2020年高考数学复习：函数与方程

函数与方程1、函数零点的定义：（1）对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。（2）方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点（3）变号零点与不变号零点：若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。2.映射定义：设非空集合A,B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射。若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B可建立nm个映射。3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。相同函数的判断方法：定义域、值域；对应法则。(两点必须同时具备) 4.求函数的定义域常涉及到的依据为：分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义；正切函数角的终边不在y轴上。5.函数解析式的求法：配凑法； 换元法： 待定系数法； 赋值法；消元法等。6.函数值域的求法：配方法；分离常数法；逆求法；换元法；判别式法；单调性法等。7.函数单调性及证明方法: 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)。第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x10)或向右(a0)或向下(a0是单调性相同，当c0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；a0时：最小值在离对称轴近的端点处取得，最大值在离对称轴远的端点处取得；af(x)恒成立af(x)的最大值；af(x)恒成立af(x)恒有解af(x)的最小值；af(x)恒有解af(x)的最大值；a=f(x)恒有解fmin(x)afmax(x)。【esp1】函数在区间内的零点个数是 （ ）A、0 B、1 C、2 D、3【解析】解法1：因为，即且函数在内连续不断，故在内的零点个数是1.【答案】：B解法2：设，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.【esp2】 函数 f(x)2x3x的零点所在的一个区间是 ( )A、(2，1) B、(1,0) C、(0,1) D、(1,2)【解析】 f(1)213(1)0， f(1) f(0)0. f(x)2x3x的零点所在的一个区间为(1,0)【答案】B【esp3】若函数 (且)有两个零点，则实数的取值范围是 .【解析】函数= (且)有两个零点，方程有两个不相等的实数根，即两个函数与的图像有两个不同的交点，当时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.【答案】【esp4】设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)= |xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为 （ ）A、5 B、6 C、7 D、8【解析】因为当时，f(x)=x3. 所以当时，当时，；当时，注意到函数f(x)、 g(x)都是偶函数，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，作出函数f(x)、 g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点，【答案】B【esp5】函数在区间0,4上的零点个数为 （ ）A、4 B、5 C、6 D、7【解析】：f(x)=0，则x=0或cosx2=0，x2=k+,kZ，又x0,4，k=0,1,2,3,4，所以共有6个解.【答案】C【esp6】函数在内 （ ）A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点【解析】解法一：数形结合法，令，则，设函数和，它们在的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数在内有且仅有一个零点；【答案】B解法二：在上，所以；在，所以函数是增函数，又因为，所以在上有且只有一个零点【esp7】求下列函数的零点：（1）；（2）.【解析】（1）由故函数的零点是2，1，-1.（2）故函数的零点是2，-2.【答案】（1）2,1，-1.（2）2，-2.esp8: 已知函数