吉林省百校联盟2020届高三数学上学期九月联考试题 文（含解析）

吉林省百校联盟2020届高三数学上学期九月联考试题 文（含解析）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,，则的真子集个数为（ ）A. 9个 B. 7个 C. 3个 D. 1个【答案】C【解析】【详解】依题意：，故，的真子集个数为3个.故选：C点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2.（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】.故选：B3.分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法；在九章算术第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是（ ）A. 甲应付钱 B. 乙应付钱C. 丙应付钱 D. 三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少【答案】B【解析】依题意：由分层抽样知识可知，则甲应付：钱；乙应付：钱；丙应付：钱.故选：B4.已知公差不为零的等差数列的首项，成等比数列，则（ ）A. 238 B. C. D. 【答案】D【解析】，成等比数列，即，由此得到，或，.故选：D5.运行如图所示的程序框图，若输入的（）分别为1.5、2.6、3.7、4.8、7.2、8.6、9.1、5.3、6.9、7.0，则输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】依题意，该程序框图的作用是计算大于等于6.8的数字的比例，故输出的的值为.故选:C 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】依题意，该几何体由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，故所求体积为.故选：A点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图7.已知，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由，可得：，又，则.故选：D8.已知函数函数，则下列说法错误的是（ ）A. 若，则函数无零点 B. 若，则函数有零点C. 若，则函数有一个零点 D. 若，则函数有两个零点【答案】A【解析】作出函数的图象如图所示：观察可知：当时，函数有一个零点，故A错误.故选：A9.已知双曲线： 的左、右焦点分别为， ，直线过点且与双曲线的一条渐进线垂直，直线与两条渐进线分别交于， 两点，若，则双曲线的渐进线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，为的中点，又，又，双曲线的渐进线的斜率为=，即双曲线的渐进线方程为.故选：B10.已知单位向量与的夹角为,向量与的夹角为，则（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】B【解析】依题意可得：，同理：，而，又向量与的夹角为，可知：，由此解得：或，又,.故选：B11.如图,点是正方形外的一点,过点作直线,记直线与直线，的夹角分别为，若 ，则满足条件的直线（ ）A. 有1条 B. 有2条 C. 有3条 D. 有4条【答案】D【解析】 故可知；由于平移不改变两直线的夹角，故题目可以转化为过点的直线与直线，的夹角为的直线有多少条；记直线，的夹角为，可以求得，故,故，即，故，故过点的直线与直线，的夹角为的直线有4条，分别在这两直线夹角及补角的平分面上故选：D12.已知关于的不等式有唯一整数解，则实数的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由，得：,令，得到减区间为；得到增区间为，且,要使不等式有唯一整数解，实数m应满足,实数的最小值为.故选：A点睛：不等式有唯一整数解问题可以转化为两个图像的位置关系问题，观察与的图象的高低关系，只要保证上方只有一个整数满足即可.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知圆的一条直径为线段，为圆上一点，则向圆中任意投掷一点，该点落在阴影区域内的概率为_【答案】【解析】不妨设，则所求的概率故答案为：14.已知函数（，）的图象如图所示，其中，则函数_【答案】【解析】依题意，解得：，故，将点A带入，得：，解得：.故答案为：15.已知实数，满足则的取值范围为_【答案】【解析】作出可行域:观察可知：，易得：,故，故答案为：点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16.设为数列的前项和，若（），则_【答案】【解析】当为奇数时，则，当为偶数时，则，又，故答案为：三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知在中，的面积为，角，所对的边分别是，且， （1）求的值；（2）若 ，求的值【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由，可得：，再利用同角关系易得，又，故；（2）由，得，由正弦定理，得，可得,联立二者可得的值.试题解析：（1）因为，得，得，即，所以，又，所以，故，又，故，即，所以，故，故（2），所以，得，又，所以 ，在中，由正弦定理，得，即，得，联立，解得点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.如图所示，四棱锥中，平面平面，.（1）证明：在线段上存在一点，使得平面；（2）若，在（1）的条件下，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）取的中点，易得：四边形是平行四边形，从而，所以平面；（2）是的中点，到平面的距离等于到平面的距离的一半从而易得三棱锥的体积.试题解析：（1）如图，取的中点，的中点，连接， ，是的中位线， ，依题意得， ，则有 ，四边形是平行四边形，平面，平面，平面（2）平面平面，平面平面，平面，故平面，是的中点，到平面的距离等于到平面的距离的一半，且平面，三棱锥的高是2，在等腰中，边上的高为，到的距离为，点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法. 割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值19.已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示：（1）试计算该产品收益率的中位数；（2）若该产品的售价（元）与销量（万件）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组与的对应数据：售价（元）2530384552销量（万份）7.57.16.05.64.8据此计算出的回归方程为，求的值；（3）若从上述五组销量中随机抽取两组，求两组销量中恰有一组超过6万件的概率【答案】(1) ;(2) ；（3）.【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图求出该产品收益率的中位数；（2）由表格易得：，利用回归直线经过样本中心点，求出的值;(3)利用古典概型公式求出两组销量中恰有一组超过6万件的概率.试题解析：解：（1）依题意，所求中位数为（2），（3）依题意，所有销量情况为，恰有一组超过6万件的情况为，故所求概率 20.已知等差数列的前项和为，若，（，且）（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）利用等差数列有关公式求得基本量，从而得到数列的通项；（2）利用错位相减法求数列的前项和.试题解析：（1）由已知得，且，设数列的公差为，则由，由，得，即，故（2）；下面先求的前项和，；两式相减得 ，（）故的前项和为点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.21.已知椭圆：过点，点，是椭圆上异于长轴端点的两个点（1）求椭圆的离心率；（2）已知直线：，且，垂足为，垂足为，若且，求中点的轨迹方程【答案】(1) ;(2) 点的轨迹方程为（）.【解析】试题分析：（1）点带入椭圆方程，解得，易得椭圆的离心率；（2）由，且，易得：.分类讨论直线AB的斜率情况，联立椭圆方程，易得：，借助韦达定理，易得（）.试题解析：（1）依题意，解得，故椭圆的方程为，则其离心率为（2）设直线与轴相交于点，由于，即，且，得，（舍去）或，即直线经过点，设，的中点，直线垂直于轴时，则的重担为；直线与轴不垂直时，设的方程为，则整理得，消去，整理得（）经检验，点也满足此方程综上所述，点的轨迹方程为（）22.已知函数，求函数的单调递增区间；若，且，求实数a的取值范围【答案】(1) 函数的单调递增区间为;(2) .【解析】试题分析：（1）,