宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期第一次模拟考试理科数学试卷含答案

模拟一理数第 1页，共 11页 绝密绝密启用前启用前 宁夏六盘山高级中学宁夏六盘山高级中学 2020 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 理科数学 命题教师： 本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写、涂清楚。答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写、涂清楚。 2选择题必须使用选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1.已知集合 2 230Ax xx，集合 1 21 x Bx ，则 B C A (? A.(, 13,) B.(3,)C.3,)D.(, 1)(3,) 2.若1 2zi ，则 4 1 i z z (? A. 1B. ? 1C.iD.i 3. 已知向量 13 ( ,) 22 BA ， 3 1 (, ) 22 BC ，则ABC(? A.45B.30C.60D.120 4. 算经十书)是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作,它们曾经是隨唐时代国子监算学科的教 科书。十部书的名称是:周髀算经 九章算术 海岛算经 五曹算经 孙子算经 夏侯阳算 经 强丘建算经 五经算术 辑古算经 缀术 ，小明计划从这十部书中随机选择两部书购买， 则选择到九章算术概率是(? A. 1 5 B . 1 2 C. 2 5 D. 3 10 5. 已知下表所示数据的回归直线方程为44yx，则实数a的值为(? x23456 y3711 a 21 A. 16B. 18C. 20D. 22 第 2页，共 11页 6. 设 7 log 3a ， 1 3 log 7b ， 0.7 3c ，则, ,a b c的大小关系是(? A.abcB.cbaC. ? . ? . ?D. ? . ? . ? 7. 已知 ,m n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 (? A. ,mnm n若则 B. ,mnmn若则 C. ,mmnn若则 D. ,mmnn若则 8. 已知抛物线 2 2(0)xpy p的准线被双曲线 22 1 32 xy 截得的弦长为 6，则该抛物线的焦点坐标是 (? A 1 0, 32 B(0,32)C 1 0, 2 D(0,2) 9. 函数( )sin()(0,) 2 f xx 的最小正周期为，若其图象向左平移 6 个单位后得到的 函数为奇函数，则函数( )f x的图象(? A. 关于点 7 (,0) 12 对称B. 关于点( ,0) 12 对称 C. 关于直线 12 x 对称D. 关于直线 7 12 x 对称 10. 若 3 cos() 45 ，则sin2(? A. 7 25 B. 1 5 C. 1 5 D. 7 25 11. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右顶点分别为 12 ,A A，且以线段 12 A A直径的圆与直线 2=0bxayab相切，则 C 的离心率为(? A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 1 3 12. 已知定义在R上的偶函数( )f x满足(4)( )f xf x，且在区间0,2上( )f xx，若关于x的方 程( )logaf xx有六个不同的根，则a的范围为(? A. ( 6, 10) B. ( 6,2 2) C. (2,2 2) D. (2,4) 模拟一理数第 3页，共 11页 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为 主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代 脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答 题”、 “专项答题”、 “挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中， 将六大板块依次各完成一次， 则“阅 读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有_种. 14. 若函数 2 ,(0) ( ) (2),(0) x x f x f xx ，则 2 (3)f log 15.ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 若 4 cos 5 A ， 5 cos 13 C ，1a ， 则b _ 16. 已知三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直，且 5AB ，? ? ?, 2AC ，则此三棱锥外 接球的表面积为. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答第题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 17. (本题满分 12 分) 在直三棱柱 111 ABCAB C中， 底面ABC是直角三角形 1 2ACBCAA， D为侧棱 1 AA的中点 求异面直线 11 ,DC BC所成角的余弦值； 求二面角 11 BDCC的平面角的余弦值 第 4页，共 11页 18. (本题满分 12 分) 从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口 遇到红灯的概率分别为 1 1 1 , 2 3 4 , 设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； 若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率 19. ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 n a是 公 差 为3的 等 差 数 列 ， 数 列 n b满 足 1 1b ， 2 1 3 b ， 11nnnn a bbnb ， 求 n a的通项公式； 求 n b的前 n 项和 20. (本题满分 12 分)设函数( )lnf xx，( )1,g xaxaR，记( )( )( )F xf xg x 求曲线( )yf x在xe处的切线方程； 求函数( )F x的单调区间； 当0a 时，若函数( )F x没有零点，求a的取值范围 模拟一理数第 5页，共 11页 21. (本题满分 12 分)已知平面上的动点( , )P x y及两定点( 2,0), (2,0)Ab，直线,PA PB的斜率分别是 12 ,k k且 12 1 4 kk 求动点P的轨迹C的方程； 设直线: l ykxm与曲线C交于不同的两点,M N, 若OMON,(O为坐标原点?，证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值 若直线,BM BN的斜率都存在并满足 1 4 BMBN kk ，证明直线l过定点，并求出这个定点 （二（二）选考题选考题：共共 10 分分请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分 22(本题满分本题满分 10 分分) 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:4cosC， 直线l的参数方程为： 32 1 xt yt （t为参数） ，直线l与曲线C分别交于,M N两点. （1）写出曲线C和直线l的普通方程； （2）若点(3, 1)P，求 11 |PMPN 的值. 23. (本题满分本题满分 10 分分) 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数( )223()f xxxm mR. 当2m 时，求不等式( )3f x 的解集； 若(,0)x ，都有 2 ( )f xx x 恒成立，求m的取值范围 第 6页，共 11页 2020 一模一模教师用卷教师用卷 一选择题 CCBABDBDCDAA 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13.43214 3 4 15 21 13. 16? 三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分） 17 在直三棱柱 ? ? ?1?1?1中，底面? ? 是直角三角形，? ? ? ? ?1? 2，D 为侧棱 ?1的中 点 ?1?求异面直线 ?1，?1? 所成角的余弦值； ?2?求二面角?1? ? ? ?1的平面角的余弦值 【答案】解：?1?由已知得 CA，CB，?1两两垂直， 如图所示，以 C 为原点，CA，CB，?1为坐标轴，建立空间直角坐标系 ? ? ?，? 则 ?0，?，?20，?，?2，?，?1?0，2?， ?1?2，2?，?20，1? 所以?1 ? ? ? ? 20，1?，?1? ? ? ? ? 2 ?2?， 所以 cos . ?1 ?1? ? ?1 ?1? ?1 ?1? ? ?2 5? ? ? 1 1 ， 即异面直线 ?1与?1? 所成角的余弦值为 1 1 ? ?2?因为? ? ? ? ?2，?，? ? ? ? ?20，?，?1 ? ? ?0，2?， 所以? ? ? ? ? ? ，? ? ? ?1? ? ， 所以? ? ?为平面 ?1?1的一个法向量 因为?1? ? ? ? ? 2 ?2?，? ? ? ? ?20，1?， 设平面?1? 的一个法向量为?，? ?y，? 由 ? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ，得 ? 2 ? ?2 ? 2? 个 ? ? 令 ? ? 1，则 ?，2 ? ?，2 ? ? ?12，? 2? 所以 cos . ?，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3?2 ? 2 3 模拟一理数第 ?页，共 11页 由图可知二面角?1? ? ? ?1的平面角是锐角， 所以二面角?1? ? ? ?1的余弦值为2 3 18.从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分 别为1 2， 1 3， 1 4 ?设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； ?若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率 【答案】解：?随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3； 则 ? ? ? ? ?1? 1 2 ? ? ?1 ? 1 3 ?1? 1 4 ? ? 1 4， ? ? 1? ? 1 2 ? ?1? 1 3 ? ? ?1? 1 4 ? 个 ?1? 1 2 ? ? 1 3 ? ?1? 1 4 ? 个 ?1? 1 2 ? ? ?1? 1 3 ? ? 1 4 ? 11 24， ? ? 2? ? ?1? 1 2 ? ? 1 3 ? 1 4 个 1 2 ? ?1? 1 3 ? ? 1 4 个 1 2 ? 1 3 ? ?1? 1 4 ? ? 1 4， ? ? 3? ? 1 2 ? 1 3 ? 1 4 ? 1 24； 所以，随机变量 X 的分布列为 X0123 P 1 4 11 24 1 4 1 24 随机变量 X 的数学期望为 ? ? ? 1 4 个 1 ? 11 24 个 2 ? 1 4 个 3 ? 1 24 ? 13 12； ?设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为 ?个 砀 ? 1? ? ? ? 砀 ? 1? 个 ? ? 1砀 ? ? ? ? ? ? ? ?砀 ? 1? 个 ? ? 1? ? ?砀 ? ? ? 1 4 ? 11 24 个 11 24 ? 1 4 ? 11 4?； 所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为11 4? 19.已知?是公差为 3 的等差数列，数列?满足?1? 1，?2? 1 3，?个1 个 ?个1? ? ?求?的通项公式； ?求?的前 n 项和 【答案】解：? ? ?个1个 ?个1? ?， 当 ? ? 1 时，?1?2个 ?2? ?1， ? ?1? 1，?2? 1 3， ? ?1? 2， 又? ?是公差为 3 的等差数列， ? ? 3? ? 1； ?由?知：?3? ? 1?个1个 ?个1? ?， 即 3?个1? ?， 第 ?页，共 11页 即数列?是以 1 为首项，以1 3为公比的等比数列， ? ?的前 n 项和? 1?1 3? ? 1?1 3 ? 3 2 ?1? 3? ? 3 2 ? 1 2?3?1 20.设函数，? ? ? 个 1，? ? ?，记 ? ? ? ? ? ?求曲线 ? ?在 ? ? ? 处的切线方程； ?求函数 ?的单调区间； ?当 ? ? 时，若函数 ?没有零点，求 a 的取值范围 【答案】解：?因为，所以? ? 1 ?， 则 ?在 ? ? ? 处的切线斜率为 ? ? 1 ?， 又 ? ? 1， ?函数 ?在 ? ? ? 处的切线方程为 ? 1 ? 1 ? ? ?， 即 ? 1 ? ?； ? ? ? ? ? ? ? 1， ? ? 1 ? ? ? ? 1? ? ，? ? ?， ?当 ? ? 时，? ? ， ?在区间? 个 ?上单调递增， ?当 ? ? 时，令? . ，解得 ? ? 1 ?， 令? ? ，解得 . ? . 1 ?， 综上所述： 当 ? ? 时，函数 ?的增区间是? 个 ?， 当 ? ? 时，函数 ?的增区间是? 1 ? ?，减区间是? 1 ? 个 ?； ?依题意，函数 ?没有零点， 即 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 无解， 由?知：当 ? ? 时， 函数 ?在区间? 1 ? ?上为增函数，区间? 1 ? 个 ?上为减函数， 只需 ? 1 ? ? ? ln 1 ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 2 . ， 解得 ? ? ?2 ?实数 a 的取值范围为? 1 ?2 个 ?t 21.已知平面上的动点 ?及两定点 ? ? 2?， ?2?， 直线 PA， PB的斜率分别是 ?1， ?2且?1? ?2? 1 4 ?1?求动点 P 的轨迹 C 的方程； ?2?设直线 l：? ? 个 与曲线 C 交于不同的两点 M，N 模拟一理数第 9页，共 11页 ?若 ?t ? ? 为坐标原点?，证明点 O 到直线 l 的距离为定值，并求出这个定值 ?若直线 BM，BN 的斜率都存在并满足?t? ? 1 4，证明直线 l 过定点，并求出这个定点 【答案】解：?1?由题意得 ?个2 ? ?2 ? 1 4，? ? 2?， 即?2个 42? 4? ? 2? ?动点 P 的轨迹 C 的方程是? 2 4 个 2? 1? ? 2? ?2?设点 t?11?，?22?， 联立 ? ? 个 ?2个 42? 4， 化为?1个 4?2?2个 ? 个 42? 4 ? ， ? t ? 64?22? 16?2? 1?1个 4?2? ? 16?1个 4?2? 2? ? ? ?1个 ?2? ? 1个4?2 ，? 1?2? 42?4 1个4?2 ? 12? ?1个 ?2个 ? ? ?2?1?2个 ?1个 ?2? 个 2， ?若 ?t ? ?，则?1?2个 12? ， ? ?1个 ?2?1?2个 ?1个 ?2? 个 2? ， ? ?1个?2?42?4? 1个4?2 ? ?22 1个4?2 个 2? ， 化为2? 4 5 ?1个 ?2?，此时点 O 到直线 l 的距离 ? ? ? 1个?2 ? 2 5 5 ? ? ?t? ? 1 4 ，? 1 ?1?2 ? 1 ?1个2 ? 1 4， ? ?1?2? 2?1个 ?2? 个 4 个 412? ， ? ?1?2? 2?1个 ?2? 个 4 个 4?2?1?2个 4?1个 ?2? 个 42? ， 代入化为42? 4 ? ?4?2? 1个4?2 个 42个 4 ? ， 化简得 ?个 2? ? ，解得 ? 或 ? 2? 当 ? 时，直线 l 恒过原点； 当 ? 2? 时，直线 l 恒过点?2?，此时直线 l 与曲线 C 最多有一个公共点，不符合题意， 综上可知：直线 l 恒过定点? 2 22 2在直角坐标系中，以原点为极点，在直角坐标系中，以原点为极点，x x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:4cosC， 直线直线l l的参数方程为：的参数方程为： 32 1 xt yt （t t为参数为参数） ，直线，直线l l与曲线与曲线C C分别交于分别交于MM，N N两点两点t t （1 1）写出曲线）写出曲线C C和直线和直线l l的普通方程；的普通方程； （2 2）若点）若点 (3, 1)P ，求，求 11 |PMPN 的值的值t t 【答案【答案】 （1） 22 (2)4xy，250 xy（2） 5 5 【详解】 第 1页，共 11页 （1） 22222 4cos4 cos4(2)4xyxxy 32 250 1 xt xy yt （2） 2 3 32 5 11 1 5 xt xt yt yt 代入 22 4xyx得 2 121 2 22 20,2 55 ttttt t 2121 12121 2 |11115 |5 tttt PMPNttttt t 23 已知函数 ? ? ?2?个 ?2? 个 3? 个 ? ? ? ?1?当 ? 2 时，求不等式 ? ? 3 的解集； ?2?若? ? ? ? ?，都有 ? ? ? 个 2 ?恒成立，求 m 的取值范围 【答案】解：?1?当 ? 2 时，? ?