银川一中2020届高三数学理科一模试题含答案

理理科数学科数学 第第 1 页页(共共 4 页页) 绝密绝密启用前启用前 20202020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理理科数学试题卷科数学试题卷 ( (银川一中第一次模拟考试银川一中第一次模拟考试) ) 注意事项注意事项： 1 1答卷前答卷前，考生务必将自己的姓名考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上准考证号填写在答题卡上。 2 2作答时作答时，务必将答案写在答题卡上务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效写在本试卷及草稿纸上无效。 3 3考试结束后考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回将本试卷和答题卡一并交回。 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，满分满分 6060 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1集合集合 1,0,1A ，A的子集中的子集中，含含有元素有元素0的子集共有的子集共有 A2 个个 B4 个个 C6 个个 D8 个个 2复数复数 2 3 1ii= A-2i B-2 C2i D2 3已知等比数列已知等比数列 n a的公比为正数的公比为正数，且且 2 395 2aaa， 2 a 1，则则 1 a A 2 2 B2 C 1 2 D2 4已知已知mR，“函数函数21 x ym有零点有零点”是是“函数函数logmyx在在0,上为减函数上为减函数”的的 A既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 B充要条件充要条件 C必要不充分条件必要不充分条件 D充分不必要条件充分不必要条件 5若函数若函数axxxfcos)(为增函数为增函数,则实数则实数a的取值范围为的取值范围为 A-1,+) B.1,+) C(-1,+) D(1,+) 6一个空间几何体的三视图如图一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为则该几何体的体积为 A2 3 B2 5 C 4 3 3 D 5 3 3 7我国古代名著我国古代名著庄子庄子天下篇天下篇中有一句名言中有一句名言“一尺之棰一尺之棰， 日取其半日取其半，万世不竭万世不竭”，其意思为其意思为：一尺的木棍一尺的木棍，每天截取一半每天截取一半，永远都截不完永远都截不完现将现将 该木棍依此规律截取该木棍依此规律截取， 如图所示的程序框图的功能就是计算截取如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度天后所剩木棍的长度 （单位单位：尺尺） ，） ，则则处可分别填入的是处可分别填入的是 1 侧视图 1 正视图 1 3 1 俯视图 理理科数学科数学 第第 2 页页(共共 4 页页) 8若若 2 3 1 n x x 展开式的各项系展开式的各项系数之和为数之和为 32，则其展开式中的常数项为则其展开式中的常数项为 A1 B5 C10 D20 9在在平面区域平面区域 2 0, yx x xy yxM 内随机取一点内随机取一点 P， 则点则点 P 在圆在圆 22 2xy内部的概率为内部的概率为 A 8 B 4 C 2 D 4 3 10已知直线已知直线l，m,平面平面、，给出下列命题给出下列命题： mlmll/,/,/则； mm则,/,/； 则,； 则,mlml. 其中正确的命题有其中正确的命题有 A1 个个 B2 个个 C3 个个 D4 个个 11设设 1 F, 2 F分别为双曲线分别为双曲线 22 22 1 xy ab (0,0)ab的左的左、右焦点右焦点，若在双曲线右支上存若在双曲线右支上存 在一点在一点P,满足满足 212 PFFF,且且 2 F到直线到直线 1 PF的距离等于双曲线的实轴长的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲则该双曲 线的离心率为线的离心率为 A 3 4 B 3 5 C 4 5 D 4 41 12已知以已知以4T 为周期的函数为周期的函数 2 1,( 1,1 ( ) 12 ,(1,3 mxx f x xx ，其中其中0m ，若方程若方程 3 ( )f xx恰有恰有 5 个实数解个实数解，则则m的取值范围为的取值范围为 A 15 (, 7) 3 B 4 ( , 7) 3 C 4 8 ( , ) 3 3 D 15 8 (, ) 33 二二、填空题填空题：本大题共本大题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分. . 13已知已知2tan，则则cos2的值为的值为 . 14若若 D 点在三角形点在三角形 ABC 的边的边 BC 上上，且且CD 4DB rAB sAC ，则则 3rs 的值为的值为 . 理理科数学科数学 第第 3 页页(共共 4 页页) 15已知已知,A B两点均在焦点为两点均在焦点为F的抛物线的抛物线 2 2(0)ypx p上上，若若| 4AFBF ， 线段线段AB的中点到直线的中点到直线 2 p x 的距离为的距离为 1，则则p的值为的值为 . 16观察下列算式观察下列算式： 13 =1, 23 =3+5, 33 =7+9+11, 43 =13 +15 +17 +19 ， 若某数若某数 n3按上述规律展开后按上述规律展开后，发现等式右边含有发现等式右边含有“2021”这个数这个数，则则 n= 三三、解答题解答题：共共 7070 分分，解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 17172121 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 2222、2323 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答。 ( (一一) )必考题必考题：共共 6060 分分) ) 17.（12 分分） 在在ABC中中， 内角内角 A、 B、 C 所对的边分别为所对的边分别为a、b、c， 且且sin2sin0bAaAC （1）求角求角A； （2）若若3a ，ABC的面积为的面积为 3 3 2 ，求求 11 bc 的值的值 18 （12 分分） 如图所示如图所示， 某某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损, 其中其中，频率分布直方图的分组区间分别为频率分布直方图的分组区间分别为50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100， 据此解答如下问题据此解答如下问题： （1）求全班人数及分数在求全班人数及分数在80,100之间的频率之间的频率； （2）现从分数在现从分数在80,100之间的试卷中任取之间的试卷中任取 3 份分析学生情况份分析学生情况，设抽取的试卷分数在设抽取的试卷分数在 90,100的份数为的份数为X，求求X的分布列和数学望期的分布列和数学望期 理理科数学科数学 第第 4 页页(共共 4 页页) 19 （12 分分） 如图所示如图所示，在矩形在矩形 ABCD 中中，AB=4，AD=2，E 是是 CD 的中点的中点，O 为为 AE 的中点的中点，以以 AE 为折痕将为折痕将ADE 向上折起向上折起，使使 D 点折到点折到 P 点点，且且 PC=PB （1）求证求证：PO面面 ABCE； （2）求求 AC 与面与面 PAB 所成角所成角的正弦值的正弦值 20 （12 分分） 已知椭圆已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 过点过点0,1,且离心率为且离心率为 3 6 .直线直线l与与x轴正半轴和轴正半轴和y 轴 分 别 交 于 点轴 分 别 交 于 点Q、P， 与 椭 圆 分 别 交 于 点与 椭 圆 分 别 交 于 点M、N, 各 点 均 不 重 合 且 满 足各 点 均 不 重 合 且 满 足 12 ,PMMQ PNNQ . （1）求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程； （2）若若 12 3 ，试证明试证明：直线直线l过定点并求此定点过定点并求此定点. 21 （12 分分） 已知函数已知函数 2 1 ln1 2 f xxaxbx的图象在的图象在1x 处的切线处的切线l过点过点 1 1 , 2 2 （1）若函数若函数 10g xf xax a，求求 g x的最大值的最大值（用用a表示表示） ；） ； （2）若若4a ， 121212 32f xf xxxx x，证明证明： 12 1 2 xx （二二）选考题选考题：共共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题做答两题中任选一题做答，如果多做如果多做，则按所做的则按所做的 第一题记分第一题记分. 22选修选修 44：坐标系与参数方程坐标系与参数方程(10 分分) 在直角坐标系在直角坐标系xOy中中，曲线曲线 1 C的参数方程为的参数方程为 1 1 cos :( sin x C y 为参数为参数） ，） ，曲线曲线 2 2 2: 1 2 x Cy （1）在以在以O为极点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求求 12 ,C C的极坐标方程的极坐标方程； （2）若射线若射线(0) 6 与与 1 C的异于极点的交点为的异于极点的交点为A，与与 2 C的的交点为交点为B，求求AB 23选修选修 4-5：不等式选讲不等式选讲 已知关于已知关于x的不等式的不等式231xxm有解有解，记实数记实数m的最大值为的最大值为M. （1）求求M的值的值； （2）正数正数, ,a b c满足满足2abcM，求证求证 11 1 abbc . 银川一中银川一中 20202020 届高三年级第届高三年级第一一次次模拟考试模拟考试（理科）参考答案（理科）参考答案 一选择题一选择题 123456789101112 BDACBDBCBCBA 二、二、填空题：填空题： 13、 3 5 14、 5 8 15、1或316、45 三、解答题：三、解答题： 17、解析：（1）由sin2sin0bAaAC得sin2sinsinbAaBbA，3 分 又0A，所以sin0A ，得2cos1A ，所以 3 A 6分 （2）由ABC的面积为 3 3 2 及 3 A 得 13 3 sin 232 bc，即6bc ，8 分 又3a ，从而由余弦定理得 22 2cos9bcbcA，所以3 3bc，10 分 所以 113 2 bc bcbc 12 分 18、解析： （）由茎叶图知分数在50,60)的人数为 4 人；60,70)的人数为 8 人；70,80)的人数为 10 人.2 分 总人数为 4 32 0.0125 10 .3 分 分数在80,100)人数为324 8 1010 人频率为 105 3216 .5 分 （）80,90)的人数为 6 人；分数在90,100)的人数为 4 人6 分 X的取值可能为 0,1,2,3 3 6 3 10 201 (0) 1206 C P X C ， 21 64 3 10 601 (1) 1202 C C P X C .8 分 12 64 3 10 363 (2) 12010 C C P X C ， 3 4 3 10 41 (3) 12030 C P X C .10 分 分布列为： X0123 P 1 6 1 2 3 10 1 30 5 6 xE.12 分 19、解析： （1）,(1)PAPE OAOEPOAE 1 分 取BC的中点F，连 ,OF PFOF ,ABOFBC 因为,PBPCBCPF 且 FOFPF ,所以 BC 面POF3 分 从而(2)BCPO 5 分 由（1） （2）且 BC 与 AE 相交，可得PO 面ABCE6 分 （2）作OGBC交AB于G，可知 OG、OF、OP 两两垂直，建立直角坐标系,OG OF OP 7 分 (1, 1,0), (1,3,0),( 1,3,0), (0,0 2)ABCP( 2,4,0),( 1,1, 2),(0,4,0)ACAPAB 8 分 设平面PAB的法向量为( , , )nx y z 20 2,0,1 40 n APxyz n n ABy 10 分 AC与面PAB所成角的正弦值sin|cos, n AC |= 30 15 12 分 20、解析：()设椭圆方程为)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ，由题意知 b=1,-1 分 且离心率 2 2 1 a b a c e= 3 6 ，得 3 2 a.-3 分 所以椭圆的方程为1 3 2 2 y x -4 分 () 由题意设),(),(),0 ,(), 0( 22110 yxNyxMxQmP，设 l 方程为)(mytx， 由MQPM 1 知),(),( 110111 yxxmyx 111 ymy，由题意0 1 ，1 1 1 y m -6 分 同理由 2 PNNQ 知 2 2 1 m y 3 21 ，0)( 2121 yymyy（*）-8 分 联立 )( 33 22 mytx yx 得032)3( 22222 mtymtyt 需0)3)(3(44 22242 mtttm（*） 且有 3 3 , 3 2 2 22 21 2 2 21 t mt yy t mt yy（*）-10 分 （*）代入（*）得023 222 mtmmt，1)( 2 mt， 由题意0mt，1mt(满足（*）)得 l 方程为1 tyx,过定点(1,0),即 P 为定点. -12 分 21、解析：由 1 fxaxb x ，得 11fab ，1 分 l的方程为 1 111 2 yababx ，又l过点 1 1 , 2 2 ， 111 111 222 abab ，解得0b 3 分 2 1 1ln11 2 g xfxaxxaxa x， 2 1 1 111 10 a xx axa x a gxaxaa xxx ，4 分 当 1 0,x a 时， 0gx ， g x单调递增；当 1 ,x a 时， 0gx ， g x单调递减； 故 2 max 111111 ln11ln 22 g xgaaa aaaaa 6 分 （2）证明：4a ， 22 12121211221212 3