江苏省南通市2020届高三数学专题复习课程资源——数列的函数特性及背景探究(第二课时)

数列的函数特性及背景探究(第二课时)函数思想是数学思想的重要组成部分,也是中学数学中最基本、最重要的数学思想之一所谓函数思想，就是用运动变化的观点，分析和研究实际问题或数学问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究（一般借助函数的性质、图象等），从而更快更好地解决问题数列可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集1，2，n）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式因此，有些数列的问题可用构造函数来解决证明数列单调性时，如果条件中给出递推公式，利用它构造出函数，再借助的单调性去辅助证明数列的单调性，往往有很好的效果. 例1已知数列的各项都是正数，且满足（1）证明；（2）求数列的通项公式.解：1当n=1时，；2假设n=k时有成立，令，在0，2上单调递增，所以由假设有：即，也即当时，成立，所以对一切.例2已知数列满足数列前项和为() 求数列的通项公式；（）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由解：() （）若为中的一项，则为正整数又，故若为中的某一项只能为，若无解；若，显然m=1不符合题意，m=2符合题意，当时，设，则，即在上为增函数，故，即为增函数，故，故当时，方程无解即m=2是方程唯一的实根若时，即m=1综上所述，m=1或m=2例3已知数列xn满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）证明：当时，（）0xn+1xn；（）2xn+1xn【解析】（）略；（）由得记函数函数f(x)在0,+）上单调递增，所以=0,因此【分析】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，构造函数，利用函数的单调性证明不等式例4设是各项为正数且公差为d的等差数列是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由【解析】假设存在，及正整数，使得，依次构成等比数列，则依次成等差数列，即，即(*)，可视为关于x的方程至少有四个不同的解可令，则可构造函数，(注：若回避复合函数求导，可选择令为一个整体变量)则，令，即该方程至多只有两个不同解，即函数至多有两个极值点，故(*)方程至多仅有三个不同解，与至少有四个不同的解矛盾综上，不存在，及正整数，使得，依次构成等比数列例5已知是等差数列，是等比数列，其中（1）若，试分别求数列和的通项公式；（2）设，当数列的公比时，求集合的元素个数的最大值（1）设数列的公差为，数列的公差为，则解得，或（2）不妨设，则，即，令，问题转化为求关于的方程（*）最多有多少个解当时，因为，若为奇数，则方程为，左边关于单调递增，方程（*）最多有1个解；若为偶数，则方程为，令，则，令，得，由于，函数单调递增，当时，单调递减；当时，单调递增，方程（*）在和上最多各有1个解综上：当时，方程（*）最多有3个解当时，同理可知方程（*）最多有3个解事实上，设时，有，所以A的元素个数最大值为3【点评】本