历年高考数学真题考点归纳 2020年 第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线2

历年高考真题考点归纳历年高考真题考点归纳 20202020 年年 第九章第九章 解析几何解析几何 第二节第二节 圆锥曲线圆锥曲线 2 2 三、解答题三、解答题 1.1.（20202020 上海文）上海文）2323（本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题小题 满分满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分. . 已知椭圆的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，(0, )Ab、(0,)Bb和( ,0)Q a为的三个顶点. （1）若点M满足 1 () 2 AMAQAB ，求点M的坐标； （2）设直线 11 :lyk xp交椭圆于C、D两点，交直线 22 :lyk x于点E.若 2 12 2 b kk a ，证明：E为CD的中点； （3）设点P在椭圆内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆的 两个交点 1 P、 2 P满足 12 PPPPPQ 12 PPPPPQ ？令10a ，5b ，点P的坐标是 （-8，-1） ，若椭圆上的点 1 P、 2 P满足 12 PPPPPQ ，求点 1 P、 2 P的坐标. 解析：(1) ( ,) 22 ab M； (2) 由方程组 1 22 22 1 yk xp xy ab ，消y得方程 22222222 11 ()2()0a kbxa k pxapb， 因为直线 11 :lyk xp交椭圆于C、D两点， 所以0，即 2222 1 0a kbp， 设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)， 则 2 121 0 222 1 2 010 222 1 2 xxa k p x a kb b p yk xp a kb ， 由方程组 1 2 yk xp yk x ，消y得方程(k2k1)xp， 又因为 2 2 2 1 b k a k ，所以 2 1 0 222 211 2 20 222 1 a k pp xx kka kb b p yk xy a kb ， 故E为CD的中点； (3) 因为点P在椭圆 内且不在x轴上，所以点F在椭圆 内，可以求得直线OF的斜率 k2，由 12 PPPPPQ 知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率 2 1 2 2 b k a k ，从而得直 线l的方程 1 (1,) 2 F，直线OF的斜率 2 1 2 k ，直线l的斜率 2 1 2 2 1 2 b k a k ， 解方程组 22 1 1 2 1 10025 yx xy ，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3) 2.2.（20202020 湖南文）湖南文）19.（本小题满分 13 分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A、B 两点各建一个考察基 地，视冰川面为平面形，以过 A、B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平 面直角坐标系（图 4） 。考察范围到 A、B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域。 （I）求考察区域边界曲线的方程： （II）如图 4 所示，设线段 12 PP 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界） ，当冰川融化 时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km，以后每 年移动的距离为前一年的 2 倍。问：经过多长时间，点 A 恰好在冰川边界线上？ 3.3.（20202020 浙江理）浙江理）(21) （本题满分 15 分）已知m1，直线 2 :0 2 m l xmy，椭圆 2 2 2 :1 x Cy m ， 1,2 F F分别为椭圆C的左、右焦点. （）当直线l过右焦点 2 F时，求直线l的方程； （）设直线l与椭圆C交于,A B两点， 12 AFFV， 12 BFFV的重心分别为,G H.若原点O在以线段GH为直径的圆 内，求实数m的取值范围. 解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考 察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 （）解：因为直线: l 2 0 2 m xmy经过 2 2( 1,0)Fm ，所以 2 2 1 2 m m ,得 2 2m ， 又因为1m ，所以2m ， 故直线l的方程为 2 2 20 2 xy。 （）解：设 1122 ( ,), (,)A x yB xy。 由 2 2 2 2 2 1 m xmy x y m ，消去x得 2 2 210 4 m ymy 则由 2 22 8(1)80 4 m mm ，知 2 8m ， 且有 2 1212 1 , 282 mm yyy y A。 由于 12 (,0),( ,0),FcF c， 故O为 12 FF的中点， 由2,2AGGO BHHO ， 可知 1121 (,), (,), 3333 xyxy Gh 22 2 1212 ()() 99 xxyy GH 设M是GH的中点，则 1212 (,) 66 xxyy M ， 由题意可知2,MOGH 即 22 22 12121212 ()() 4()() 6699 xxyyxxyy 即 1212 0 x xy y 而 22 12121212 ()() 22 mm x xy ymymyy y 2 2 1 (1 () 82 m m） 所以 2 1 0 82 m 即 2 4m 又因为1m 且0 所以12m。 所以m的取值范围是(1,2)。 4.4.（20202020 全国卷全国卷 2 2 理）理） （21） （本小题满分 12 分） 己知斜率为 1 的直线l与双曲线C： 22 22 100 xy ab ab ，相交于B、D两点，且BD 的中点为1,3M （）求C的离心率； （）设C的右顶点为A，右焦点为F，17DF BF A，证明：过A、B、D三点的圆与 x轴相切 【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础 知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力. 【参考答案】 【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为 背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定. 5.5.（20202020 陕西文）陕西文）20.（本小题满分 13 分） （）求椭圆 C 的方程； ()设 n 为过原点的直线，l 是与 n 垂直相交与点 P，与椭圆相交 于 A,B 两点的直线 立？若存在，求出直线 l 的方程；并说出；若不存在，请说明理由。 6.6.（20202020 辽宁文）辽宁文） （20） （本小题满分 12 分） 设 1 F， 2 F分别为椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的左、右焦点，过 2 F的直线l与椭圆C 相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60， 1 F到直线l的距离为2 3. （）求椭圆C的焦距； （）如果 22 2AFF B ,求椭圆C的方程. 解：（）设焦距为2c，由已知可得 1 F到直线l的距离32 3,2.cc故 所以椭圆C的焦距为 4. （）设 112212 ( ,), (,),0,0,A x yB xyyy由题意知直线l的方程为3(2).yx 联立 22224 22 22 3(2), (3)4 330. 1 yx abyb yb xy ab 得 解得 22 12 2222 3(22 )3(22 ) ,. 33 baba yy abab 因为 2212 2,2.AFF Byy 所以 即 22 2222 3(22 )3(22 ) 2. 33 baba abab 得 22 3.4,5.aabb而所以 故椭圆C的方程为 22 1. 95 xy 7.7.（20202020 辽宁理）辽宁理）(20)（本小题满分 12 分） 设椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两 点，直线 l 的倾斜角为 60o,2AFFB . (I)求椭圆 C 的离心率； (II)如果|AB|= 15 4 ，求椭圆 C 的方程. 解： 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，由题意知 1 y0， 2 y0. （）直线 l 的方程为 3()yxc，其中 22 cab. 联立 22 22 3(), 1 yxc xy ab 得 22224 (3)2 330abyb cyb 解得 22 12 2222 3(2 )3(2 ) , 33 b cab ca yy abab 因为2AFFB ，所以 12 2yy. 即 22 2222 3(2 )3(2 ) 2 33 b cab ca abab 得离心率 2 3 c e a . 6 分 （）因为 21 1 1 3 AByy，所以 2 22 24 315 343 ab ab . 由 2 3 c a 得 5 3 ba.所以 515 44 a ，得 a=3，5b . 椭圆 C 的方程为 22 1 95 xy . 12 分 8.8.（20202020 全国卷全国卷 2 2 文）文） （22） （本小题满分 12 分） 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 相交于 B、D 两点，且 BD 的中 点为 M（1.3） （） （）求 C 的离心率； （） （）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|BF|=17 证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切。 【解析解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。 （1 1）由直线过点（）由直线过点（1 1，3 3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于 BDBD 两点的中点为两点的中点为 （1 1，3 3） ，可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出，可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 A,BA,B 的关系式即求得离心率。的关系式即求得离心率。 （2 2）利用离心率将条件）利用离心率将条件|FA|FB|=17|FA|FB|=17，用含，用含 A A 的代数式表示，即可求得的代数式表示，即可求得 A A，则，则 A A 点坐标可得点坐标可得 （1 1，0 0） ，由于，由于 A A 在在 X X 轴上所以，只要证明轴上所以，只要证明 2AM=BD2AM=BD 即证得。即证得。 （20202020 江西理数）江西理数）21. （本小题满分 12 分） 设椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab ，抛物线 22 2: Cxbyb 。 （1）若 2 C经过 1 C的两个焦点，求 1 C的离心率； （2）设 A（0，b） ， 5 3 3 4 Q ，,又 M、N 为 1 C与 2 C不在 y 轴上的两个交点，若AMN 的 垂心为 3 4 Bb 0，且QMN 的重心在 2 C上，求椭圆 1 C和抛物线 2 C的方程。 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。 （1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得： 22 cb，由 2 2222 2 12 2, 22 c abcce a 有。 (2)由题设可知 M、N 关于 y 轴对称，设 11111 (,),( ,)(0)Mx yN x yx,由AMN的垂心为 B，有 2 111 3 0()()0 4 BM ANxyb yb 。 由点 11 ( ,)N x y在抛物线上， 22 11 xbyb，解得： 11 () 4 b yyb 或舍去 故 1 555 ,(,),(,) 22424 bb xb MbNb，得QMN重心坐标( 3, ) 4 b . 由重心在抛物线上得： 2 2 3,=2 4 b bb所以， 11 (5,),( 5,) 22 MN，又因为 M、N 在椭圆上得： 2 16 3 a ，椭圆方程为 22 16 3 1 4 xy ，抛物线方程为 2 24xy。 9.9.（20202020 安徽文数）安徽文数）17、 （本小题满分 12 分） 椭圆E经过点2,3A，对称轴为坐标轴， 焦点 12 ,F F在x轴上，离心率 1 2 e 。 ()求椭圆E的方程； ()求 12 F AF的角平分线所在直线的方程。 【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几 何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式 等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力. 【解题指导】 （1）设椭圆方程为 22 22 1 xy ab ，把点2,3A代入椭圆方程，把离心率 1 2 e 用, a c表示，再根据 222 abc，求出 22 ,a b，得椭圆方程；（2）可以设直线l上任 一点坐标为( , )x y，根据角平分线上的点到角两边距离相等得 |346| |2| 5 xy x . 解：（）设椭圆 E 的方程为 22 22 22 2222 22 22 22 121 212 1. 11 ,3,1. 2243 13 1,2, 1. 1612 3 ()( 2,0),(2,0),(2), 4 3460.2. xy ab cxy ebacc acc AcE cc xy FAFx xyAFxEAF 由得 将（2，3）代入，有解得：椭圆的方程为 由（）知F所以直线的方程为y= 即直线的方程为由椭圆的图形知，F的角平分线所在直线的斜率为正 12 12 346 2 5 346510,280, xy AFx xyxxy AF 数。 设P（x, y）为F的角平分线所在直线上任一点，则有 若得其斜率为负，不合题意，舍去。 于是3x-4y+6=-5x+10, 即2x-y-1=0. 所以，F的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0. 【规律总结】对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为 22 22 1 xy ab ，根据题目满足的条件求 出 22 ,a b，得椭圆方程，这一问通常比较简单；（2）对于角平分线问题，利用角平分线的几 何意义，即角平分线上的点到角两边距离相等得方程. 10.10.（20202020 重庆文数）重庆文数） （21） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分. ） 已知以原点O为中心，( 5,0)F为右焦点的双曲线C的离心率 5 2 e . （）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程； （）如题（21）图，已知过点 11 ( ,)M x y的直线 1 l： 11 44x xy y与过点 22 (,)N xy（其中 21 xx）的直线 2 l： 22 44x xy y的交点E在双曲线C上，直线MN与 双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求OG OH A的值. 11.11.（20202020 浙江文）浙江文） （22） 、 （本题满分 15 分）已知 m 是非零实数，抛物线 2 :2Cyps（p0） 的焦点 F 在直线 2 :0 2 m l xmy上。 （I）若 m=2，求抛物线 C 的方程 （II）设直线l与抛物线 C 交于 A、B，A 2 A F, 1 BB F的重心分别为 G,H 求证：对任意非零实数 m,抛物线 C 的准线与 x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外。 12.12.（20202020 重庆理）重庆理） （20） （本小题满分 12 分， （I）小问 5 分， （II）小问 7 分） 已知以原点 O 为中心， 5,0F为右焦点的 双曲线 C 的离心率 5 2 e 。 （I）求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程； （II）如题（20）图，已知过点 11 ,M x y的直线 111 :44lx xy y与过点 22 ,N xy（其中 2 xx）的直线 222 :44lx xy y的交点 E 在双曲线 C 上，直 线 MN 与两条渐近线分别交与 G、H 两点，求OGH的面积。 13.13.（20202020 北京文）北京文） （19） （本小题共 14 分） 已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(2,0)，( 2,0)，离心率是 6 3 ，直线 y=t 椭圆 C 交与不同的两点 M，N，以线段为直径作圆 P,圆心为 P。 （）求椭圆 C 的方程； （）若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标； （）设 Q（x，y）是圆 P 上的动点，当 t 变化时，求 y 的最大值。 解：（）因为 6 3 c a ，且2c ，所以 22 3,1abac 所以椭圆 C 的方程为 2 2 1 3 x y （）由题意知(0, )( 11)ptt 由 2 2 1 3 yt x y 得 2 3(1)xt 所以圆 P 的半径为 2 3(1)t 解得 3 2 t 所以点 P 的坐标是（0， 3 2 ） （）由（）知，圆 P 的方程 222 ()3(1)xytt。因为点( , )Q x y在圆 P 上。所以 222 3(1)3(1)yttxtt 设cos ,(0, )t ，则 2 3(1)cos3sin2sin() 6 tt 当 3 ，即 1 2 t ，且0 x ，y取最大值 2. 14.14.（20202020 北京理北京理） （19） （本小题共 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 1 3 . ()求动点 P 的轨迹方程； ()设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得PAB 与PMN 的面 积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。 （I）解：因为点 B 与 A( 1,1)关于原点O对称，所以点B得坐标为(1, 1). 设点P的坐标为( , )x y 由题意得 111 113 yy xx A 化简得 22 34(1)xyx . 故动点P的轨迹方程为 22 34(1)xyx （II）解法一：设点P的坐标为 00 (,)xy，点M，N得坐标分别为(3,) M y,(3,) N y. 则直线AP的方程为 0 0 1 1(1) 1 y yx x ，直线BP的方程为 0 0 1 1(1) 1 y yx x 令3x 得 00 0 43 1 M yx y x ， 00 0 23 1 N yx y x . 于是PMNA得面积 2 000 0 2 0 |(3)1 |(3) 2|1| PMNMN xyx Syyx x A 又直线AB的方程为0 xy，| 2 2AB ， 点P到直线AB的距离 00 | 2 xy d . 于是PABA的面积 00 1 | 2 PAB SAB dxy A A 当 PABPMN SS AA 时，得 2 000 00 2 0 |(3) | |1| xyx xy x 又 00 | 0 xy， 所以 2 0 (3)x= 2 0 |1|x，解得 0 5 | 3 x 。 因为 22 00 34xy，所以 0 33 9 y 故存在点P使得PABA与PMNA的面积相等，此时点P的坐标为 533 ( ,) 39 . 解法二：若存在点P使得PABA与PMNA的面积相等，设点P的坐标为 00 (,)xy 则 11 | |sin| |sin 22 PAPBAPBPMPNMPNAA. 因为sinsinAPBMPN, 所以 | | PAPN PMPB 所以 00 0 |1|3| |3|1| xx xx 即 22 00 (3)|1|xx，解得 0 x 5 3 因为 22 00 34xy，所以 0 33 9 y 故存在点PS 使得PABA与PMNA的面积相等，此时点P的坐标为 533 ( ,) 39 . 15.15.（20202020 四川理）四川理） （20） （本小题满分 12 分） 已知定点A(1，0)，F(2，0)，定直线l：x 1 2 ，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到 直线l的距离的 2 倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别 交l于点M、N （）求E的方程； （）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由. 本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理 运算能力. 解：(1)设P(x,y)，则 22 1 (2)2| 2 xyx 化简得x2 2 3 y =1(y0)4 分 (2)当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为yk(x2)(k0) 与双曲线x2 2 3 y =1 联立消去y得 (3k)2x24k2x(4k23)0 由题意知 3k20 且0 设B(x1,y1),C(x2,y2)， 则 2 12 2 2 12 2 4 3 43 3 k xx k k x x k y1y2k2(x12)(x22)k2x1x22(x1x2)4 k2( 22 22 438 33 kk kk 4) 2 2 9 3 k k 因为x1、x21 所以直线AB的方程为y 1 1 1 y x (x1) 因此M点的坐标为( 1 1 31 , 2 2(1) y x ) 1 1 33 (,) 2 2(1) y FM x ,同理可得 2 2 33 (,) 2 2(1) y FN x 因此 2 12 12 93 () 22(1)(1) y y FM FN xx A 2 2 22 22 81 4 3 4349 4(1) 33 k k kk kk 0 当直线BC与x轴垂直时，起方程为x2，则B(2,3),C(2,3) AB的方程为yx1,因此M点的坐标为( 1 3 , 2 2 )， 3 3 (, ) 2 2 FM 同理可得 33 (,) 22 FN 因此 2 333 ()() 222 FM FN A0 综上FM FN A0，即FMFN 故以线段MN为直径的圆经过点F12 分 16.16.（20202020 天津文）天津文） （21） （本小题满分 14 分） 已知椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的离心率 e= 3 2 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. （）求椭圆的方程； （）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）. （i）若 4 2 AB 5 | =，求直线 l 的倾斜角； （ii）若点 Qy0（0，）在线段 AB 的垂直平分线上，且QA QB=4 A.求y0的值. 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、 直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合 的思想，考查综合分析与运算能力.满分 14 分. （）解：由 e= 3 2 c a ，得 22 34ac.再由 222 cab，解得 a=2b. 由题意可知 1 224 2 ab，即 ab=2. 解方程组 2 , 2, ab ab 得 a=2，b=1. 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y. ()(i)解：由（）可知点 A 的坐标是（-2,0）.设点 B 的坐标为 11 ( ,)x y，直线 l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k（x+2）. 于是 A、B 两点的坐标满足方程组 2 2 (2), 1. 4 yk x x y 消去 y 并整理，得 2222 (14)16(164)0kxk xk. 由 2 1 2 164 2 14 k x k ，得 2 1 2 28 14 k x k .从而 1 2 4 14 k y k . 所以 2 2 22 222 2844 1 |2 141414 kkk AB kkk . 由 4 2 | 5 AB ，得 2 2 4 14 2 145 k k . 整理得 42 329230kk，即 22 (1)(3223)0kk，解得 k=1. 所以直线 l 的倾斜角为 4 或 3 4 . （ii）解：设线段 AB 的中点为 M，由（i）得到 M 的坐标为 2 22 82 , 1414 kk kk . 以下分两种情况： （1）当 k=0 时，点 B 的坐标是（2,0） ，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是 00 2,2,.QAyQBy 由4QA QB ，得y2 2 0 。 （2）当0k 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 2 22 218 1414 kk yx kkk 。 令0 x ，解得 0 2 6 14 k y k 。 由 0 2,QAy ， 110 ,QBx yy ， 2 1010 2222 2 28 646 2 14141414 k kkk QA QBxyyy kkkk 42 2 2 4 16151 4 14 kk k ， 整理得 2 72k 。故 14 7 k 。所以 0 2 14 5 y 。 综上， 0 2 2y 或 0 2 14 5 y 17.17.（20202020 天津理）天津理） （20） （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 1(0 xy ab ab ）的离心率 3 2 e ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 为 4。 （1）求椭圆的方程； （2）设直线l与椭圆相交于不同的两点,A B，已知点A的坐标为（,0a） ，点 0 (0,)Qy在线段AB的垂直平分线上，且4QA QB A，求 0 y的值 【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识， 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分 12 分 （1）解：由 3 e 2 c a ，得 22 34ac，再由 222 cab，得2ab 由题意可知， 1 224,2 2 abab即 解方程组 2 2 ab ab 得 a=2,b=1 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y (2)解：由（1）可知 A（-2,0） 。设 B 点的坐标为（x1,y1）,直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的 方程为 y=k(x+2), 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 2 2 (2) 1 4 yk x x y 由方程组消去 Y 并整理，得 2222 (14)16(164)0kxk xk 由 2 1 2 164 2, 14 k x k 得 2 11 22 284 , 1414 kk xy kk 从而 设线段 AB 是中点为 M，则 M 的坐标为 2 22 82 (,) 1414 kk kk 以下分两种情况： （1）当 k=0 时，点 B 的坐标为（2,0） 。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是 000 ( 2, y ),(2,=2QAQByQA QBy A）由4，得= 2 （2）当 K0时，线段 AB 的垂直平分线方程为 2 22 218 () 1414 kk Yx kkk 令 x=0，解得 0 2 6 14 k y k 由 0110 ( 2, y ),( ,QAQBx yy ） 2 1010 2222 2(28)646 2() 14141414 kkkk QA QBxyyy kkkk A）= 42 22 4(16151) 4 (14) kk k = 整理得 2 0 142 14 72,= 75 kky 故所以 综上 00 2 14 =2 2= 5 yy或 18.18.（20202020 广东理）广东理） 21 （本小题满分 14 分） 设 A( 11 ,x y),B( 22 ,xy)是平面直角坐标系 xOy 上的两点，先定义由点 A 到点 B 的一种折 线距离 p(A,B)为 2121 ( , ) |P A Bxxyy. 当且仅当 1212 ()()0,()()0 xxxxyyyy时等号成立，即, ,A B C三点共线时等 号成立. （2）当点 C(x, y) 同时满足P( ,)A C+P( , )C B= P( , )A B，P( ,)A C= P( , )C B时，点 C是线段AB的中点. 1212 , 22 xxyy xy ，即存在点 1212 (,) 22 xxyy C 满足条件。 19.19.（20202020 广东理）广东理）20 （本小题满分为 14 分） 一条双曲线 2 2 1 2 x y的左、右顶点分别为 A1,A2，点 11 ( ,)P x y， 11 ( ,)Q xy是双曲线上不 同的两个动点。 （1）求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式； （2）若过点 H(0, h)（h1）的两条直线 l1和 l2与轨迹 E 都只有一个交点，且 12 ll , 求 h 的值。 故 22 1 (2) 2 yx ，即 2 2 1 2 x y。 （2）设 1: lykxh，则由 12 ll知， 2 1 :lyxh k 。 将 1: lykxh代入 2 2 1 2 x y得 2 2 ()1 2 x kxh，即 222 (12)4220kxkhxh， 由 1 l与 E 只有一个交点知， 2222 164(12)(22)0k hkh ，即 22 12kh。 同理，由 2 l与 E 只有一个交点知， 2 2 1 12h k ，消去 2 h得 2 2 1 k k ，即 2 1k ，从而 22 123hk ，即3h 。 20.20.（20202020 广东文）广东文）21.（本小题满分 14 分） 已知曲线 2 :nxyCn,点),( nnn yxP)0, 0( nn yx是曲线 n C上的点,.)2 , 1( n， 21.21.（20202020 福建文）福建文）19 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 C： 2 2(0)ypx p过点 A （1 , -2） 。 （I）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程； （II）是否存在平行于 OA（O 为坐标原点）的直线 L，使得直线 L 与抛物线 C 有公共点， 且直线 OA 与 L 的距离等于 5 5 ？若存在，求直线 L 的方程；若不存在，说明理由。 22.22.（20202020 全国卷全国卷 1 1 理）理） （21）(本小题满分 12 分) 已知抛物线 2 :4C yx的焦点为 F，过点( 1,0)K 的直线l与C相交于A、B两点， 点 A 关于x轴的对称点为 D. （）证明：点 F 在直线 BD 上； （）设 8 9 FA FB A，求BDK的内切圆 M 的方程 . 23.23.（20202020 湖北文）湖北文）20.（本小题满分 13 分） 已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上没一点到点 F（1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差都 是 1。 （）求曲线 C 的方程 （）是否存在正数 m，对于过点 M（m，0）且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线， 都有FAFB 0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。 24.24.（20202020 山东理）山东理） （21） （本小题满分 12 分） 如图，已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦 点 12 ,F F为顶点的三角形的周长为4( 21).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为 该双曲线上异于顶点的任一点，直线 1 PF和 2 PF与椭圆的交点分别为BA、和CD、. （）求椭圆和双曲线的标准方程； （）设直线 1 PF、 2 PF的斜率分别为 1 k、 2 k，证明 12 1k k ； （）是否存在常数，使得ABCDAB CD恒成立？若存在，求的值；若不 存在，请说明理由. 【解析】 （）由题意知，椭圆离心率为 c a 2 2 ，得2ac，又22ac4( 21)， 所以可解得2 2a ，2c ，所以 222 4bac，所以椭圆的标准方程为 22 1 84 xy ； 所以椭圆的焦点坐标为（2，0） ，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所 以该双曲线的标准方程为 22 1 44 xy 。 【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线 的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题 （3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能 力， 25.25.（20202020 湖南理）湖南理）19.（本小题满分 13 分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A,B 两点各建一个考察基地。 视冰川面为平面形，以过 A,B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的的垂直平分线为 y 轴建立平面 直角坐标系（图 6）在直线 x=2 的右侧，考察范围为到点 B 的距离不超过 6 5 5 km 区域；在直 线 x=2 的左侧，考察范围为到 A,B 两点的距离之和不超过4 5km 区域。 （）求考察区域边界曲线的方程； （）如图 6 所示，设线段 P1P2,P2P3 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线） ，当冰川 融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km,以后每年移动的 距离为前一年的 2 倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。 化 融 区域 2 8 3 P-6 3 ，P3(8,6) 已冰 B（4，0 ） A（- 4,0） x （，-1）P15 3 26.26.（20202020 湖北理）湖北理）19(本小题满分 12 分) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F（1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差都 是 1. ()求曲线 C 的方程； （）是否