安徽省安庆一中2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）

安徽省安庆一中2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用一元二次不等式的解法来求解，可以先因式分解，结合图像来求解集.【详解】不等式可以因式分解为，又因为其图像抛物线开口向上，要求大于或等于零的解集，则取两根开外，故不等式的解集为，故选【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，较为简单.2.空间中可以确定一个平面的条件是（ ）A. 三个点B. 四个点C. 三角形D. 四边形【答案】C【解析】【分析】根据公理2即可得出答案。【详解】在A中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A错误；在B中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B错误；在C中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C正确；D中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D错误.【点睛】本题对公理2进行了考查，确定一个平面关键是对过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面的理解。3.若直线与平行，则实数的值为（ ）A. 或B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用直线与直线平行的性质求解【详解】直线与平行， 解得a1或a2当a2时，两直线重合，a1故选：B点睛】本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要注意两直线的位置关系的合理运用4.设的内角所对的边分别为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理求解即可得到所求结果【详解】由正弦定理得，又，为锐角，故选B【点睛】在已知两边和其中一边的对角解三角形时，需要进行解的个数的讨论，解题时要结合三角形中的边角关系，即“大边（角）对大角（边）”进行求解，属于基础题5.设，若3是与的等比中项，则的最小值为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由3是与的等比中项，可得，再利用不等式知识可得的最小值.【详解】解：3是与的等比中项，=，故选C.【点睛】本题考查了指数式和对数式的互化，及均值不等式求最值的运用，考查了计算变通能力.6.已知为三条不同直线，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据线线位置关系，线面位置关系，以及面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，当时，由，可得，此时由，可得或或与相交；所以A错误；B选项，若，则，或相交，或异面；所以B错误；C选项，若，根据线面平行的性质，可得，所以C正确；D选项，若，则或，又，则，或相交，或异面；所以D错误；故选C【点睛】本题主要考查线面，面面有关命题的判定，熟记空间中点线面位置关系即可，属于常考题型.7.已知点P与点关于直线对称，则点P坐标为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，设P的坐标为（a，b），分析可得，解可得a、b的值，即可得答案【详解】设P的坐标为（a，b），则PQ的中点坐标为（，），若点P与Q（1，2）关于x+y10对称，则有，解可得：a3，b0，则点P的坐标为（3，0）；故选：A【点睛】本题考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，涉及直线与直线的位置关系，属于基础题8.己知等差数列的公差为-1，前项和为，若为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，则的最大值为（ ）A. 25B. 40C. 50D. 45【答案】D【解析】【分析】利用已知条件，结合余弦定理，转化求解数列的和，然后求解的最大值【详解】等差数列的公差为，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，可得：，得，所以（舍或，所以n=9或n=10时，故的最大值为故选：【点睛】本题主要考查等差数列性质和等差数列的前n项和及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可.【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积.故选C【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题，只需先由三视图确定几何体的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型.10.如图，在长方体中，,而对角线上存在一点，使得取得最小值，则此最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把面绕旋转至面使其与对角面在同一平面上，连接并求出，就是最小值【详解】把面绕旋转至面使其与对角面在同一平面上，连接就是的最小值，所以故选：【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题11.设x表示不超过x的最大整数，如-3.14=-4，3.14=3已知数列满足：，（），则=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】先求出，再求得值.【详解】由，得（），又，则故选：A【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，考查新定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于、两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】当点为线段的中点时，画出截面为四边形，当时，画出截面为五边形，结合选项可得结论.【详解】正方体的体积为1，所以正方体的棱长为1，点在线段上（点异于两点），当点为线段的中点时，共面，截面为四边形，如图，即，不合题意，排除选项;当时，截面为五边形，如图，符合题意，即平面截正方体所得的截面为五边形，线段的取值范围为故选B【点睛】本题主要考查正方体的性质、截面的画法，考查作图能力与空间想象能力，意在考查对基础知识的熟练掌握与灵活应用，属于难题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.13.已知实数满足不等式组，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】作出可行域，表示与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解.【详解】如图，不等式组表示的平面区域（包括边界），所以表示与（0，0）连线的斜率，因为，所以，故.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.14.如图，ABC是直角三角形，ABC90，PA平面ABC，则此图形中有_个直角三角形【答案】4【解析】【分析】推导出，从而平面，由此能求出图中直角三角形的个数【详解】是直角三角形，平面，平面，图中直角三角形有（是直角 ），（是直角），（是直角），（是直角），图中直角三角形有4个，故答案为4.【点睛】本题考查几何体中直角三角形的个数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题15.在中，角、的对边分别为、，边上的高为，则的最大值是_【答案】【解析】【分析】利用三角形面积公式可得，利用余弦定理化简原式为，再利用两角和的正弦公式与三角函数的有界性可得结果.【详解】因为边上的高为，所以，即，可得，故的最大值是故答案为【点睛】本题主要考查三角形面积公式、余弦定理、两角和的正弦公式，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.16.在四面体中，二面角的大小为，则四面体外接球的半径为_【答案】【解析】画出图象如下图所示,其中为等边三角形边的中点,为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方,也在点的正上方.依题意知,在中,所以外接圆半径.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线与所成角的正切值.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）先求出PO=,再利用公式求该圆锥的侧面积与体积；（2）取的中点，连接，则或其补角即为所求，再求其正切值得解.【详解】（1）由题意，得，所以圆锥的侧面积为， ；（2）取的中点，连接，则或其补角即为所求，因为DEEO,DEOC,所以平面， ，于是，即异面直线与所成角的正切值为.【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积和体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.已知直线的方程为，若在x轴上的截距为，且（1）求直线和的交点坐标；（2）已知直线经过与的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求的方程【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）利用l1l2，可得斜率利用点斜式可得直线l2的方程，与直线l1和l2的交点坐标为（2，1）；（2）当直线l3经过原点时，可得方程当直线l3不经过过原点时，设在x轴上截距为a0，则在y轴上的截距的2a倍，其方程为：1，把交点坐标（2，1）代入可得a【详解】解：（1）l1l2，2直线l2的方程为：y02（x），化为：y2x3联立，解得直线l1和l2的交点坐标为（2，1）（2）当直线l3经过原点时，可得方程：yx当直线l3不经过过原点时，设在x轴上截距为a0，则在y轴上的截距的2a倍，其方程为：1，把交点坐标（2，1）代入可得：1，解得a可得方程：2x+y5综上可得直线l3的方程为：x2y0，2x+y50【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题19.已知在中，内角的对边分别为，为锐角，且满足.（1）求的值；（2）若,的面积为，求.【答案】（） （） 【解析】【分析】（）根据正弦定理将条件进行化简，得到sinA，然后利用倍角公式即可得到三角函数的值（）根据三角形的面积公式，以及余弦定理，建立方程组解方程组即可得到结论【详解】（）， 由 为锐角， （）由（）知， 的面积为， （1）由余弦定理得： （2） 由（1）、（2）解得【点睛】本题主要考查三角函数的化简与求值，利用正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式，建立方程组是解决本题的关键20.如图，四边形为菱形，面，为的中点（1）求证：平面；（2）若为线段上一点，当三棱锥的体积为时，求的值【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1） 设，连结，推导出四边形为平行四边形，从而由此能证明平面（2）过作的平行线交于，则平面，为三棱锥的高，根据三棱锥的体积求得GH长度从而求得的值，由三角形相似得的值【详解】（1）证明：设，连结因为分别是的中点，因为/，且，因为/，且，所以/，且所以四边形为平行四边形所以又因为平面，平面，所以平面 （2）解：过作的平行线交于 由已知平面，所以平面所以为三棱锥的高 因为三棱锥的体积为，所以三棱锥体积: ，.【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题21.已知正项数列前项和为，（1）求的值，并求数列的通项公式;（2）设，数列前项和为，求使不等式成立的正整数组成的集合.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由数列递推式求出首项，进一步得到是以1为首项，1为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式可得，代入求得数列的通项公式；（2）先求出，再代入不等式解不等式即得解.【详解】（1）解：由已知，得当时，；当时，代入已知有，即又，故或（舍，即，由定义得是以1为首项，1为公差的等差数列，则；（2）由题得，所以数列前项和.因为，所以，所以.所以正整数组成的集合为1,2【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差等比数列求和，考查数列分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.如图，已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB1，BC2，CD1，过A作AECD，垂足为E，现将ADE沿AE折叠，使得DEEC.(1)求证：BC面CDE;(2)在线段AE上是否存在一点R，使得面BDR面DCB，若存在，求出点R的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）略；（2）【解析】【分析】（1）由已知中，垂足为，根据线面垂直的判定定理，我们可得面由线面垂直的定义，可得，又由，得到平面；（2）取中点，连接、，求出，解，可得，