 1 2 2 k k a ,kN , 因此, 21234212 ()()() 2 kkk k Saaaaaa ,于是 2122kkk SSa 21 1 2 2 k k , 故 212 212 kk kk SS aa 21 21 1 2 2 2 k k k 21 2 1 2 2 k k = 2 22 12 221 k kk kk 1 1 44 (41) kkk k , 所以 21212 12212 1 () 3 nn nn SSSS nnN aaaa . 【易错专区易错专区】 问题：已知问题：已知 n S, ,求求 n a时时, ,易忽视易忽视1n 的情况的情况 例例. . （20202020 年高考上海卷文科年高考上海卷文科 2121） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且585 nn Sna， * nN (1)证明：1 n a 是等比数列； (2)求数列 n S的通项公式，并求出使得 1nn SS 成立的最小正整数n. 【考题回放考题回放】 1.(2020(2020 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 7)7)若数列 n a的通项公式是() () n an g,则 aaa L（ ） （A） 15 (B) 12 (C ) (D) 【答案】A 【解析】法一：分别求出前 10 项相加即可得出结论； 法二： 1234910 3aaaaaa，故aaa L.故选 A. 2. （20202020 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 5)5)设 n a为等差数列，公差 d = -2， n S为其前 n 项和.若 1011 SS，则 1 a=（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 【答案】B 【解析】 20,10 0, 1111 111110 adaa aSS . 3. (2020(2020 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 5)5)已知数列 n a的前 n 项和 n S满足： nmn m SSS ，且 1 a=1那么 10 a=（ ） A1 B9 C.10 D55 【答案】A 【解析】因为 nmn m SSS ,所以令1nm,可得 21 22SS;令1,2nm,可得 312 3SSS;同理可得 42 24SS, 523 5SSS, 945 9SSS, 105 210SS,所以 10 a= 109 1SS,故选 A. 4. (2020(2020 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 8)8)数列 n a的首项为3， n b 为等差数列且 1 (*) nnn baa nN .若则 3 2b ， 10 12b ，则 8 a ( ) （A）0 （B）3 （C）8 （D）11 【答案】B 【解析】由已知知 1 28,28, nnn bnaan 由叠加法 21328781 ()()()642024603aaaaaaaa . 5 （ 20202020 年高考全国年高考全国卷文科卷文科 4 4）已知各项均为正数的等比数列 n a， 123 a a a=5， 789 a a a=10，则 456 a a a=（ ） (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2 【答案】A 【解析】由等比数列的性质知 3 1231322 ()5a a aa aaaA， 3 7897988 ()a a aa aaaA10,所 以 1 3 28 50a a ,所以 1 333 6 456465528 ()()(50 )5 2a a aa aaaa aA. 6 （20202020 年高考全国卷年高考全国卷文科文科 6 6）如果等差数列 n a中， 3 a+ 4 a+ 5 a=12，那么 1 a+ 2 a+ 7 a=（ ） （A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【答案】C C 【解析解析】 345 12aaa ， 4 4a 127174 1 7 ()728 2 aaaaaa 7.（20202020 年高考安徽卷理科第年高考安徽卷理科第 5 5 题）题）已知 n a为等差数列， 1 a+ 3 a+ 5 a=105， 246 aaa=99，以 n S表示 n a的前n项和，则使得 n S达到最大值 的n是高. （ ） 【解析】设公比为q,由已知得 284 111 2a qa qa q,即 2 2q ,因为等比数列 n a的公比为 正数，所以2q ,故 2 1 12 22 a a q ,选 B 9 （20202020 年高考湖南卷文科第年高考湖南卷文科第 3 3 题）题）设 n S是等差数列 n a的前 n 项和，已知 2 3a ， 6 11a ，则 7 S等于( ) A13 B35 C49 D 63 【答案】C 【解析】 1726 7 7()7()7(3 11) 49. 222 aaaa S 故选 C. 或由 211 61 31 5112 aada aadd , 7 1 6 213.a 所以 17 7 7()7(1 13) 49. 22 aa S 故选 C. 10. （20202020 年高考福建卷理科第年高考福建卷理科第 3 3 题）题）等差数列 n a的前 n 项和为 n S，且 3 S =6， 1 a=4， 则公差 d 等于( ) A1 B 5 3 C.- 2 D 3 【答案】C 【解析】 313 3 6() 2 Saa且 311 2 =4 d=2aad a.故选 C 11 （20202020 年高考江西卷理科第年高考江西卷理科第 8 8 题）题）数列 n a的通项 222 (cossin) 33 n nn an ，其前 n项和为 n S，则 30 S为( ) A470 B490 C495 D510 【答案】A 【解析】由于 22 cossin 33 nn 以 3 为周期,故 222222 222 30 12452829 (3 )(6 )(30 ) 222 S 22 1010 2 11 (32)(31)59 10 11 (3 ) 925470 222 kk kk kk 故选 A 12.12.（20202020 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 9)9)九章算术 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自下 而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的 容积为（ ） A. 1 升B. 67 66 升C. 47 44 升D. 37 33 升 【答案答案】D 【解析解析】设 9 节竹子的容积从上往下依次为a1,a2,a9，公差为 d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得： 5 67 66 a ，所以选 B. 13. (2020(2020 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 12)12)设 n S是等差数列 Nnan的前n项和，且1 1 a， 7 4 a，则 5 S . 【答案】25 【解析】 因为1 1 a，7 4 a，所以2d，则25 2 45 5 15 daS.故填 25 14.14. (2020(2020 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 11)11)等差数列 n a前 9 项的和等于前 4 项的和.若 14 1,0 k aaa，则k . 【答案答案】10 【解析解析】由题得10 6 1 031) 1(1 2 34 4 2 89 9 kd ddk dd . 【解析】 2 (4)( ) 3 n n an n则 1 1 2 (1)(5)( ) 2(1)(5) 3 2 3 (4) (4)( ) 3 n n n n nn ann an n n n 于是 2 2(1)(5)3 (4)10nnn nn 令 2 100n得1010n，则 1 1 n n a a ， 4n 时递增，令 2 100n得10n ，则 1 1 n n a a ，4n 时递减，故4n 是最大项， 即4k . 17. （20202020 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 21)21) (本小题满分 14 分） （1）已知两个等比数列 nn ba ,，满足3, 2, 1,0 3322111 abababaaa， 若数列 n a唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列 nn ba ,，使得 44332211 ,abababab成公差 不为0 的等差数列？若存在，求 nn ba , 的通项公式；若 不存在，说明理由 【解析】 （1） n a要唯一，当公比0 1 q时，由 33221 3,2, 21ababab且 31 2 2 bbb0134312 1 2 1 2 1 2 1 aaqaqaqaaq， 0a，0134 1 2 1 aaqaq最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根） 01401344 2 aaaaa，此时满足条件的 a 有无数多个，不符合。 当公比0 1 q时，等比数列 n a首项为 a，其余各项均为常数 0，唯一，此时由 0134312 1 2 1 2 1 2 1 aaqaqaqaaq，可推得 3 1 , 013aa符合 综上： 3 1 a。 （2）假设存在这样的等比数列 21 qq,，公比分别为 nn ba，则由等差数列的性质可得： 44113322 abababab，整理得： 11 131231 qaaqbb 要使该式成立，则1 2 q=101 211 qqq或0 3131 aabb此时数列 22 ab ， 33 ab 公差为 0 与题意不符，所以不存在这样的等比数列 nn ba ,. 18. （20202020 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 17)17)（本小题满分 12 分） 已知等差数列an中，a1=1，a3=-3. （I）求数列an的通项公式； （II）若数列an的前 k 项和 Sk=-35，求 k 的值. 【解析】 （I）设等差数列an的公差为d,则 1 (1) n aand,由 1 1a ， 3 3a 可得 123d ，解得 2d ,从而1 (1) ( 2)32 n ann . （II）由（I）可知32 n an,所以 2 1 (32 ) 2 2 n nn Snn ,由 Sk=-35，可得 2 235kk , 即 2 2350kk,解得7k 或5k ,又kN ,故7k . 19 （20202020 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 20)20)（本题满分 13 分） 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M，M 的价值在使用过程中逐年减少，从 第 2 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的价值 为上年初的 75% （I）求第 n 年初 M 的价值 n a的表达式； （II）设 12 , n n aaa A n 若 n A大于 80 万元，则 M 继续使用，否则须在第 n 年初对 M 更新，证明：须在第 9 年初对 M 更新 【解析解析】 （I）当6n 时，数列 n a是首项为 120，公差为10的等差数列 66 678 6 333 ()570704 1 ( )780210 ( ) 444 3 780210 ( ) 4 . nn nn n n SSaaa A n 因为 n a是递减数列，所以 n A是递减数列，又 8 69 6 89 33 780210 ( )780210 ( ) 4779 44 8280,7680, 864996 AA 所以须在第 9 年初对 M 更新 20. （20202020 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 20)20)（本小题共 12 分） 已知 n a是以a为首项，q 为公比的等比数列， n S为它的前n项和. （）当 134 ,S S S成等差数列时，求 q 的值； ()当 m S， n S， i S成等差数列时，求证：对任意自然数, m kn ki k k aaa 也成等差数列. 【解析解析】 （）当1q 时， 134 ,3 ,4Sa Sa Sa，因为 134 ,S S S成等差数列，所以 2 34aaa，解得0a ，因为0a ，故1q ； 当1q 时， 34 134 (1)(1) , 11 aqaq Sa SS qq ，由 134 ,S S S成等差数列得 34 2 (1)(1) 11 aqaq a qq ，得 32 210qq ，即 2 110qqq， 15 2 q . 21 （20202020 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 2222） （本小题满分 14 分） 在数列 n a中， 1 a=0，且对任意 k * N， 2k 12k2k+1 a,a,a 成等差数列，其公差为 2k. （）证明 456 a ,a ,a成等比数列；（）求数列 n a的通项公式； （）记 222 23 23 n n n T aaa A A A，证明 n 3 2nT2 n 2 （2）. 【解析解析】 （I）证明：由题设可知， 21 22aa， 32 24aa， 43 48aa， 54 412aa， 65 618aa.从而 65 54 3 2 aa aa ，所以 4 a， 5 a， 6 a成等比数列. （II）解：由题设可得 2121 4 ,* kk aak kN 所以 2112121212331 . kkkkk aaaaaaaa 441.4 1kk 21 ,*k kkN. 由 1 0a ，得 21 21 k ak k ，从而 2 221 22 kk aakk . 所以数列 n a的通项公式为 2 2 1, 2 , 2 n n n a n n 为奇数 为偶数 或写为 2 11 24 n n n a ，*nN。 （III）证明：由（II）可知 21 21 k ak k ， 2 2 2 k ak， 以下分两种情况进行讨论： （1）当 n 为偶数时，设 n=2m*mN 若1m ，则 2 2 22 n k k k n a ， 若2m ，则 22 222 11 2 21111 221 2214441 221 nmmmm kkkkk kkk kkkkkk aaakk k 2 11 11 4411 11 222 212121 mm kk kk mm k kk kkk 1131 22112 22 mmn mn . 所以 2 2 31 2 2 n k k k n an ，从而 2 2 3 22,4,6,8,. 2 n k k k nn a （2）当 n 为奇数时，设21*nmmN。 22 22 2 22 21 212131 4 2221 nm kk kkm mmkk m aaamm m 1131 42 22121 mn mn 所以 2 2 31 2 21 n k k k n an ，从而 2 2 3 22,3,5,7,. 2 n k k k nn a 综合（1）和（2）可知，对任意2,*,nnN有 3 22. 2 n nT 22(2020(2020 年高考北京卷文科年高考北京卷文科 16)16)（本小题共 13 分） 已知| n a为等差数列，且 3 6a ， 6 0a 。 （）求| n a的通项公式； （）若等差数列| n b满足 1 8b ， 2123 baaa，求| n b的前 n 项和公式 【解析解析】 （）设等差数列 n a的公差d。 23(2020(2020 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 22)22)（本小题满分 14 分） 正实数数列 n a中， 1 1a ， 2 5a ，且 2 n a成等差数列 （1）证明数列 n a中有无穷多项为无理数； （2）当n为何值时， n a为整数，并求出使200 n a 的所有整数项的和 【解析解析】证明：（1）由已知有： 2 124(1) n an ，从而124(1) n an， 方法一：取 21 124 k n ，则 2* 124() k n akN 用反证法证明这些 n a都是无理数 假设 2 124 k n a 为有理数，则 n a必为正整数，且24k n a ， 故241 k n a 241 k n a ，与(24 )(24 )1 kk nn aa矛盾， 所以 2* 124() k n akN都是无理数，即数列 n a中有无穷多项为 无理数； 方法二：因为 2 1 124 () n an nN ，当n得末位数字是 3,4,8,9 时， 124n的末位数字是 3 和 7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平 方，故此时 1 124 n an 不是有理数，因这种n有无穷多，故这种无 理项 1n a 也有无穷多 （2）要使 n a为整数，由(1)(1)24(1) nn aan可知：1,1 nn aa同为 偶数，且其中一个必为 3 的倍数，所以有16 n am 或16 n am 当 61 n am时，有 22 361211 12 (31)() n ammmmmN 又 (31)mm必为偶数，所以61() n ammN满足 2 124(1) n an 即 (31) 1() 2 mm nmN 时， n a为整数；同理 * 61() n ammN有 22* 361211 12 (31)() n ammmmmN 也满足 2 124(1) n an 即 * (31) 1() 2 mm nmN 时， n a为整数；显然 * 61() n ammN和61() n ammN是数列中的不同项；所以 当 (31) 1() 2 mm nmN 和 * (31) 1() 2 mm nmN 时， n a为 整数；由61200() n ammN 有033m， 由 * 61200() n ammN 有133m 设 n a中满足200 n a 的所有整数项的和为S，则 (5 11197)(1 7 13199)S 5 1971 199 33346733 22 24. (2020(2020 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 19)19)（本题满分 14 分）设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，满足 56 S S+15=0. （）若 5 S=5，求 6 S及 a1；（）求 d 的取值范围. 【解析解析】()解：由题意知S6= 5 -15 S =-3, A6=S6-S5=-8 所以 1 1 5105, 58. ad ad 解得a1=7,所以S6= -3,a1=7 ()解：因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a12+9da1+10d2+1=0. 【解析】通过 25 80aa，设公比为q，将该式转化为08 3 22 qaa，解得q=-2，带入 所求式可知答案选 A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 2(2020(2020 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 5)5)设数列 n a的前 n 项和 2 n Sn，则 8 a的值为( ) （A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64 【答案】A 【解析】 887 644915aSS. 3 （20202020 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 7 7）设 n a是首项大于零的等比数列，则“ 12 aa”是“数列 n a是递增数列”的( ) （A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若已知 12 a a，则设数列 n a的公比为q，因为 12 a 0，所以数列 n a是递增数列；反之，若数列 n a是递增数列，则公比q1且 1 a 0，所以 11 a a q，即 12 a a，所以 12 a a是数列 n a是递增数列的充分必要条件。 4 4(2020(2020 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 7)7)等比数列 n a中， 1 1a ， 52 8aa ， 52 aa，则 n a A 1 ( 2)n B 1 ( 2)n C( 2)n D( 2)n 5 （20202020 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 3 3）设 n S为等比数列 n a的前n项和，已知 34 32Sa， 23 32Sa，则公比q ( ) （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】B 【解析】两式相减得， 343 3aaa， 4 43 3 4,4 a aaq a . 6 6 （20202020 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 4 4）已知数列 n a为等比数列， n S是它的前 n 项和，若 2 a a2a， 且 4 a与 7 2a的等差中项为 5 4 ，则 S5=w( ) A35 B33 C31 D29 7 （20202020 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 2 2）在等差数列 n a中， 19 10aa，则 5 a的值为( ) （A）5 （B）6 （C）8 （D）10 【答案】A 【解析】由角标性质得 195 2aaa，所以 5 a=5. 8 8 （20202020 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 7 7）已知等比数列 m a中，各项都是正数，且 1 a， 32 1 ,2 2 aa成 等差数列，则 910 78 aa aa ( ) A.12B. 12C. 32 2D32 2 【答案】C 二填空题：二填空题： 13 （20202020 年高考北京卷文科第年高考北京卷文科第 1010 题）题）若数列 n a满足： 11 1,2() nn aaa nN ，则 5 a ；前 8 项的和 8 S .（用数字作答） 【答案答案】255】255 【解析解析】 121324354 1,22,24,28,216aaaaaaaaa， 易知 8 8 21 255 2 1 S . 1414 （20202020 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 1414）设 n S为等差数列 n a的前n项和，若 36 324SS， 则 9 a 。 【答案答案】15】15 【解析解析】由 31 61 3 2 33 2 6 5 624 2 Sad Sad ,解得 1 1 2 a d ， 91 815.aad 15( (浙江省温州市浙江省温州市 20202020 年高三第一次适应性测试理科年高三第一次适应性测试理科) )已知数列 n a是公比为q的等比数 列，集合 1210 ,Aa aa，从A中选出 4 个不同的数，使这 4 个数成等比数列，这样得 到 4 个数的不同的等比数列共有 【答案答案】24 【解析解析】以公比为q的等比数列有 1234 ,a a a a 78910 ,a a a a共7组； 以公比为 2 q的等比数列有 1357 ,a a a a 46810 ,a a a a共4组； 以公比为 3 q的等比数列有 14710 ,a a a a共1组. 再考虑公比分别为 23 111 , q qq 的情形，可得得到 4 个数的不同的等比数列共有24个. 三三 解答题：解答题： 17.（20202020 年高考山东卷理科第年高考山东卷理科第 2020 题）题） （本小题满分 12 分） 等比数列 n a的前 n 项和为 n S，已知对任意的nN ，点( ,) n n S，均在函数 (01, ,) x ybr bbb r且均为常数的图像上. （）求 r 的值； (文科)（）当 b=2 时，记 1( ) 4 n n n bnN a ,求数列 n b的前 n 项和 n T. (理科)（）当 b=2 时，记 2 2(log1)() nn banN ,证明：对任意的nN ，不等 式 12 12 111 1 n n bbb n bbb 成立 【解