吉林省长春市普通高中2020届高三数学质量检测试题（三）理（含解析）

吉林省长春市普通高中2020届高三质量检测（三）数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.的值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由诱导公式可得，故选B.2.已知集合A=-1，0，1，2，B=x|（x+1）（x-2）0，则AB=（）A. B. C. 0，D. 1，【答案】A【解析】分析】化简集合B，进而求交集即可.【详解】由B中不等式解得：-1x2，即B=x|-1x2， A=-1，0，1，2， AB=0，1， 故选：A【点睛】本题考查交集的概念与运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.3.若实部与虚部相等，则实数a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】先化简已知得，所以，解之即得a的值.【详解】由题得，所以.故选：A【点睛】本题主要考查复数的除法运算和实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出p为（）A. 6B. 24C. 120D. 720【答案】B【解析】【分析】根据程序框图运行程序，按判断框循环运行，不符合时输出即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入，一次运行：，此时，循环得二次运行：，此时，循环得三次运行：，此时，循环得四次运行：，此时，输出本题正确选项：【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，属于基础题.5.已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2=4，a4=2，则S6=（）A. 0B. 10C. 15D. 30【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质，根据，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可【详解】数列an是等差数列，a2=4=a1+d，a4=2=a1+3d，所以a1=5，d=-1，则S6=6a1+=15故选：C【点睛】本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题6.已知、是两个单位向量，且夹角为，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的数量积的运算法则求解即可【详解】解：、是两个单位向量，且夹角为，则（2）（2）4+5故选：A【点睛】本题主要考查平面向量，向量的数量积的应用，是基本知识的考查7.若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“一件是一等品，另一件不是一等品”为事件B，分别求得P（AB）和P（A）的值，再利用条件概率的计算公式运算求得结果【详解】解：根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“一件上一等品，另一件不是一等品”为事件B，则P（A）11，P（AB），则P（B|A）；故选：【点睛】本题主要考查条件概率的求法，解答此题的关键是条件概率公式的灵活运用，属于基础题8.已知m，n为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据垂直于同一直线的两平面平行可知正确.【详解】当时，若，可得又，可知本题正确选项：【点睛】本题考查面面平行的判定，属于基础题.9.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2020年至2020年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A. 20202020 年研发投入占营收比增量相比 20202020 年增量大B. 该企业连续 12 年研发投入逐年增加C. 20202020 年研发投入增值最大D. 该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加【答案】D【解析】【分析】根据图形给出的信息，分析判断即可【详解】从研发投入占营收比（图中的红色折线）0709年有所下降并非连续12年研发投入占营收比逐年增加，故D错 故选：D【点睛】本题考查命题真假的判断，考查识图能力，考查分析问题解决问题的能力，属基础题10.函数f（x）=的部分图象大致是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】函数f（x）的定义域为（-，-）（-，）（，+）f（-x）=f（x），f（x）为偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项11.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=8x上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（）A. 4B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件，结合抛物线性质求出A点坐标，求出坐标原点关于准线的对称点的坐标点B，由|PO|PB，|知|PA|+|PO|的最小值为|AB|，由此能求出结果【详解】抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，|AF|=6，A到准线的距离为6，即A点的横坐标为4，点A在抛物线上，不妨设为第一象限，A的坐标A（4，4）坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（-4，0），|PO|=|PB|，|PA|+|PO|的最小值：|AB|= 故选：C【点睛】本题主要考查抛物线的相关知识两条线段之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用12.已知函数，若，且，则取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】经过讨论可知，利用可得，从而将化为；通过求解函数的值域求得的取值范围.【详解】设若，则，不成立；若，则，不成立若，则 设，则当时，则单调递减当时，则单调递增本题正确选项：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，本题解题的关键是能够通过讨论得到的范围，从而构造出新函数，再利用导数求得结果.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数的最小正周期为，则_，若，则_【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】由题意利用正弦函数的周期性求得，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2的值【详解】由周期公式，可得=2，由，得，所以，平方得， 故答案为：2；【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题14.已知矩形，以为焦点，且过两点的双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】利用双曲线定义及简单几何性质，明确a与c，即可得到双曲线的离心率.【详解】由题意易知：即，由双曲线定义可得，双曲线的离心率为故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程与简单的几何性质，解答的关键是合理利用双曲线的定义解题15.我国古代数学名著九章算术商功中阐述：“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：四个侧面都是直角三角形；最长的侧棱长为；四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；外接球的表面积为24其中正确的描述为_【答案】【解析】【分析】由三视图还原几何体，可知该几何体为四棱锥，PA底面ABCD，PA2，底面ABCD为矩形，AB2，BC4，然后逐一分析四个命题得答案【详解】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA底面ABCD，PA=2，底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，则四个侧面是直角三角形，故正确；最长棱为PC，长度为2，故正确；由已知可得，PB=2，PC=2，PD=2，则四个侧面均不全等，故错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为PC=，其表面积为4=24，故正确其中正确的命题是故答案为：【点睛】本题考查由三视图还原原几何体，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题16.已知数列中，则_【答案】【解析】【分析】由递推关系可得，易知为常数列，求出，利用等差数列前n项和公式即可得到结果.【详解】，即记，显然为常数列，且，故答案为：【点睛】本题考查数列求和问题，涉及利用递推关系求通项，等差数列求和公式，考查计算能力，属于中档题.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，（1）若，求的面积；（2）若点D在BC边上且，ADBD，求BC的长【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）通过正弦定理求出BC，然后求解三角形的面积；（2）设出DC，然后通过余弦定理转化求解即可【详解】（1）由正弦定理得：，所以sinC=1，所以，所以（2）设DC=x，则BD=2x，由余弦定理可得解得：所以【点睛】本题考查解三角形的相关知识正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化能力与计算能力18.某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照55，65），65，75），75，85），85，95分组）分组频数55，65）265，75）475，85）1085，954合计20第一车间样本频数分布表（）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中，随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望【答案】（I）60,300;（II）第二车间工人生产效率更高.（III）见解析.【解析】【分析】（I）估计第一车间生产时间小于75min的工人人数为（人）.估计第二车间生产时间小于75min的工人人数为（人）；（II）分别计算两车间工人生产时间的平均值，再推测哪个车间工人的生产效率更高；（III）由题得X可取值为0，1，2，再分别求出概率，列出分布列，求出数学期望.【详解】（I）估计第一车间生产时间小于75min工人人数为（人）.估计第二车间生产时间小于75min的工人人数为（人）.（II）第一车间生产时间平均值约为（min）.第二车间生产时间平均值约为（min）.第二车间工人生产效率更高.（III）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min的工人有6人，其中生产时间小于65min的有2人，从中抽取3人，随机变量X服从超几何分布，X可取值为0，1，2，,.X的分布列为：X012P所以数学期望.【点睛】本题主要考查频数和平均数的计算，考查随机变量的分布列,考查数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.如图所示，等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，AE与BD交于点O，将ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P平面ABCE）（）证明：平面POB平面ABCE；（）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A-PE-C的余弦值【答案】（）见解析；（）【解析】【分析】（）证明OPAE，OBAE，得到AE平面POB，即可证明平面POB平面ABCE；（）以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面平面PCE的一个法向量，平面PAE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角APEC的余弦值【详解】（）证明：在等腰梯形ABCD中，易知DAE为等边三角形，所以ODAE，OBAE,即在PAE中，OPAE，AE平面POB，AE平面ABCE，所以平面POB平面ABCE；（）在平面POB内作PQOB=Q，PQ平面ABCE直线PB与平面ABCE夹角为，又OP=OB，OPOB，O、Q两点重合，即OP平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，设平面PCE的一个法向量为，则，即，设，则y=-1，z=1，由题意得平面PAE的一个法向量，设二面角A-P-EC为，即二面角A-P-EC为的余弦值为【点睛】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力20.如图所示，椭圆离心率为，、是椭圆C的短轴端点，且到焦点的距离为，点M在椭圆C上运动，且点M不与、重合，点N满足（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形面积的最大值【答案】 ； .【解析】【分析】根据离心率和的长度求得，从而得到椭圆方程；四边形的面积可以表示为：，通过假设直线分别求得和，从而将问题转化为函数最值求解问题，从而得到结果.根据不同的假设直线的方式，会构成不同的函数，得到不同的解法.【详解】 又且，解得：，因此椭圆的方程为法一：设，直线；直线由解得：又 四边形的面积 当时，的最大值为法二：设直线，则直线直线与椭圆的交点的坐标为则直线的斜率为直线由解得：四边形的面积：当且仅当时，取得最大值【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的四边形面积最值的求解.解决椭圆中最值或取值范围问题时，能够根据条件将所求面积构造成关于某一变量的函数关系是解题的关键，得到函数关系后，采用求解函数值域的方式得到最值或取值范围.21.已知aR，函数（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若x=2是f（x）的极值点，且曲线y=f（x）在两点P（x1，f（x1），Q（x2，f（x2）（x1x26）处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为b1、b2，求b1-b2的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析】（1）根据导数和函数的关系即可求出函数的单调区间，（2）由x2是f（x）的极值点，以及导数的几何意义，可求出相对应的切线方程，根据切线平行可得，同理，求出b1b2，再构造函数，利用导数，即可求出b1b2的取值范围【详解】（1），当a0时，f（x）0在x（0，+）上恒成立，f（x）在（0，+）上单调递减；当a0时，时f（x）0，时，f（x）0，即f（x）在上单调递减，在单调递增；（2）x=2是f（x）的极值点，由（1）可知，a=1，设在P（x1，f（x1）处的切线方程为，在Q（x2，f（x2）处的切线方程为若这两条切线互相平行，则，且0x1x26，x1（3，4）令x=0，则，同理，【解法一】，设，g（x）在区间上单调递减，即b1-b2的取值范围是【解法二】，令，其中x（3，4）函数g（x）在区间（3，4）上单调递增，b1-b2的取值范围是【解法三】x1x2=2（x1+x2），设，则，g（x）0，函数g（x）在区间上单调递增，b1-b2的取值范围是【点睛】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力，属于难题22.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线C（）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值【答案】（）(t为参数)，；（）3.【解析