福州市2020届高三理科数学4月质量检查卷含答案

数学试题（第 1 页共 6 页） 准考证号 姓名 . （在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效） 秘密启用前 2020 年福州市高中毕业班质量检测 数 学 （ 理 科 ） 试 卷 （完卷时间：120 分钟；满分:150 分） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 3 页，第 卷 4 至 6 页 注意事项：注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 姓名是否一致 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用0.5毫米黑色签字笔 在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1. 已知集合 2 424 x Mx xNx=，则MN = A2x x B22xx C22xx D02xx的一条渐近线与圆 () 2 2 2 34xy+=相交于 ,A B两点，若2AB =，则C的离心率为 A 2 3 3 B3 C2 D4 9. 已知函数( )()sin f xx=+某个周期的图象如图所示， ,A B分别是( )f x图象的最高点与最低点，C是( )f x图 象与x轴的交点，则tanBAC= A 1 2 B 4 7 C 2 5 5 D 7 65 65 10. 已知P为边长为 2 的正方形ABCD所在平面内一点，则()PCPBPD+ 的最小值为 A1 B3 C 1 2 D 3 2 11. 概率论起源于博弈游戏 17 世纪， 曾有一个“赌金分配”的问题： 博弈水平相当的甲、 数学试题（第 3 页共 6 页） 乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金 48 枚金币，先赢 3 局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了 2 局，乙 赢了 1 局问这 96 枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之 为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案该分配方案是 A甲 48 枚，乙 48 枚 B甲 64 枚，乙 32 枚 C甲 72 枚，乙 24 枚 D甲 80 枚，乙 16 枚 12. 已 知 二 面 角PABC的 大 小 为120， 且90PABABC= =，ABAP=， 6ABBC+=若点,P A B C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为 A45 B 7 288 C 144 7 D 72 7 数学试题（第 4 页共 6 页） 工作秘密启用前 2020 年福州市普通高中毕业班质量检测 数 学 （ 理 科 ） 试 题 第第卷卷 注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13. 设, x y满足约束条件 22 0, 24 0, 2, xy xy x + + 则3zxy=的最小值为_ 14. 设数列 n a满足 1 1a =， 1 4 nn aa + =，则 12n a aa=_ 15. 已知两条抛物线 2 :2C yx=， 2 :2(0E ypx p=且1)p ，M为C上一点 （异于原点O） ， 直线OM与E的另一个交点为N若过点M的直线l与E相交于,A B两点，且 ABN的面积是ABO面积的 3 倍，则p=_ 16. 已知函数( )ln1f xaxx=， 3 ( ) 27 x g x =用max,m n表示,m n中的最大值，设 ( )max( ), ( )xf x g x=若( ) 3 x x在(0,)+上恒成立，则实数a的取值范围为 _ 三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要题为选考题，考生根据要 求作答求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17. （本小题满分 12 分） ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，设()3 sin2cosbAaB=+ （1）求B； （2）若ABC的面积等于3，求ABC的周长的最小值 数学试题（第 5 页共 6 页） 18. （本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，ABC是边长为 6 的 等边三角形，,D E分别为 1, AA BC的中点 （1）证明:AE平面 1 BDC； （2） 若异面直线 1 BC与AC所成角的余弦值为 4 3 ， 求DE 与平面 1 BDC所成角的正弦值 19. （本小题满分 12 分） 已知椭圆() 22 22 :10 xy Cab ab +=的焦距为2 2，且过点()1 ,2 （1）求C的方程； （2）若直线l与C有且只有一个公共点，l与圆6 22 =+ yx交于A B, ,两点，直线 ,OA OB 的斜率分别记为 21,k k，试判断 12 kk是否为定值，若是，求出该定值；否则，请 说明理由 20. （本小题满分 12 分） 某地区在一次考试后， 从全体考生中随机抽取44名， 获取他们本次考试的数学成绩( )x 和物理成绩( )y，绘制成如下散点图： 根据散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点 A，B经调查 得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试为了使 分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计量的值： 42 1 4641 i i x = = ， 42 1 3108 i i y = = ， 1 42 =350350 ii i x y = ，() 42 2 1 13814.5 i i xx = = ， () 42 2 1 5250 i i yy = = ， 其中, ii x y分别表示这 42 名同学的数学成绩、物理成绩，1,2,42i =y与x的相关系数 0.82r = （1）若不剔除 A，B 两名考生的数据，用 44 组数据作回归分析，设此时y与x的相 关系数为 0 r，试判断 0 r与r的大小关系，并说明理由； 1 A 1 B 1 C E A BC D 数学试题（第 6 页共 6 页） （2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01） ，并估计如果 B 考生参加了这次 物理考试（已知 B 考生的数学成绩为 125 分） ，物理成绩是多少？（精确到个位） ； （3）从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩服从正态分布() 2 ,N 以 剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数y作为的估计值，用样本方差 2 s作为 2 的 估计值试求该地区 5000 名考生中，物理成绩位于区间()62.8,85.2的人数Z的数学期望 附：回归方程 yabx=+中： ()() () 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx = = = ， a ybx= 若 2 ( ,)N ， 则()0.6826P+，(22 )P+0 9544 12511.2 21. （本小题满分 12 分） 已知函数( )(sincos )exf xxxx=+ （1）若( )fx为( )f x的导函数，且( )( )( )g xfxf x=，求函数( )g x的单调区间； （2）若0 x，证明： 2 ( )1.f xx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22.（本小题满分 10 分）选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 5cos1, 5sin x y =+ = （为参数)以坐标原 点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 （1）求 1 C的极坐标方程； （2）若 1 C与曲线 2 C:2sin=交于,A B两点，求OAOB的值 23.（本小题满分 10 分）选修45：不等式选讲 已知函数( )12fxxxa=+ （1）当3a =时，解不等式( )2fx； （2）若不等式( )13xfx+的解集非空，求实数a的取值范围 高三数学（理科）1（共 13 页） 2020 年福州市高中毕业班质量检测 数学（理科）参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数除第 16 题外，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1B 2D 3B 4C 5B 6D 7A 8C 9B 10A 11C 12B 12 【解析】解法一：设()06ABxx=， 所以)(tf在)+, 4上为递增函数， 11 分 高三数学（理科）4（共 13 页） 所以当4=t，即2ac=时， ABC的周长的最小值为=)4(f42 3+ 12 分 18.【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，异面直线所成角和直线 和平面所成角等基础知识， 意在考查直观想象、 逻辑推理与数学运算的数学核心素养 满 分 12 分 【解析】解法一： （1）证明：取 1 BC中点 F ，连接,DF EF， E为BC中点， 11 1 , 2 EFCC EFCC=， 1 分 又D为 1 AA的中点， 11 1 , 2 DACC DACC=， ,EFDA EFDA=， 故四边形ADFE为平行四边形， 2分 ,AEDF 3 分 AE 平面 1, BDC DF 平面 1, BDC AE平面 1 BDC 5 分 （2）由（1）及题设知,BC EA EF三条直线两丙垂直以点E为坐标原点，分别以 ,EC EA EF 的方向为, ,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz， 6 分 设() 1 20 ,AAt t=则 ()() 1 ( 3,0,0),(3,0,2 ),0,3 3,0 ,3,0,0BCtAC， () 0,3 3,Dt， 所以(3,3 3, ),BDt= 1 (6,0,2 ),(3, 3 3,0)BCtAC= ， ()() 1 1 2 2 22 1 633 cos, 4 6233 3 BCAC BC AC BCAC t = + ， 解得3t = 8 分 设平面 1 BDC的法向量为( , , )mx y z= ， 由 1 0 0 m BD m BC = = ，得 33 330, 62 30 xyz xz += += 取1x =，则(1,0,3).m = 10 分 又(0,3 3, 3),(0,3 3, 3)DED= ， x z F E D A BC C1 B1 A1 y 高三数学（理科）5（共 13 页） 所以cos,ED m= ED m EDm ()()() 222 2 330 20 3 3313 = + 11 分 直线DE与平面 1 BDC所成角的正弦值为 30 20 12 分 解法二： （1）略，同解法一； （2）设 11 ,AB AB的中点分别为O，G，则,OB OC OG三条直线两两垂直以O为坐标 原点，分别以,OB OC OG 的方向为, ,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 6 分 设() 1 20 ,AAt t= 则() () 1 (3,0,0),(0,3 3,2 ),3,0,0 ,0,3 3,0BCtAC， () 3 3 3 3,0,0 22 DtE ， ( 6,0, ),BDt= 1 ( 3,3 3,2 ),(3,3 3,0)BCtAC= = ， () 1 1 2 1 9273 cos, 4 9272927 BCAC BC AC BCAC t + = + ， 解得3t = 8 分 设平面 1 BDC的法向量为( , , )mx y z= ， 由 1 0 0 m BC m BD = = ，得 33 32 30, 630 xyz xz += += 取1x =，则(1,3,2 3)m = ， 10 分 又( 3,0, 3),D 93 3 , 3 22 ED = ， 所以cos,ED m= ED m EDm 2 2 99 6 30 22 20 93 3 31312 22 + = + + ， 11 分 直线DE与平面 1 BDC所成角的正弦值为 30 20 12 分 O G F E D A1 B1 C1 CB A z x y 高三数学（理科）6（共 13 页） 解法三： （1）略，同解法一； （2）以A为坐标原点，分别以 1 ,AB AA 的方向为, x z轴的正方向，建立如图所示的空间直角 坐标系Axyz， 6 分 设() 1 20 ,AAt t= 则() () 1 (6,0,0),(3,3 3,2 ),0,0,0 ,3,3 3,0BCtAC， () 9 3 3 0,0,0 22 DtE ， 所以( 6,0, ),BDt= 1 ( 3,3 3,2 ),(3,3 3,0)BCtAC= = ， () 1 1 2 1 9273 cos, 4 9272927 BCAC BC AC BCAC t + = + ， 解得3t = 8 分 设平面 1 BDC的法向量为( , , )mx y z= ， 由 1 0 0 m BC m BD = = ，得 33 32 30, 630 xyz xz += += 取1x =，则(1,3,2 3)m = ， 10 分 又(0,0, 3),D 93 3 , 3 22 ED = ， cos,ED m= ED m EDm 2 2 99 6 30 22 20 93 3 31312 22 + = + + ， 11 分 即直线DE与平面 1 BDC所成角的正弦值为 30 20 12 分 解法四： （1）略，同解法一； （2） 如图， 把直三棱柱 111 ABCABC补成直四棱柱 1111 ACBMAC B M， 且MBAC = ， 连接 1 MC， F E D A B C C1 B1 A1 x z y 高三数学（理科）7（共 13 页） 所以 1 MBC为异面直线 1 BC与AC所成的角或其补角， 6 分 在 1 DBC中，根据余弦定理，得 222 11 1 1 cos 2 BMBCC M MBC BM BC + = ()() 2 2222 11 22 1 666 3 26 6 CCCC CC + = + 2 1 3 36CC = + ， 因为异面直线 1 BC与AC所成角的余弦值为, 4 3 2 1 3 4 36CC 3 = + ，解得 1 2CC =3 7 分 由（1）知，四边形ADFE为平行四边形，所以AEDF， ABC是边长为 6 的等边三角形，E为BC的中点， AEBC，故DFBC； D 为 1 AA的中点， 又 222222 1111 6339,3639DBABDADCADAC=+=+=+=+=， 1 DBDC=， 1 DFBC； 又 1 BCBCB=，DF 平面 11 BCC B. 8 分 DF 平面 1 BDC，平面 1 BDC 平面 11 BCC B， 过点E作 1 EHBC于H，连接 DH ，又平面 1 BDC 平面 111 BCC BBC=， EH 平面 1 BDC， EDH为DE与平面 1 BDC所成角 9 分 ()() 22 22 3 3330DEAEAD=+=+=， () 2 222 11 62 34 3BCBCCC=+=+=， 1 1 62 33 2224 3 BC CC HE BC = ， 10 分 在Rt EDH 中， F E D A1 B1 C1 C B AM M1 H 高三数学（理科）8（共 13 页） 3 30 2 sin, 2030 HE EDH DE = 11 分 即直线DE与平面 1 BDC所成角的正弦值为 30 20 12 分 19.【命题意图】本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，直线和圆的位置关系等基 础知识，意在考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算 【解析】 （1）依题意得， 22 222 22 2 21 1 c ab cab = += = ， 2 分 解得 2 2 a b = = ， 3 分 所以C的方程为1 24 22 =+ yx 4 分 （评分说明:求出2c =给 1 分，列出三个等式给 2 分） （2） 12 kk为定值 1 2 5 分 理由如下： 当过点P的直线的斜率不存在时，直线的方程为2x = 当2x =时，(2, 2), (2,2),AB 则 12 221 222 kk = = ； 当2x = 时，( 2, 2), ( 2,2),AB 则 12 221 222 kk = = ； 6 分 （评分说明:只写出一种，不扣分） 当过点P的直线的斜率存在时，设其方程为 1122 , ( ,), (,),ykxm A x yB xy=+ 设过点P的直线方程为ykxm=+，代入 22 1 42 xy +=， 高三数学（理科）9（共 13 页） 得() 222 124240kxkmxm+=， 7 分 因为直线与C相切，所以()()() 2 22 44 12240kmkm =+=， 所以 22 42mk=+， 8 分 由 22 6 ykxm xy =+ += ，得() 222 1260kxkmxm+=， 则 2 1212 22 26 , 11 kmm xxx x kk += = + ， 9 分 所以 12 12 12 y y kk x x = ()() 12 12 kxmkxm x x + = () 22 1212 12 k x xkm xxm x x + = 10 分 2 22 22 2 2 62 11 6 1 mkm kkmm kk m k + + = + 22 2 6 6 mk m = 11 分 22 2 426 426 kk k + = + 1 2 = 综上， 12 kk为定值 1 2 12 分 20.【命题意图】本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数学抽象、数学 运算、数据分析的数学核心素养满分 12 分 【解析】 （1） （1） 0 rr 1 分 理由如下： 由图可知，y与x成正相关关系， 2 分 异常点 A，B 会降低变量间的线性相关程度 3 分 44 个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小 42 个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大 高三数学（理科）10（共 13 页） 42 个数据点更贴近其回归直线l 44 个数据点与其回归直线更离散 （以上理由写出任一个或其它言之有理，均可得分） （2）由题中数据可得： 42 1 1 110.5 42 i i xx = = ， 42 1 1 74 42 i i yy = = ， 4 分 所以()() 4 1 42 1 2 4235035042 110.5746916 iii ii i xxyyyxxy = = 5 分 又因为() 42 2 1 13814.5 i i xx = = ，所以 ()() () 1 2 1 6916 0.501 13814.5 n ii i n i i xxyy b xx = = = ， 6 分 740.501 110.518.64b xay= 所以0.50 +18.64.yx= 7 分 将125x =代入，得0.5018.640.50 12518.6462.518.6481yx=+=+=+， 所以估计 B 同学的物理成绩约为 81 分 8 分 （3） 42 1 1 74 42 i i yy = = ， () 42 2 2 1 11 5250125 4242 i i syy = = ， 所以()74,125N， 9 分 又因为12511.2， 所以()()62.885.27411.27411.20.6826PP= ，解得 22 22 33 kxk +，kZ 4 分 令( )0g x，得 1 cos 2 x ，解得 24 22 33 kxk + +， 所以0)( x m， 9 分 所以)+, 0 x时，( )0m x，所以)(xm在)+, 0上单调递增， 所以( )(0)20m xm=，即( )0p x， 10 分 所以( )p x在)+, 0上单调递增，则( )(0)10p xp= ，即( )0h x， 11 分 所以( )h x在)+, 0上单调递增，则( )(0)0h xh= 所以原不等式成立 12 分 解法二： （1）略，同方法一； （2）若0 x，欲证 2 ( )1f xx 成立，只需证 2 ( )10f xx+ 成立 设 2 ( )( )1h xf xx=+ ，0 x，( )( )2(12sin )e2 x h xfxxxxx=+， 7 分 当0,x时，sin0 x，所以12sin1xx+， 当( ,)x +时，12sin12sin121xxx+ + + ， 9 分 即)0,x+时，( )e2 x h xx， 高三数学（理科）12（共 13 页） 记( )e2 ,0 x xx x=，所以( )e2 x x=，令( )0 x=，得ln2x =， 当(0,ln2)x时，( )0 x ln2 min ( )(ln2)e2ln222ln20 x=， ( )0 x，即( )0h x， 11 分 所以( )h x在)0,+上单调递增，则( )(0)0h xh= 所以原不等式成