【精品解析】北京市西城区2020届高三数学4月第一次模拟考试试题解析 理 （教师版）

【试题总体说明】本套试卷严格按照2020年的高考题进行命制，临近高考，题目难度适当，创新度较高。所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度。如选择题1，2,3，4，5,9,10；（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查,如解答题15,16,17,18.（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成；如填空题7.（4）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色如选择题8和解答题20等；（5）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。如19，20题。第卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知全集，集合，则（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】,故选C2执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】x=2,y=5,|2-5|8,x=5,y=11,|5-11|8,y=23,故选D3若实数，满足条件则的最大值为（ ）（A）（B）（C）（D）长为和2，左视图的面积是故选,A5已知函数的最小正周期是，那么正数（ ）（A）（B）（C）（D）6若，则下列结论正确的是（ ）（A）（B） （C）（D）5【答案】B【解析】，故选B6【答案】D【解析】，而，acb故选D7设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为若对，有，则的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】 当时，对恒成立，不成立，舍当0q1时，对恒成立即，又0q1当时，成立，综上可得： 故选A8已知集合，其中，且.则中所有元素之和等于（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】可以取0,1,2,其中，所有情况,会有54种，把所有情况相加得2889，故选D第卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间将测试结果分成组：，得到如图所示的频率分 布直方图如果从左到右的个小矩形的面积之比为，那么成绩在的学生人数是_【答案】54【解析】小矩形的面积之比=频率之比成绩在的学生人数是5410的展开式中，的系数是_（用数字作答）【解析】 极点到的距离13. 已知函数 其中那么的零点是_；若的值域是，则的取值范围是_14. 在直角坐标系中，动点，分别在射线和上运动，且的面积为则点，的横坐标之积为_；周长的最小值是_【答案】 三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）在中，已知（）求角； （）若，求【命题分析】本题考查在三角形中解题，第一问利用 ，从而求出cosA,再利用角的范围求角；第二问利用余弦定理、三角形面积公式，列出方程组，从而求出AB的长（）解：原式可化为 3分 因为， 所以 ， 所以 5分 因为， 所以 6分 （）解：由余弦定理，得 8分 因为 ， 所以 10分 因为 ， 12分所以 13分16.（本小题满分13分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（）求甲以比获胜的概率；（）求乙获胜且比赛局数多于局的概率；（）求比赛局数的分布列.（）解：设比赛的局数为，则的可能取值为 ， 9分 ， 10分 ， 11分 12分比赛局数的分布列为： 13分17（本小题满分14分）如图，四边形与均为菱形， ，且（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的余弦值 【命题分析】本题考查线面垂直、线面平行的证明和二面角问题等综合问题。考查学生的空间想象能力。证明线面垂直的方法：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（2）垂直于同一平面的两条直线平行。第一问是利用第一种方法证明的。证明线面平行的方法：（1）平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（2）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。（3）两个平面平行，其中任一个平面内的直线必平行于另一个平面。第二问是利用方法三证明的。 第三问二面角的余弦值是根据向量法求解，根据题意建立空间直角坐标系，找到平面的法向量，再利用夹角公式求解。 （）解：因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形因为为中点，所以，故平面由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 9分 设因为四边形为菱形，则，所以， 所以二面角的余弦值为 14分18.（本小题满分13分）已知函数，其中.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求的单调区间.【命题分析】本题考查导数的几何意义、函数的单调区间，考查学生利用导数法求解函数性质的解题能力。解题时须注意求导的准确性和明确函数的定义域；本题的第一问利用导数的几何意义直接解答；求解函数的单调区间，一般方法是利用求导的思路进行解答，例如本题的第二问，需要对参数a进行分类讨论得到不同情形下函数的单调区间，分类标准是a与0和-1的比较，注意体会分类标准是如何得到的.（）解：当时，2分由于，所以曲线在点处的切线方程是 4分（）解：， 6分 当时，令，解得 的单调递减区间为；单调递增区间为，8分当时，令，解得 ，或（）求椭圆的方程；（）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【命题分析】本题考查椭圆的离心率，椭圆方程问题以及直线与椭圆的位置关系，考查学生利用待定系数法和解析法的解题能力.分析此类问题时，要充分利用数形结合思想去考虑，达到优化解题思维，简化解题过程的目的.（）解：由 ， 得 . 2分依题意是等腰直角三角形，从而，故. 4分所以椭圆的方程是. 5分（）解：设，直线的方程为. 将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得 . 7分所以 ，. 8分若平分，则直线，的倾斜角互补， 综上，存在定点，使平分. 14分20.（本小题满分13分）对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束（）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件； （）证明：一定能经过有限次“变换”后结束【命题分析】本题考查数列的问题，考查学生的自学能力.试题特点是很有层次性，基本上前第一个问题学生只要耐心认真做答都能够解答出来，考察学生代数推理能力，培养学生逻辑思维.（）解：数列不能结束，各数列依次为；从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形 2分数列能结束，各数列依次为； 3分它变换之前的数列也为常数列，可知数列也为常数列 8分所以，数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是时由引理可知， 第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时下面证明第