上海市华东师范大学第二附属中学2020届高三数学下学期开学考试试题（含解析）

上海市华东师范大学第二附属中学2020届高三数学下学期开学考试试题（含解析）一.填空题1.设全集，若集合，则_【答案】【解析】【分析】先求出，再求得解.【详解】由题得=，-3,-2,2,3,4,5,，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.计算：_【答案】【解析】【分析】设 ，求出 ，即得解.【详解】，设 .所以所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3.已知向量，则_【答案】13【解析】【分析】由题得，即得.【详解】由题得，.故答案为：13【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.如果复数满足，那么_【答案】1【解析】【分析】由题得，所以方程没有实数根，由求根公式求出z的值，再求|z|的大小得解.【详解】，所以，所以方程没有实数根，故答案为：1【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.（）的反函数_【答案】（）【解析】【分析】设（）,求出，再求出原函数的值域即得反函数.【详解】设（）,所以，因为x0，所以，所以.因为x0，所以y0，所以反函数，.故答案为：，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6.方程的解为_【答案】2【解析】【分析】由题得，即，解方程再检验即得解.【详解】经检验，当x=-10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为_【答案】8【解析】【分析】由题得，所以n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解.【详解】由题得，所以n=4, 二项展开式的通项为，令.所以常数项为.故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为_【答案】8【解析】【分析】，且，解方程组即得，即得双曲线的焦距.【详解】，且，所以该双曲线的焦距为8.故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9.已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为_【答案】36【解析】【分析】由题得，再求其轴截面的面积.【详解】由题得，所以.故答案为：36【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为_（结果用最简分数表示）【答案】【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况， 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1； 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；由古典概型得所求的概率为 .故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】为了简化问题，我们可以设单位圆x+y=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)+8y=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆x+y=1，即圆上的点P（cos，sin），第一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cos，0.5sin），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转45，即（cos+sin，sin），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cos+sin，y=sin，为参数，消去参数可得方程为，(x-y)+8y=1.得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.椭圆上的点（cos+sin，sin）到原点的距离的平方为=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设，、R，关于函数（）的下列结论：是的零点；时，函数取得最小值；函数的最小值是3；中有且仅有一个是错误的，则_【答案】-17【解析】【分析】根据假设法推理可知，错误，正确，所以，且，且，解方程组得.【详解】根据假设法推理可知，错误，正确，由得，（因为如果ac0，则函数在定义域内没有最小值，如果a0，c0，则函数在定义域内也没有最小值.）且，且，解方程组得，.故答案为：-17【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二.选择题13.已知无穷等比数列的各项的和为，则“”是“”的（ ）A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据已知得，所以，因为S0，所以0.再利用充要条件的定义判断得解.【详解】由题得，因为S0，所以0.“”是“”的是充要条件.故答案为：A【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，即.故选:B【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知，则函数（R）与（R）图像的交点不可能（ ）A. 只有B. 在直线上C. 多于三个D. 在第二象限【答案】C【解析】【分析】结合函数（R）与（R）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解.【详解】结合函数（R）与（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1个交点，在第三、第四象限，因为函数（R）在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，最多只有3个交点.故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.16.已知是周期为4的奇函数，且当时，方程在区间内有唯一解，则方程在区间上所有解的和为（ ）A. B. 036162C. 3053234D. 3055252【答案】D【解析】【分析】在同一个坐标系下作出函数y=的图像，分析得到在均有三个解，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为，【详解】结合图像对称性，可知，在（0,2上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为21=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（0,2上的三个解的和为2+2=4，在（2,4 上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为23=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（2,4上的三个解的和为6+4=10，所以结合图像对称性，可知，在均有三个解，且均有对称性，在区间上所有解的和为，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.三.解答题17.如图，三棱锥中，、均为直角，.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由题得AB平面BCD,先求出，再求出三棱锥的体积.(2) 以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线与所成角的大小.【详解】（1）由题得AB平面BCD,AD=,BD=，所以,所以三棱锥的体积.（2）如图所示，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,0,1),所以,所以异面直线与所成角的余弦，异面直线与所成角为.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.18.设R，函数.（1）若，解不等式；（2）求所有的，使得在区间上单调递增.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由题得再解不等式得解.(2)分类讨论，和，数形结合分析得到使得在区间上单调递增的a的取值范围.【详解】（1）由题得.（2）若，即，二次函数y=，在区间上单调递增.；若，即或，当，；当，明显符合，所以此时综上，.【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.19.如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为150的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆、.（1）若，平方米，求的长（结果精确到0.01米）；（2）若要求，求花坛面积的最大值（结果精确到0.01平方米）.【答案】(1)10.05 (2) 平方米【解析】【分析】（1）设，由正弦定理得，即，因为所以，解即得解.(2) 连接BD,显然，再利用余弦定理和基本不等式求出，再求花坛面积的最大值.【详解】（1）设，由正弦定理得，因为所以，解得.所以由正弦定理得.（2）连接BD,显然,由余弦定理得，即最大值为平方米.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知抛物线，直线、（），与恰有一个公共点，与恰有一个公共点，与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；（3）设是平面上一点，满足且，求和的夹角大小.【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】（1），因为与恰有一个公共点，所以，再求出抛物线的准线方程和点到准线的距离.（2）由可得，所以.(3) 由题得， 联立与得，联立与得，再求出，根据，求得，解方程得，所以，即得和的夹角为.【详解】（1），与恰有一个公共点，因为抛物线准线为，所以点到准线的距离.（2）由可得，消去得，整理得，（3）由题得， 联立与得，联立与得，与联立得，由第（2）问结论，消去a得，据此，解得，和的夹角为.【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设，若数列满足：对所有，且当时，则称为“数列”，设R，函数，数列满足，（）.（1）若，而是数列，求的值；（2）设，证明：存在，使得是数列，但对任意，都不是数列；（3）设，证明：对任意，都存在，使得是数列.【答案】(1) (2)见证明；(3)见证明【解析】【分析】（1），分两种情况讨论得到.(2) 先证明当，只需，即满足，且当，所以是数列，所以不是数列；再证明当，只需，即满足，且当，所以是数列，所以不是数列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在.再结合函数映射性质可知，当时，所以对任意，都存在，使得是数列.【详解】（1），当，；当，不符；综上所述，. （2）当，既不是