广东江门市新会华侨中学2020届高三理科数学3月线上测试卷含答案

1 江门市新会华侨中学江门市新会华侨中学 2020 届高三理科数学3月测试卷含答案届高三理科数学3月测试卷含答案 一、选择题选择题 1设集合 ( , )|1Ax yxy ， 2 ( , )|Bx yyx ，则AB A.0,1 B. 1,1 C.(0,0),(1,1) D. 2实数1a 是复数 1 1+ai i (i为虚数单位)在复平面内位于第四象限的 A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C.充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3设等比数列 n a 满足 13 3aa ， 15 3aa ，则 7 a A.8 B.8 C.6 D.6 4 古希腊帕特农神庙在建筑设计中多次运用宽与长的 比为 5151 0 618 22 . 的黄金矩形如图，矩形 AEFD与矩形BEFC都是黄金矩形现随机从矩形 AEFD中取一点，则取自矩形ABCD的概率为 A. 51 2 B.35 C. 35 2 D.52 5设向量(1,0)a，(0,1)b，(2,1)c，则()abc的充要条件是实数 A.3 B.2 C.2 D.3 6在下列四个图象中，函数 ( )= sinf xxx 与 ( )= cosg xxx 的大致图像依次对应为 A B C D 7若x,y满足约束条件 20 20 xy xy ，则 Az xy 有最小值 Bz xy 无最大值 C 2zxy 有最小值 D 2zxy 无最大值 8执行如图所示的程序框图，如果输入的10n24，1S ，则输出的n的结果是 2 1 n SS logn 输出 n 结束 开始 输入 S,n 的值 S0.10.1 ? 否 n=n1 是 A2 B3 C4 D5 9已知双曲线 22 22 100 xy C :a,b ab 的离心率为 2，左右焦点分别为1 F、 2 F ，直线 2 F A与C的一条 渐近线垂直， 垂足为A， 若三角形 12 AF F的面积为2 则 21 AFAF A2 2 B3 2 C2 5 D3 5 10我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、土、 水、火这五种物质，称为“五行” ，得到右图中外圈顺时针 方向相邻的后一物生前一物，内圈五角星线路的后一物克前 一物的相生相克理论依此理论，每次随机任取两行，重复 取 10 次， 若取出的两行为 “生” 的次数记为X， 则 E X 与 D X的值分别为 A. 9 1, 10 B. 21 3, 10 C. 5 5, 2 D. 21 7, 10 11如图，正方形网格的边长为 1，图中粗线画出的是某几 何体的三视图，则该几何体所有的表面中面积最大的值为 A8 B12 C18 D22 12函数 ( )f x、( )g x、( )h x中，( )f x满足对xR ，有 ()2 ( )f xf x ，当 , 2 2 x 时， ( )cosf xx ；函数 ,0 ( ) log,0 x x g x x x ； 函数 ( )( )( ),h xf xg x x 现 给出 ( )f x是偶函数； ( )g x在R上单调递增； ( )h x无 最大值； ( )h x有 5 个零点这四个结论，则正确结论的编号是 A B C D 二二、填空题填空题 13随机变量X满足X 2 2020,N ， 20050.2P X ，则则 P(2020X2035)= 14若 24 1 (1)(1)ax x 展开式中x的系数为8，则展开式中的常数项是 （用数字作答）. 3 15已知正项数列 n a 满足 21 nnn Saa ，则 100 S 16 如图， 半径为5的圆与边长为2x的正方形中心重合， 点E、F、 G、H都在圆周上，图中以虚线为腰、正方形的边为底的四个全 等的等腰三角形分别沿各自的底折起后得到一个EFGH重合的 正四棱锥 若当x变化时得到一个体积最大的正四棱锥， 则此时的 四棱锥的外接球半径为 三三解答题解答题 17 （本小题满分 12 分） 锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为, , a b c， 已知4b ，sin4cos() 6 aBA (1) 求A； (2) 若 4 3 3 a ,AD DC，3AEEB,求DE的长 18 （本小题满分 12 分） 如图， 矩形ABCD所在的平面与正三角形CDE所在的 平面互相垂直，F为CE的中点，连接AE、BE （1）证明：平面AFD 平面CBE； （2）若直线AF与平面CDE所成的角为 0 45，求二面角 EACD的余弦值 19 （本小题满分 12 分） 京广高速铁路(又称京广高铁)是中国运营中的高速客运专线之一，被誉为世界上 运营里程最长的高速铁路,在出行人群中越来越受欢迎现交通部门利用大数据工具 随机抽取了沿线城市出行人群中的100名旅客进行调查统计，得知在这100名旅客中 40岁（含）以下采用乘坐京广高铁出行的占 3 4 （1）请完成右面的2 2列联表： 并由列联表中所得数据判断有多大把握认 为“乘坐京广高铁出行与年龄有关”？ （2）为优化服务质量，铁路部门从这100名 旅客按年龄采用分层抽样的方法随机抽取5 人免费到广州参加座谈会，会后再进行抽奖 40岁（含）以下 40岁以上 合计 乘坐京广高铁 10 不乘坐京广高铁 合计 60 100 4 活动， 奖品共三份 由于年龄差异， 规定40岁 （含） 以下的旅客若中奖每人得 800元，40 岁以上的旅客若中奖每人得 1000元，这两个年龄段的得奖人数分别记为M与N设旅客 抽奖所得的总金额为X元，求X的分布列与数学期望 E X 参考公式参考公式: : 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ， nabcd 参考数据如右表 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，右顶点为A，过右焦点且 垂直于x轴的直线与椭圆相交于B、C两点，所得四边形 1 ABFC为菱形，且其面积为 32 3 （1）求椭圆的方程； （2）过左焦点 1 F的直线l与椭圆交于D、E两点，试求三角形 2 DEF面积的最大值 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 sin ( )1 sin x f xxex （e为自然对数的底数） （1）求 ( )f x的单调递增区间与最小值； （2）设 1 ( )sin 2 g xxx，证明：在0, 3 上， ( )( )f xg x 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知 * nN， 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 n C的参数方程为 2 xnt ynt （t为参数） ， 直线 n l的 普通方程为 40 30 9 xy n 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）当1n 时，求曲线 1 C的极坐标方程； （2）设射线 0 000 :090 ,tan3l 与 n C、 n l分别交于 n A、 n B两点，设 nn f nOAOB ，求 f n的最小值 2 0 P Kk 0.100 0.050 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 1 新会华侨中学 2020 届高三理科数学测试卷答案 一、选择题选择题 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 B B A A A A A A B B D D D D B B C C C C C C D D 1 1 【答案】选 BAB (1,1)，故选答案 B 2 2【答案】选 A 1 1+aiai i ，故选答案 A 3 3 【答案】选 A 13 3aa， 15 3aa ，由得： 2 1 2,1qa，所以 7 8a ， 故选答案 A 4 4 【答案】选 A设 EF=1，则 CF 51 2 ，AE 51 2 ，故 AB1. 取自矩形ABCD的 概率为5 2 1 1 1 1 P 51 2 ，故选答案 A 5 5【答案】选 B(1,)ab，故(1, ) (2,1)0 ，故2，选答案 B 6 6 【答案】选 D函数 ( )= sinf xxx为偶函数，又 33 ( )= 22 f，排除，应选；函数 ( )= cosg xxx为奇函数，又(1)= 1g，排除，应选，故选答案 D 7 7 【答案】选 D由 20 20 xy xy 知，可行域在两相交直线的下方故选答案 D 8 8 【答案】选 B由 102410233 1 log1023 log1022log 2 lg21 0.1 lg102410 得， =3n故选答案 B 9 9【答案】 选 C 由双曲线 22 22 100 xy C :a,b ab 的离心率为2 可得ab，又 12 F F =2c， 0 2 45F OA， 2 F A= OA=a,故 12 F F边 上高AH为 1 2 c，故面积为 11 22 22 cc=，所以2c ， 2 2 1022 5 1 AFAF故选答案 C 1010 【答案】选 C设设从五行中随机任取两行为“生”的事件为A，则 2 5 51 2 P A C ， 依题意，随机变量X服从二项分布，有X 10,0.5B ，故 5E X ， 2.5D X ，故 选答案 C 1111 【答案】选 C由三视图可知该几何体为 右图中的三棱台 111 B FEA AD ，该几何体所 有的表面中最大的面是等腰梯形 1 EFD A， 高为 1 GHB P，其面积为 1 2 2+4 23 218 2 故 选答案 C 1212 【答案】选 D错；错；正确； 如图，正确，故应选答案 D 二二、填空题填空题 130.3； 1413； 155050； 1613 5 10 13由正态分布钟形曲线的对称性可得 202020350.3PX 14由x的系数为 1 4=8 a C，可得2a 故展开式中的常数项是 2 4 1+2=13C 15由已知得： 1 1a ，又21 nnn Saa得 111 212 nnn Saan 得：21 nnn aaa 11 1 nn aa ，整理得： 11 10 nnnn aaaa ， 因为 n a是正项数列， 所以 1 1 nn aa ， 故11 1 n ann ， 所以 100 1 100 1005050 2 S . 16依题意，此时的四棱锥体积为： 222 E(FGH) 1 4(5) 3 ABCD Vxxx 4 4 5 52 3 xx 令 3 4 5 52,0, 2 g xxxx ，则 343 2010=102gxxxxx，可知当=2x时，此时 E(FGH) max ABCD V 这时，棱锥的高为 22 (5)= 5OExx ，又 2 2OB ，故 85= 13BE ,设此时的四棱锥的外接球半径为R，则由 Rt EBI中的射影定理可得： 2 2BEEOR，故 2 1313 5 = 2102 5 BE R EO ，所以此时的四 棱锥的外接球半径为13 5 10 三三、解答题解答题 17解： （1）依题意，sincos() 6 aBbA ， 由正弦定理得sinsinsincos() 6 ABBA 1 分 0Bsin0B 故故s i nco s () 6 AA 2 分 即 31 sincossin 22 AAA，即 33 sincos 22 AA，即 3 tan 3 A4 分 0A = 6 A 6 分 （2）由正弦定理 sinsin ab AB 得： 3 sinsin 2 b BA a ， ABC是锐角三角形，故 3 B ， 8 分 所以 0 90C ， 8 3 3 AB ，9 分 3AEEB，故2 3AE ,ADDC，故2AD .10 分 4 在ADE中，由余弦定理可得： 2 3 4 122 2 2 34 2 DE ，故2DE 12 分 18 【解析】 （1）证明：连接 DF. 三角形CDE为正三角形，F为CE的中点， ECDF 1 分 平面ABCD平面CDE， 平面ABCD平面CDE=CD， ADCD,AD平面CDE AD平面CDE 3 分 EC平面CDE ADEC 4 分 ADDF=D，AD平面ADF,FD平面ADF, EC平面ADF 5 分 EC平面CBE 平面AFD 平面CBE6 分 （2）取 DC 中点 O，AB 中点 G，以O为空间直角 坐标系的原点，以OE、OC、OG所在的直线为x、 y、z轴建立空间直角坐标系，如 图7 分 直线AF与平面CDE所成的角即为=AFD 0 45， 故=AD DF. 设=2CD，则 = 3AD DF，8 分 3,0,0E , 0,1,0C ， 0, 1, 3A ， 0, 1,0D ， 故 3 , 1 ,0CE ， 0, 2, 3CA , 设平面ACE的法向量为, ,mx y z，则 0 0 m CE m CA ， 即 , ,3, 1,00 , ,0, 2, 30 x y z x y z ，即 3 23 xy yz ，令1x ，则3y ，=2z， 故 1, 3,2m 10 分 平面ABCD的法向量为1,0,0n ， 设所求二面角EACD的大小为， 则= mn， 由 1,0,01, 3,2 2 cos 418 n m n m ，故二面角EACD的余弦值为 2 4 12 分 5 19.【解析】 （1）由已知可得，40岁（含）以下采用乘坐京广高铁出行的有 3 6045 4 人2 2列联表如右表：2 分 由列联表中的数据计算可得 2 K的 观测值 2 10045 30 15 10 24.24 60 40 55 45 k ，5 分 由于24.2410.828，故有99.9的 把握认为“采用乘坐京广高铁出行与年 龄有关” 6 分 （2） 采用分层抽样的方法， 从“40岁 （含） 以下”的人中抽取3人， 从“40岁以上” 的人中抽取2人，7 分 8001000XMN.由 3 0 M N ，或 2 1 M N ，或 1 2 M N 知： X的可能取值为：2400，2600，2800 8 分 30 32 3 5 1 2400 10 C C P X C ， 21 32 3 5 6 2600 10 C C P X C ， 12 32 3 5 3 2800 10 C C P X C ，故分布列如右表：11 分 数学期望 163 2400260028002640 101010 E X .12 分 20.【解析】 （1）如图，因椭圆的对称性及四边形 1 ABFC为菱形 知， 122 FFF A ，即2cac，即3ac 1 分 令x c ，得点B的纵坐标为 2 B b y a ， 分 由四边形 1 ABFC的面积为 32 3 ，故 2 132 2 23 b ac a ，即 2 8b 分 又 222 cab 分 联立得： 2 2 9 8 a b ，故椭圆方程为 22 1 98 xy 5 分 40岁（含）以下 40岁以上 合计 乘坐京广高铁 45 10 55 不乘坐京广高铁 15 30 45 合计 60 40 100 X 2400 2600 2800 P 1 10 6 10 3 10 6 （2）由（1）知： 1 1,0F ， 12 2F F ,设直线l的方程为：1xky，分 假设 1122 ,D x yE xy 由 22 1 98 1 xy xky 得： 2 2 1 1 98 kyy ，即 22 8916640kyky ，分 由 2 2 164 89640kk 得： 2 10k ，故kR. 1212 22 1664 , 8989 k yyy y kk 分 2 2 1212 22 11664 4 28989 DEF k SF Fyy kk 2 2 48 1 89 k k 令 2 11kt t ，则 2 2 2 484848 1 81819 8 DEF tt S tt t t 10 分 设 1 81f ttt t ， 由 2 1 80ft t 可 知 ： 1 81f ttt t 单 调 递 增 ， m i n 1 89 1 f t故 2 max 16 3 DEF S12 分 21.【解析】 （1） sinsin ( )coscoscos1 xx fxxexxe ，1 分 令 ( )0fx ，则 sin cos1=0 x xe ，即cos =0 x，或 sin 1=0 x e， 当 ,x 时， 2 x ，或0 x ，或 2 x ，2 分 ( )f x、( )fx 随 ,x 变化如下： ,x 2 ， 2 0 2 ， 0 0 2 ， 2 2 ， ( )fx - 0 + 0 - 0 + ( )f x 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以， ( )f x的单调递减区间为0 2 ，与 2 ， ，5 分 ( )f x 极小值= 1 ()= 2 f e ，或( )f x 极小值= ()=2 2 fe ，因为 1 e 2e， 7 故 ( )f x 最小值=2 e， 6 分 （2）要证 ( )( )f xg x 即证 sin 1 sin x xe 1 sin 2 xx， 即证 sin 1 10 2 x xe在0, 3 上成立. 7 分 【方法一】令 sin 1 ( )1 2 x g xxe ，0, 3 x sinsin 11 ( )coscos 223 xx g xx ee sinsin01 111 1110 222 x eee， 10 分 故 sin 1 ( )1 2 x g xxe 在0, 3 上单调递减， ( )g x 最大值 0 (0)1 00ge ，11 分 即 sin 1 10 2 x xe在0, 3 上成立，故在0, 3 上， ( )( )f xg x 12 分 【方法二】只需证 sin 1 1 2 x ex 在0, 3 上成立，7