2020高考数学冲刺 三角函数

三角函数知识点总结精华 1. 与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：终边在x轴上的角的集合： 终边在y轴上的角的集合：终边在坐标轴上的角的集合： 终边在y=x轴上的角的集合： 终边在轴上的角的集合：若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：2. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718弧度与角度互换公式： 1rad57.30=5718 10.01745（rad）3、弧长公式：. 扇形面积公式：4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 ； ； ； ； ；. .5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.7. 三角函数的定义域：三角函数 定义域sinxcosxtanxcotxsecxcscx8、同角三角函数的基本关系式： 9、诱导公式： “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 公式组六 （二）角与角之间的互换公式组一 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：（A、0）定义域RRR值域RR周期性 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上为增函数；上为减函数（）；上为增函数上为减函数（）上为增函数（）上为减函数（）上为增函数；上为减函数（）注意：与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.与的周期是.或（）的周期.的周期为2（，如图，翻折无效）. 的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.当；.与是同一函数,而是偶函数，则.函数在上为增函数.（） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）不是周期函数；为周期函数（）；是周期函数（如图）；为周期函数（）；的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： .babay+=+=jaba)sin(sincos22 其中tanj=b/a 且j所在的象限与（a，b）相同,.11、三角函数图象的作法：）、几何法：）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.）、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数yAsin（x）的振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当x0时的相位）（当A0，0 时以上公式可去绝对值符号），由ysinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当0|A|1）到原来的|A|倍，得到yAsinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换（用y/A替换y）由ysinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0|1）或缩短（|1）到原来的倍，得到ysin x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换(用x替换x)由ysinx的图象上所有的点向左（当0）或向右（当0）平行移动个单位，得到ysin（x）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移(用x替换x)由ysinx的图象上所有的点向上（当b0）或向下（当b0）平行移动b个单位，得到ysinxb的图象叫做沿y轴方向的平移（用y+(-b)替换y）由ysinx的图象利用图象变换作函数yAsin（x）（A0，0）（xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。试题精粹江苏省2020年高考数学联考试题12（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2020届高三调研考试）在斜三角形中，角所对的边分别为，若，则 （3）8（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2020届第一次联考）在中，且的面积，则的值= .（4）10（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2020届第一次联考）已知，则的值= .（）12. （常州市2020届高三数学调研）设函数，其中是非零常数.（1）若是增函数，则的取值范围是_； 10（姜堰二中学情调查（三）若A是锐角三角形的最小内角，则函数的值域为 14. （泰州市2020届高三第一次模拟考试）已知是锐角的外接圆的圆心，且，若,则 。；（用表示）9（江苏省南通市2020届高三第一次调研测试）函数，又，且的最小值等于，则正数的值为 114（江苏省南通市2020届高三第一次调研测试）已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是 27、（南通市六所省重点高中联考试卷）设，则函数(的最小值是 12、（南通市六所省重点高中联考试卷）已知函数，R，则，的大小关系为 4、（宿迁市高三12月联考）若将函数的图像向右平移个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则的最小值为_ _；1 （无锡市1月期末调研）已知，则= 7（徐州市12月高三调研）已知函数，则的值为 . 8（盐城市第一次调研）观察下列几个三角恒等式:；. 一般地,若都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 . 15（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2020届高三调研考试）（本小题满分14分）是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，四边形的面积为求的最大值及此时的值；设点在的条件下求15解: 由已知 3， 又故的最大值是，此时, 8 10=1415（姜堰二中学情调查（三）（本小题满分14分）在ABC中，分别为角A、B、C的对边，=3, ABC的面积为6 求角A的正弦值； 求边b、c； 15（本小题满分14分）在ABC中，分别为角A、B、C的对边，=3, ABC的面积为6 求角A的正弦值； 求边b、c； 解：（1） 7分（2），20 由及20与=3解得b=4，c=5或b=5,c= 4 7分16. （泰州市2020届高三第一次模拟考试）(本小题满分14分)已知，。（1）若，记，求的值；（2）若，且，求证：。16. ，. （3分） （5分）. （7分），.（9分）又，（12分）. （14分）16、（宿迁市高三12月联考）（本题满分14分）在中，角的对边分别为，且满足。（1）求角的大小；（2）设，试求的最小值。16、解：（1），由正弦定理得：2分,化为,4分,得，7分(2) 8分12分.从而13分取得最小值，所以，的最小值为。 14分OxyCAB第15题15（盐城市第一次调研）(本小题满分14分)如图,为坐标原点,点均在O上,点,点在第二象限,点. （）设,求的值；（）若为等边三角形,求点的坐标.15解：（）因为,所以6分（）因为为等边三角形,所以,所以 10分 同理, ,故点的坐标为14分9. （苏北四市2020届高三第二次调研）在中，角的对边分别是，若，则的面积是 15. （苏北四市2020届高三第二次调研）（本小题满分14分）已知函数.（1）求的值；（2）求的最大值及相应的值15.（1） 2分6分（1） 10分，12分 当时，此时，即，14分试题精粹江苏省2020年高考数学联考试题一、填空题:12（江苏省无锡市2020年普通高中高三质量调研）如图，两座相距60的建筑物AB、CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 。解析：由图知直角三角形ABD中AB=20m,BD=60m,则AD= m,同理易得AC= m,在中得A=.6（江苏省无锡市部分学校2020年4月联考试卷）函数的最大值与最小值的积是 。解析：，所以：最大与最小值的积为。11（江苏省无锡市部分学校2020年4月联考试卷）若，则的大小关系是 。解析：我们知道当时，且为减函数，从而： （当时，），所以。2（江苏省泰州市2020届高三联考试题）若函数的最小正周期为，则正实数_解析：由函数的最小正周期为知，则正实数2.4（江苏省泰州市2020届高三联考试题），其中，则_解析：由 ，其中，知则,又因为得.4. (江苏通州市2020年3月高三素质检测)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是_ . 1（2020年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）函数的最小正周期为 12、（江苏省连云港市2020届高三二模试题） 在中，分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则的取值范围是 13、（江苏省连云港市2020届高三二模试题）函数f(x)是定义在4，4上的偶函数，其在0，4上的图象如图所示，那么不等式 0的解集为 （，1）（1，）3（江苏省苏南六校2020年高三年级联合调研考试）在上是减函数，则_12（江苏省苏南六校2020年高三年级联合调研考试）（其中），则_9. （2020年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.若在上为增函数，则的最大值为 . 214、（江苏省南京市2020年3月高三第二次模拟）已知定义域为D的函数f(x),如果对任意xD,存在正数K, 都有f(x)Kx成立，那么称函数f(x)是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：f(x)=2x=；=；=，其中是“倍约束函数的是 。二、解答题 15（2020年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）(本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）求的值；（3）若ABC的面积，求a的值15解：（1） =， 2分 ， ，= 5分 （2），为锐角， ， ， 8分 = 10分 （3）， ， 12分又S=， ， 14分 15（江苏省无锡市部分学校2020年4月联考试卷）（14分）（1）设，若对任意的，都有关于的等式恒成立，试求的值； （2）在中，三边所对的角依次为，且， ，且，求的值。15、（江苏省连云港市2020届高三二模试题）（14分）中，角的对边分别为，且（1）判断的形状；（2）设向量，且，求15、解：（1）由题，故，由正弦定理，即又，故，因，故即，故为直角三角形 7分（2）由于，所以 且，即 联立解得，故在直角中，14分20（江苏省苏南六校2020年高三年级联合调研考试）（本小题满分16分）已知函数 ，（）若在上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为，试求和的值。（）若为奇函数，（1）是否存在实数，使得在为增函数，为减函数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（2）如果当时，都有恒成立，试求的取值范围。 15. （2020年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）在平面直角坐标系中，点在角的终边上，点在角的终边上，且（1）求的值；（2）求的值15.（1）因为，所以，即，所以，所以6分 （2）因为 ，所以，所以， 又点在角的终边上，所以， 同理 ，所以14分16（江苏省泰州市2020届高三联考试题）（本小题满分14分）在中，角所对的对边长分别为；（1）设向量，向量，向量，若，求的值；（2）已知，且，求解：（1），由，得， （4分）即所以； （7分）（2）由已知可得，则由正弦定理及余弦定理有：，（10分）化简并整理得：，又由已知，所以，解得，所以 （14分）15（江苏省洪泽中学2020年4月高三年级第三次月考试卷（本题满分14分）已知角、是的内角，分别是其对边长，向量，.（1）求角的大小；（2）若求的长.三角函数解题技巧高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。方法技巧1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=等。（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。2.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。例题分析例1已知，求（1）；（2）的值.解：（1）； (2) .说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。例2求函数的值域。解：设，则原函数可化为，因为，所以当时，当时，所以，函数的值域为。例3已知函数。（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数的图像关于直线对称。解： (1)所以的最小正周期，因为，所以，当，即时，最大值为；(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，因为，所以成立，从而函数的图像关于直线对称。例4 已知函数y=cos2x+sinxcosx+1 （xR）,（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=cos2x+sinxcosx+1= (2cos2x1)+ +（2sinxcosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+所以y取最大值时，只需2x+=+2k,（kZ），即 x=+k,（kZ）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为x|x=+k,kZ（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像； （iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (x+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx0时，y=+1=+1化简得：2(y1)tan2xtanx+2y3=0tanxR，=38(y1)(2y3) 0,解之得：yymax=，此时对应自变量x的值集为x|x=k+,kZ例5已知函数 （）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标； （）如果ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.解： （）由=0即即对称中心的横坐标为（）由已知b2=ac 即的值域为.综上所述， ， 值域为 . 说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。例6在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，(1)求的值；(2)若，且a=c，求的面积。解：(1)由正弦定理及，有，即，所以，又因为，所以，因为，所以，又，所以。(2)在中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面积为。例7已知向量，且，(1)求函数的表达式；(2)若，求的最大值与最小值。解：(1)，又，所以，所以，即；(