2020高考数学核心考点90天突破 专题6 不等式

2020 考前考前 90 天突破天突破高考核心考点高考核心考点 专题六专题六 不等式不等式 【考点定位考点定位】2020】2020 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 20202020 考纲解读考纲解读 不等式（1）不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际 背景. （2）一元二次不等式 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 通过 函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 会解一元 二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. （3）二元一次不等式组与简单线性规划问题 会从实际情境中抽象出二元一次不 等式组. 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. （4）基本不等式： 了解基本不等式的证明过程. 会用( ,0) 2 ab ab a b 基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 不等式选讲 1）理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下 不等式： abab； abaccb；会利用 绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： axbc；axbc；xaxbc. （2）了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明. 柯 西不等式向量形式：|. . （通常称为平面三角不等式）. 近几年考点分布近几年考点分布从近几年的高考试题来看，对不等式重点考查的有四种题型：解不等 式、证明不等式、不等式的应用、不等式的综合性问题。这些不等式试题主要体现了等价 转化、函数与方程、分类讨论等数学思想 随着以培养创新精神和实践能力为重点的素 质教育的深入发展，近年来高考命题越来越关注开放性、探索性等创新型问题，尤其是与 函数、导数、数列综合的不等式证明问题以及涉及不等式的应用题等。考查的内容及其难 度主要以有以下几点：1、不等式的性质、基本不等式和绝对值不等式的考查，大多出现在 选择题或填空题中，一般属于容易题或中档题。因此，关于这一部分的知识，重在理解并 深刻记忆基本公式. 2、含参的不等式问题是近几年考的较多的一种题型，特别是不等式恒 成立问题中参数取值范围的求法。3、不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常 以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以 导数或向量为背景的导数（或向量） 、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的 代数逻辑推理题。问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高。 【考点考点 pk】pk】名师考点透析名师考点透析 考点一考点一 不等式的概念和性质 例 1 设不等式x22ax+a+20 的解集为M，如果M1，4 ，求实数a的取值范围 解 M1，4有两种情况 其一是M=，此时0；其二是M，此时=0 或 0，分三种情况计算a的取值范围 设f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2) (1)当0 时，1a2，M=1，4 (2)当=0 时，a=1 或 2 当a=1 时M=11，4 ；当a=2 时，m=21，4 (3)当0 时，a1 或a2 设方程f(x)=0 的两根x1，x2，且x1x2， 那么M=x1，x2 ，M1，41x1x24 0, 41 0)4(, 0) 1 ( 且 且 a ff 即 21 0 0718 03 aa a a a 或 ，解得 2a 7 18 ，M1，4时，a的取值范围是(1， 7 18 ) 【名师点睛名师点睛】：对二次不等式进行分类讨论，三种情况下分别计算，主要考查一元二次不 等式的求解和集合的关系的综合 例 2：不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ 2 313xxaaxa ） AB C D(, 14,) (, 25,) 1,2 (,12,) 【答案】A 【解析】因为对任意 x 恒成立， 2 4314313xxxxaa 对 所以 22 343041aaaaaa 即，解得或 【名师点睛名师点睛】： 不等式的恒成立问题我们一般利用函数的最值问题来解决，也可以采用分 离参数的思想进行求解，有关参数的取值范围。 考点二考点二算术平均数与几何平均数 例 3：设若的最小值为0,0.ab 11 333 ab ab 是与的等比中项，则 A 8 B 4 C 1 D 1 4 【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了 变通能力。 【解析】因为，所以，333 ba 1 ba ，当且仅当即4222) 11 )( 11 b a a b b a a b ba ba bab a a b 时“=”成立，故选择 C 2 1 ba 【名师点睛名师点睛】：对于均值不等式的运用，我们一般要关注不等式求最值时满足的三点：一 正，二定，三相等。需要从题目中挖掘有关定值的等式，考虑求最值时的方法：不等式法， 单调性法，导数法等等来进行。最值问题使我们高频试题，要注意积累常用的方法。 考点三考点三 线性规划 例 4：已知实数 x、y 满足 则目标函数 z=x-2y 的最小值是_. 2 2 3 yx yx x 【答案】9 【解析】画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：z，画直线xy 2 1 及其平行线，当此直线经过点 A 时，z 的值最大，z 的值最小，A 点坐标为xy 2 1 （3,6） ，所以，z 的最小值为：3269。 【名师点睛名师点睛】：对于线性规划问题主要是作图，然后画图虚实要分，准确利用平移进行求 解有关的最值。该类试题也有逆向问题，含有参数问题的求解运用， 需要灵活运用。 例 5：某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原 料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不 超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 【答案答案】D 【解析解析】设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：xy A 原 料 B 原 料 甲产品吨x 3x 2x 乙产品 吨y y 3y 则有： 目标函数 1832 133 0 0 yx yx y x yxz35 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当3，5 时可获得xy 最大利润为 27 万元，故选 D 【名师点睛名师点睛】： 运用不等式解决现实生活中的最优解问题，比如材料最省，容积最大，面 积最大，利润最大等等问题。抽象不等式，准确表示线性约束条件，然后结合图像求解。 该类试题是高考中必考的知识点，我们要多加以练习。 考点四考点四 实际应用实际应用 例 6：某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 台，每批都购入 x 台 （x 是正整数） ，且每批均需付运费 4 元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入 书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入 4 台，则该月需用去运费和保管费共 52 元， 现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费（1）求该月需用去的运费和保管费的 总费用（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明( );f x 理由. （3，4） （0，6） O （，0） 3 13 y x9 13 【名师点睛名师点睛】：本试题是创新题目，主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查 数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力，这也是高考的趋势，我们要主语创新能 力的培养，数学建模思想的树立。 【金题热身金题热身】 1111 年高考试题及解析年高考试题及解析 1、 （陕西文 3）.设，则下列不等式中正确的是 0ab （A） （B） 2 ab abab 2 ab aabb （C ） (D) 2 ab aabb 2 ab abab 【答案】B 【解析】：，0ab ,aba aaabb bb 22 bbab b 又所以故选 B 2 ab ab 2 ab aabb 2、 （陕西理）.若关于 x 的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 12axxa 【解析】：因为所以存在实数解，有12|12| 3xxxx 12axx 或3a 3a 3a 3、 （广东文 5 5） 不等式不等式的解集是（的解集是（ ） 2 210 xx A A B B 1 (,1) 2 (1,) C C D D (,1)(2,) 1 (,)(1,) 2 【解析解析】D.】D.由题得由题得所以选所以选 D.D. , 2 1 10) 1)(12(012 2 xxxxxx或 4、 （广东理 9 9）. .不等式不等式的解集是的解集是_._.130 xx 【解析解析】由题得由题得 所以不等式的解集为所以不等式的解集为1)3() 1(|3|1| 22 xxxxx 。1|xx 5、 （山东理 4）.不等式的解集为（ ）1035xx A B。 C. D。7,56,4 ,75, ,64, 【解析】法一：零点分段讨论（略） ；法二：由不等式的几何意义，不等式 表示数轴上的点与点 5 的距离和数轴上的点与点的距离之和，其距35xxxx3 离之和的最小值为 8，结合数轴，选项 D 正确。 6、 （江西文 15） 对于，不等式的解集为_xR1028xx 7、 （湖南理）.设，且，则的最小值为 .Ryx,0xy 2 22 2 4 11 y xy x 解析：由，且可知：，则Ryx,0xy0, 0, 0 2222 yxyx （当且仅945 1 45 1 4414 11 22 22 22 222 22 2 yx yx yx yxy xy x 当 时，取到等号） 。故填 9 评析：本小题主要考查不等式的性质和基本不等式 22 22 1 4 yx yx 求最值问题. 8、 （重庆文 7） 若函数=(2)n 在处取最小值，则( )f x 1 2 x x xaa A12 B13 C3 D4 【命题意图】本题考查利用均值不等式求最值，考查学生转化与化归能力、运运算求解 能力，是中档题. 【解析】2，=4，x( )f x 1 2 x x 1 22 2 x x 1 222 2 x x 当且仅当即=3 时，即=3，=4，故选 C. 1 2 2 x x xa min( ) fx 9、 （重庆文 15） 若实数的最大值是 , ,222,2222, aba babca b c a b cc 满足则 【命题意图】本题考查基本不等式的应用，指数、对数等相关知识，考查了转化与化归 思想，是难题. 【解析】=，4，2a b 22 ab 2 2a b 2a b 又=，=，=4，即4，222 abc 2a b c 22 a bc 22 a bc 2 21 c c 2a b 2 21 c c 即0，=，的最大值为.【答 43 2 21 c c 2c 4 3 c 2 4 log 3 2 2log 3c 2 2log 3 案】 2 2log 3 10、 （重庆理 7）已知 a0，b0，a+b=2，则的最小值是 14 y ab （A） （B）4 （C） （D）5 7 2 9 2 解析：选 C。因为 a+b=2，所以 141414149 1452 2222 abbaba y abababa b A 11、 （上海文 16、理 15）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）, a bR0ab A B C D 22 2abab2abab 112 abab 2 ba ab 12、 （浙江文 16）若实数满足，则的最大值是_。, x y 22 1xyxyxy 【解析】： 22222 1()1()()1 2 xy xyxyxyxyxy 2 3 3 xy 13、 （浙江理 16）设为实数，若则的最大值是 , x y 22 41,xyxy2xy .。 【解析】：， 22 4431xyxyxy 2222 3325 1(2)2(2)()(2) 2228 xy xyxyxyxy ，故的最大值为 2 10 2 5 xy2xy 2 10 5 14、 （湖北文 8） 直线与不等式组表示平面区域的公共点 0, 0, 2, 4320 x y xy xy 有 A.0 个 B.1 个 C.2 个D.无数个 解析：画出可行域（如图示） ，可得 B(0,2) , A(2,4), C(5,0) ,D(0, ), E(0,10),故由图知有唯一交点，所以选 B. 20 3 15、 （安徽文 6).设变量 x,y 满足,则的最大值和最小值分别为 ,xy1 xy1 x xy （A） 1，1 (B) 2，2 (C ) 1，2 (D)2，1 【命题意图】本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题.属中等难度 题. 【解析】三条直线的交点分别为（0,1） ， （0，1） ， （1,0） ，分别1,1,0 xyxyx 代入，得最大值为 2，最小值为2.故选 B.xy 【解题指导】：线性规划问题不牵涉目标函数的斜率问题时，可以不画图，直接将交点坐 标求出代入计算即可。 16、 （山东文7）.设变量 x，y 满足约束条件，则目标函 250 20 0 xy xy x 数的最大值为231zxy (A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5 【答案】B 【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线平移至点 A(3,1)时, 231zxy 目标函数取得最大值为 10,故选 B.231zxy 17、 （课标卷文 14、理 13）. 若变量满足约束条件yx, 则的最小值为_ 96 923 yx yx yxz2 解析：如图可知最优解是（4，-5） ，所以， 6)5(24 min z 点评：本题考查线性规划问题，求最优解事先要准确画出线性区域 是关键。 18、 （全国文 4）若变量 x、y 满足约束条件，则 6 32 1 xy xy x 的最小值为23zxy （A）17 （B）14 （C）5 （D）3 【解析】作出可行域，分析可知当，【答案】C1,1xy min 5z 19、 （浙江文 3）若实数满足不等式组 ,则的最小值是xy、 250 270 0,0 xy xy xy 3xy+4 (A)13 (B)15 (C)20 (D)28 【解析】：作出可行域， 2503 2701 xyx xyy 由得 min 3 34 113zA 故选 20、 （天津文 2 2）. .设变量设变量满足约束条件满足约束条件, ,则目标函数则目标函数的最大的最大, x y 1 40 340 x xy xy 3zxy 值为值为 6 yx y 9 yx 92 yx 32 yx ox ) 5, 4 ( A 第 13 题图 A.-4A.-4 B.0B.0 C.C. D.4D.4 4 3 【答案】D 【解析】画出不等式表示的平面区域,容易求出最大值为 4,选 D. 21、 （陕西文 11）.如图，点在四边形 ABCD 内部和边界上运动，那么的最小( , )x y2xy 值为 . 【解析】：令，所以 过时在轴上截距最:20lxy 2 , 31 AB k 1 , 51 DC k l(1,1)C 大，即时有最小值为1,1xy2xy2 1 11 22、 （广东文 6 6、理 5 5）. .已知平面直角坐标系已知平面直角坐标系上的区域上的区域由不等式组由不等式组给给 xOy D 02 2 2 x y xy 定，若定，若为为上的动点，点上的动点，点的坐标为的坐标为，则，则的最大值为（的最大值为（ ,M x y DA 2,1 zOM OA ） A A3 3B B4 4C CD D 3 24 2 【解析解析】由题得不等式组对应的平面区域由题得不等式组对应的平面区域 D D 是如图所示的直角梯形是如图所示的直角梯形 OABC,OABC, ，所以就是，所以就是 | |cos3 |cos3 |zOM OAOMOAAOMOMAOMON 求求的最大值，的最大值，表示表示数形结合观察得数形结合观察得 |ON|ON方向上的投影，在OAOM 当点当点 M M 在点在点 B B 的地方时，的地方时，才最大。才最大。 |ON , , 2 4AOM 2 在中，O A=2 +1= 3, O B=2= 6, AB=2-1=1, 22 2 3612 cos2 3236 AOM AA 所以所以，所以选择，所以选择 B B 42 3 2 63 max z 23、 （浙江理 5）.设实数满足不等式组若为整数，则的, x y 250 270, 0 xy xy x ，y0， , x y34xy 最小值是 （A）14 （B）16 （C）17 （D）19 【解析】：作出可行域，为整数，所以， 503 2701 xyx xyy 由得, x y4,1xy 故选 min 3 44 116z B 24、 （湖南文 14） 设1,m 在约束条件 1 yx ymx xy 下，目标函数5zxy的最大值为 4， 则m的值为 解析：画出可行域，可知5zxy在点 1 (,) 11 m mm 取最大值为 4，解得3m 。 25、 （湖南理 7）.设在约束条件下，目标函数的最大值小于, 1m 1yx mxy xy myxz 2，则的取值范围为m A. B. C. D. 21 , 1 ,21 3 , 1, 3 解析：画出可行域，或分别解方程组，得到三个区域端 mxy xy 1yx xy 1yx mxy 点，0 , 0 2 1 , 2 1 ，当且仅当直线过点时，取到最大值 1 , 1 1 m m m myxz 1 , 1 1 m m m z ,解得。故选 A2 1 1 2 m m z21 , 1 m 评析：本小题主要考查线性规划问题中，利用最值求参数的取值范围问题. 26、 （湖北理 8） 已知向量，且，若满足不等式，(,3),(2,)axzbyzab, x y1xy 则 z 的取值范围为 A.2,2B. 2,3C. 3,2D. 3,3 解析：因为，故，即，可得，又因为ab 0a b 2()3()0 xzyz23zxy ，其图像为四条直线所围成的正方形面，| 1xy1,1,1,1xyxyxyxy 由线性规划可计算得当时，取到，当，取到0,1xy33zxy max 3z0,1xy ，所以选 D. min 3z 27、 （福建理）设不等式的解集为 M.（I）求集合 M；（II）若 a，bM，试比较11-x2 ab+1 与 a+b 的大小. 【解析】：本小题主要考查绝对值不等等基础知识，考查运算的解能力，考查化归与转化 满分 7 分 （）由得解得所以集合 M211x 12 -1 1x 01x |01xx （）由（I）和 a，bM 可知，所以01a01b(1)()abab 所以(1)(1)0ab1abab 28、 （安徽理）.设变量满足则的最大值, x y1,xy2xy 和最小值分别为 （）， （）， （）， （） ， 【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题. 【解析】不等式对应的区域如图所示，当目标函数过1xy 点（0，1） ， （0,1）时，分别取最小或最大值，所以的最大值和最小值分别为2xy 2，2.故选 B. 29、 （江西理）.对于实数,若的最大值为 xy，11,21,21xyxy则 【答案】5 【解析】画出图象，很容易得出答案. 30、 （四川理 9）.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡 车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需运往A地至少 72 吨的货物，派用的每辆车虚满 载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每 辆乙型卡车虚配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元.该公司合理计划党团派用两类卡车的 车辆数，可得最大利润( ) （A）4650 元 （B）4700 元 （C）4900 元 （D）5000 元 解析：设当天派出 x 辆甲卡车和 y 辆乙卡车，获得的利润是，x 和 y 需要450350zxy 满足的条件是当时，；当 80,70, 12,219, 10672, , xy xyxy xyx yN 8, 3 x y max 450 8350 34650z 时，；当时， 7, 5 x y max 450 7350 54900z 6, 6 x y ，越往下的临界值越小，故选 C. max 450 6350 64800z 31、 （江苏）解不等式：解不等式：|21| 3xx 解析：考察绝对值不等式的求解，容易题。原不等式等价于： ，解集为 4 3213,2 3 xxxx 4 ( 2, ) 3 32、 （辽宁文、理） 已知函数= |x-2|-|x-5|。 （I）证明：-33；（II） f x f x 求不等式x2-8x+15 的解集。 f x 解析：（I） 3,2 |2|5|27, 25 3,5 x f xxxxx x 当时，所以。25x3273x 33f x （II）由（I）知，当时，的解集为空集；2x 2 815f xxx 当时，的解集为；25x 2 815f xxx |535xx 当时，的解集为；5x 2 815f xxx|56xx 综上，不等式的解集是。 2 815f xxx |536xx 33、 （安徽理安徽理 19） （本小题满分 12 分） （）设证明，1,1,xy 111 xyxy xyxy （），证明.1abcloglogloglogloglog abcbca bcaabc 【命题意图】：本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识， 考查代数式恒定变形能力和推理论证能力。 【证明】：()由于，所以要证明：1,1xy 111 xyxy xyxy 只要证明：只要证明： 2 () 1()xy xyyxxy 2 ()1 ()()0 xyxyxy xy 只要证明：只要证明：(1)(1)0 xyxyxy (1)(1)(1)0 xyxy 由于，上式显然成立，所以原命题成立。1,1xy （）设，由换底公式得，logabxlogbcy log1 log log b c b a a cxy 1 logba x ，故要证： 1 logcb y logacxyloglogloglogloglog abcbca bcaabc 只要证明：，其中， 111 xyxy xyxy log1 a xblog1 b yc 由()知所要证明的不等式成立。 【解题指导】：证明不等式常规的方法有分析法，综合法，作差法和作商法，无论哪种方 法不等式性质和代数式恒定变形是处理这类问题的关键。 第二问的处理很有艺术性，借助第一问题的结论巧妙地解决了，这也是一题多问的问题解 决常规思路，前面的问题结论对后面问题解决常常有提示作用。 【核心突破核心突破】 2020 年模拟试题 一、选择题 1 （2020 湖南嘉禾一中）已知实数x，y满足约束条件 0 2 1 yx y x 则yxz 2的取值范 围是（ ） A1，2B0，2C1，3D0，1 答案 A 2. （成都市玉林中学）设，不等式的解集是，则0a |axbc | 21xx 等于: :a b c （A） （B） （C） （D）1:2:32:1:33:1:23:2:1 解：的解是：0,|aaxbc且 ，21x cbcb caxbcx aa 则 故选 B 2 2 : :2:1:3 1 cb cba a a b c cbcba a 3 （广东省湛江一中 2020 届高三 10 月月考理）不等式的解集是023 2 xx A BC D21x xx 或12x xx或12xx 21xx 答案 C. 4（河南省辉县市第一中学 2020 届高三 11 月月考理）若，则 0ab A BCD 22 ()a cb c cR1 b a lg()0ab 11 ( )( ) 22 ab 答案 D. 5.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中 2020 届高三 12 月月考）不等式 2 6 0 1 xx x 的解 集为( ) A.2,3x xx或 B.213x xx，或 C.213xxx ，或 D.2113xxx ，或 答案 C. 6（河北省唐山一中 2020 届高三文）已知实数x、y满足，则z2xy的取值 30 2 2 y yx yx 范围是（ ） A. -5,7 B. 5,7 C. 4,7 D. -5,4 答案 D. 7（湖北省南漳县一中 2020 年高三第四次月考文）已知 0ablog 3 b C (lga)2(lgb)2 D( 1 e )a( 1 e )b 答案 A. 8 (江苏省 2020 届数学理)若关于的不等式对任意恒成立，则实xmxx 4 2 1 , 0x 数的取值范围是m A B C D03mm或03m3m3m 答案 D. 9 （福建省厦门外国语学校 2020 届高三 11 月月考理）已知满足约束条件， 3 0 05 x yx yx 则的最小值是（）yxz42 A15 B18 C26 D20 答案 B. 10（甘肃省天水一中 2020 届第三次月考理）设, x y满足约束条件： 1 1 2 210 x yx xy ，则 2zxy的最小值为（ ） A6 B 1 2 答案 B. 11 （四川省成都市玉林中学 2020 届高三理）在 R 上定义运算：xy=x(1y).若不等 式(xa)(xa) 0，若f（1）= 0，那么关于x的不等式x f（x） 0 的解集是 答案 ) 1 , 0() 1,( ， 2（江苏泰兴市重点中学 2020 届高三理）设 f（x）是定义在（-1,1）上的偶函数在 （0,1）上增，若 f（a-2）-f（4-a2）0，y0,x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是（ ） A.3 B.4 C. D. 2 911 2 【答案】B 【解析】考察均值不等式. ，整理得 2 2 2 8)2(82 yx yxyx032242 2 yxyx 即，又，08242yxyx02yx42yx 4. 设不等式组表示的平面区域为 D，若指数函数 y=的图象上存在区域 110 3