武昌区2020届高三理科数学4月调研试题定稿含答案

高三理科数学 第 1 页（共 5 页） 武昌区武昌区 2020 届高三年级届高三年级四四月月调研调研测测试试 理科数学 注意事项注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一一、选择题选择题：本题共本题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的。 1已知集合 2 |230Ax xx， 2 |log0Bxx，则BA A21 | xx B |02xx C |13xx D |01xx 2i为虚数单位，复数 2 ) i1 ( i 21 z的虚部为 A 2 1 B 2 1 Ci 2 1 Di 2 1 3设等差数列 n a的前n项和为 n S，且0d，若 53 3aa，则 9 5 S S A 9 5 B 5 9 C 3 5 D 27 5 4已知函数 )(xf 是定义域为R的奇函数，当0x时，axxf x 22)(，则 ) 1(f A. 3 B. 3 C. 2 D. 1 5已知实数x，y满足 , 042 , 033 , 022 yx yx yx 则yxz3的最小值为 A7 B 6 C1 D6 6已知 5 ) 1 1 )(3( x ax的展开式中常数项为 14，则实数a的值为 A1 B1 C 5 4 D 5 4 高三理科数学 第 2 页（共 5 页） 7若 7 2 tan3tan，则 ) 7 2 sin( ) 14 3 cos( A1 B2 C3 D4 8已知3lna，2ln3b，2log3c，则 Acba Bcab Cabc Dacb 9已知直三棱柱 111 CBAABC 的 6 个顶点都在球O的表面上，若1 ACAB， 32 1 AA， 3 2 BAC，则球O的体积为 A 3 32 B3 C 3 4 D 3 42 10如图所示，在由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角 形中，设FADF3，则 AACABAD 63 24 63 36 BACABAD 63 12 63 36 CACABAD 63 24 63 48 DACABAD 63 12 63 48 11已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，P为双曲线C的 右支上一点，点M和N分别是 21F PF的重心和内心，且MN与x轴平行，若 aPF4| 1 ，则双曲线的离心率为 A 2 3 B2 C3 D2 12已知一个正方形的四个顶点都在函数1 2 9 )( 3 xxxf的图像上，则此正方形的面积 为 A5 或 2 17 B5 或 10 C5 或 17 D10 或 17 高三理科数学 第 3 页（共 5 页） 二二、填空题填空题：本题共本题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分。 13数列 n a的前n项和为 n S，1 1 a， 1 1 34 n nn aa，则 2020 S=_. 14有人收集了七月份的日平均气温t（摄氏度）与某冷饮店日销售额y（百元）的有关 数据，为分析其关系，该店做了五次统计，所得数据如下： 日平均气温t（摄氏度） 31 32 33 34 35 日销售额y（百元） 5 6 7 8 10 由资料可知，y关于t的线性回归方程是1.2yta，给出下列说法： 4 .32a； 日销售额y（百元）与日平均气温t（摄氏度）成正相关； 当日平均气温为 33 摄氏度时，日销售额一定为 7 百元. 其中正确说法的序号是_. 15 已知F是抛物线 2 8 1 xy 的焦点，P为抛物线上的动点， 且A的坐标为)2, 3( ， 则 | | PA PF 的最小值是_. 16已知0，函数) 4 sin()(xxf的图像在区间), 2 (上有且仅有一条对称轴，则实 数的取值范围是_. 三三、解答题解答题：共共 7070 分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。第第 17211721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 2222、2323 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答。 （一一）必考题必考题：共共 60 分分。 17 （本题 12 分） 在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ba ca C BA sin sinsin （1）求角B的大小； （2）若6b，且AC边上的中线长为 4，求ABC的面积 18 （本题 12 分） 如 图 ， 在 四 棱 锥ABCDP 中 ， 底 面ABCD是 梯 形 ，BCAD/， 1 2 2 ABADDCBC，ACPB . （1）证明：平面PAB 平面ABCD； （2）若4PA，32PB，求二面 角DPCB的余弦值. 高三理科数学 第 4 页（共 5 页） 19 （本题 12 分） 已知椭圆 C：)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 经过点 P) 1 , 2(，离心率为 2 2 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 P 作两条互相垂直的弦 PA，PB 分别与椭圆 C 交于点 A，B，求点 P 到直线 AB 距离的最大值 20 （本题 12 分） 某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为 单位（一套住宅为一户） 阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 月用水范围（吨) (0，12 (12，16 (16,) 为了了解全市居民月用水量的分布情况， 通过抽样， 获得了 10 户居民的月用水量 （单 位：吨） ，得到统计表如下： 居民用水户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 用水量（吨) 7 8 8 9 10 11 13 14 15 20 （1） 若用水量不超过 12 吨时，按 4 元/吨计算水费；若用水量超过 12 吨且不超过 16 吨时，超过 12 吨部分按 5 元/吨计算水费；若用水量超过 16 吨时，超过 16 吨部分按 7 元 /吨计算水费试计算：若某居民用水 17 吨，则应交水费多少元？ （2）现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期 望； （3）用抽到的 10 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取 10 户，若抽到k户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求k的值 21 （本题 12 分） 已知函数xxxfln)e ()(（e为自然对数的底数） （1）求函数( )f x的零点，以及曲线( )yf x在其零点处的切线方程； （2）若方程( )f xm)0(m有两个实数根 1 x， 2 x，求证： 1e e 1e| 21 m xx 高三理科数学 第 5 页（共 5 页） （二二）选考题选考题：共共 1010 分分。请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做如果多做，则按所做的则按所做的 第一题计分第一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（本题 10 分） 在直角坐标系xOy中，已知曲线 1 C的参数方程为 2cos ( 32sin x y 是参数） ，以O为 极点， 以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为sin()2 2 4 . （1）求曲线 1 C和曲线 2 C的普通方程； （2）曲线 2 C与x轴交点为P，与曲线 1 C交于A，B两点，求 11 |PAPB 的值 23选修 4-5：不等式选讲（本题 10 分） （1）解不等式9|3|2|xx； （2）若1|a， 1|b，求证：|1|baab. 高三理科数学 第 1 页（共 4 页） E F 武昌区武昌区 2020 届高三年级届高三年级四四月月调研调研测测试试 理科数学参考答案及评分细则 一一、选择题选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D B A B B B A D A D 二二、填空题填空题： 13 2 132020 2020 S 14 15 5 5 16 ) 4 15 , 2 7 () 4 11 , 4 7 () 2 3 , 4 3 ( 三三、解答题解答题： 17 （ （本题本题 12 分分） 解解： （1）由正弦定理，得， ba ca c ba ，化简得acbca 222 . 由余弦定理，得 2 1 cos 2 222 B ac bca ，所以 3 B. .(6 分) （2）设AC的中点为 D，由余弦定理，得 CDBD BCCDBD ADBD ABADBD 22 222222 ， 即 342 34 342 34 222222 ac ，所以50 22 ca. 又，acbca 222 ，6b，所以14ac. 所以， 2 37 sin 2 1 BacS. .(12 分) 18 （ （本题本题 12 分分） 解解： （1）因为BCAD/， 1 2 2 ABADDCBC，所以 90BAC，即ACAB . 因为ACPB ，所以AC平面PAB. 因为AC平面ABCD，所以，平面PAB 平面ABCD. .(4 分) （2）因为4PA，32PB，2AB，所以BAPB . 由（1）知，PB平面ABCD，所以BCPB ，平面PBC平面ABCD. 过点D作BCDE 于E，则DE平面PBC. 过E作PCEF 交BC于F，则角DFE为所求二面角的平面角. 在梯形ABCD中，求得3DE.在PBCRt中，求得 7 3 EF. 在DEFRt中，求得， 7 62 DE，3DF. 高三理科数学 第 2 页（共 4 页） 在DEF中，求得 4 2 cosDEF，为所求. .(12 分) 另解另解： （向量法）建系设（求）点正确 2 分；求两个法向量正确 4 分；求余弦正确 2 分. 19 （ （本题本题 12 分分） 解解： （1）由题意，得 , 2 2 , 1 14 22 a c ba 考虑到 222 cba，得6 2 a，3 2 b. 所以，椭圆 C 的方程为1 36 22 yx . .(4 分) （2）当直线AB的斜率存在时，设其方程为mkxy，代入椭圆方程，整理得 0624)21 ( 222 mkmxxk，由0，得036 22 mk. 设),( 11 yxA，),( 22 yxB，则 2 21 21 4 k km xx ， 2 2 21 21 62 k m xx . 因为PBPA，所以1 PBPA kk，所以1 2 1 2 1 2 2 1 1 x y x y ， 即4(21)( 21212121 xxxxyyyy. 其中 2 2121 2 2121 )()(mxxmkxxkmkxmkxyy，mxxkyy2)( 2121 . 代入，整理得012384 22 mmmkk，即0) 132)(12(mkmk. 当012mk时，直线 AB 过点 P，不合题意，所以0132 mk. 此时，直线 AB 的方程为 3 1 ) 3 2 (xky，直线过定点) 3 1 , 3 2 (M. 所以，当ABPM 时，点 P 到直线 AB 的最大距离为 3 24 | PMd. 当直线AB的斜率不存在时，设其方程为nx ，代入解得 3 2 n或2n（舍去）. 当 3 2 n时，点 P 到直线 3 2 x的距离为 3 4 . 综上，点 P 到直线 AB 的最大距离为 3 24 | PMd. .(12 分) 另另：当0132 mk时，直线AB的方程为0 3 1 3 2 kykx，此时点 P 到直线 AB 的距离 k k k k d 1 2 1 3 4 1 |1| 3 4 2 )0( k，其中2 1 k k或2 1 k k. 20 （ （本题本题 12 分分） 解解： （1）若某居民用水 17 吨，则需交费124451 775 （元）. .(4 分) （2）设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有 3 户，则可取 0，1， 2，3. 高三理科数学 第 3 页（共 4 页） 24 7 )0( 3 10 3 7 C C p， 40 21 ) 1( 3 10 1 3 2 7 C CC p， 40 7 )2( 3 10 2 3 1 7 C CC p， 120 1 )3( 3 10 3 3 C C p. 故的分布列是 0 1 2 3 p 7 24 21 40 7 40 1 120 所以 10 9 120 1 3 40 7 2 40 21 1 24 7 0)(E. .(8 分) （3）可知从全市中抽取 10 户的用电量为第一阶梯，满足X) 5 3 ,10(B， 于是为 kkk CkXP 10 10 ) 5 2 () 5 3 ()(，10, 2 , 1 , 0k. 由 ,) 5 2 () 5 3 () 5 2 () 5 3 ( ,) 5 2 () 5 3 () 5 2 () 5 3 ( )1(1011 10 10 10 )1(1011 10 10 10 kkkkkk kkkkkk CC CC 化简得 ,23 ,32 1 1010 1 1010 kk kk CC CC 解得 5 33 5 28 k. 因为 Nk，所以6k. .(12 分) 21 （ （本题本题 12 分分） 解解： （1）由0ln)e ()(xxxf，得1x，或ex，所以函数)(xf的零点为1e，. 因为1ln e )(x x xf，所以1e) 1 ( f ，1)e ( f 因为0)e () 1 ( ff，所以，曲线( )yf x在1x 处的切线方程为) 1)(1e (xy，在ex处 的切线方程为exy. .(4 分) （2）因为1ln e )(x x xf，所以0 e1 )( 2 xx xf，所以1ln e )(x x xf单调递减. 令) 1)(1e ()(xxg，e)(xxh. 下证)()(xgxf，即) 1)(1e (ln)e (xxx. 记xxxxmln)e () 1)(1e ()(，则e e ln)( x xxm，0 e1 )( 2 xx xm， 所以 m x单调递增，且 10 m ，故 m x在01 ，单减， m x在1 ，单增. 所以 10m xm，即) 1)(1e (ln)e (xxx. 同法可证)()(xhxf，即eln)e (xxx.(略) 不妨设mxhxfxfxg)()()()( 4213 ， 因为)()()( 311 xgmxfxg，且) 1)(1e ()(xxg为增函数，所以 31 xx . 由mxxg) 1)(1e ()( 33 ，得1 1e 3 m x. 同理， 24 xx ，mx