2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷05（解析版）

2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷05数学试题I一填空题（共70分）1.已知集合Ax|4x20，Bx|0x3，xZ，则AB_答案：0，1解析：因为集合A(2，2)，集合B0，1，2，3，所以AB0，12. 已知复数 z (ai)(1i)(aR，i为虚数单位)在复平面内对应的点在实轴上，则a_答案：1解析：因为z(ai)(1i)a1(a1)i，由条件，得a10，所以a1.3. 设向量a(1，2)，b(2，3)若向量ab与向量c(4，7)共线，则实数_答案：2解析：因为ab(2，23)，由条件得4(23)7(2)0，所以2.4. 如图是某班8位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的平均分为_. 答案：91解析：平均分为91.5.执行如图所示的伪代码，则输出的结果的集合为_答案：2，5，10解析：当S1，I1时，输出的S值为2；当S2，I3时，输出的S值为5；当S5，I5时，输出的S值为10.6. 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为_答案：解析：因为5瓶饮料中随机取2瓶，共有10种情况，所取的2瓶中没有果汁的有3种情况，所以2瓶中至少有一瓶果汁的有7种情况，所以其概率为.7. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D为棱AA1的中点若AA14, AB2，则四棱锥BACC1D的体积为_答案：2解析：取AC的中点为O，连结BO，易得BO平面ACC1D，所以四棱锥BACC1D的体积VS四边形ACC1Dh22.8. 已知圆C：(x1)2(y3)29上存在两点P，Q关于直线xmy40对称，则m_答案：1解析：由题意可得直线xmy40过圆C的圆心(1，3)，所以13m40，即m1.9. 已知圆柱的底面半径为r，高为h，体积为2，表面积为12，则_答案：3解析：由已知条件得r2h2，2r22rh12，得3，即3.10. 将25个数排成五行五列：已知第一行成等差数列，而每一列都成等比数列，且五个公比全相等若a244，a412，a4310，则a11a55的值为_答案：11解析：设每一列的公比为q，由a244，a412，a4310，得a11，a13，a14.因为第一行成等差数列，所以2，解得q24.当q2时，a11，a13，所以a15，a55a15q444，所以a11a5511；当q2时，a11，a13，所以a15，a55a15q444，所以a11a5511.11. 已知函数f(x)若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是_答案：(0，1)解析：画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围是_答案：(1，1)解析：依题意及正弦定理，得 (点P不与F1F2共线)，即， 1， 1, acPF2ac， a2c22a21或e1.又0e1， 1e1.14. 若函数f(x)x1aln x(a0)对任意x1，x2(0，1，都有|f(x1)f(x2)|4，则实数a的取值范围是_答案：3，0)解析：易知函数f(x)在定义域内为增函数，不妨设x1x2，则f(x1)f(x2)， |f(x1)f(x2)|4f(x2)f(x1)4f(x2)f(x1)，令g(x)f(x)x1aln x，只要g(x)10在(0，1上恒成立，即ax在(0，1上恒成立 x在(0，1上单调递增， x的最大值为3， 3a0.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知(2ac)cos Bbcos C.(1) 求角B的大小；(2) 若b2，a1，求sin C的值解：(1) 由已知得2acos Bccos Bbcos C，由正弦定理，得2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos Csin(BC)(2分)又BCA，所以2sin Acos Bsin A.又A(0，)，所以sin A0，所以cos B.又B(0，)，所以B.(6分)(2) 由正弦定理，得，得sin A.(8分)又ab，所以A为锐角，则cos A.(11分)又ABC，得sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.(14分)16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中， 已知ABCD，ADDCPAa，AB2a.(1) 试在线段PB上找一点M，使CM平面PAD，并说明理由；(2) 若ADAB，BCPC，平面PAB平面ABCD.求证：PABC. (1)解：点M为线段PB的中点时，CM平面PAD.(2分)设线段AP的中点为E，连结ME，DE，CM，则MEAB，且MEAB. ABCD，DCa，AB2a， MECD，且MECD， 四边形MEDC是平行四边形， CMDE.(4分) DE平面PAD，CM平面PAD， CM平面PAD.(6分)(2) 证明：连结AC，在底面ABCD中， ADAB，ABCD，ADDCa，AB2a， ACa，BCa， AC2BC2AB2， BCAC.(10分) BCPC，AC，PC平面PAC，ACPCC， BC平面PAC. PA平面PAC， PABC.(14分)17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是椭圆G：y21的左、右顶点，P(2，t)(tR，且t0)为直线x2上的一个动点，过点P任意作一条直线l与椭圆G交于点C，D，直线PO分别与直线AC，AD交于点E，F.(1) 当直线l恰好经过椭圆G的右焦点和上顶点时，求t的值；(2) 记直线AC，AD的斜率分别为k1，k2. 若t1，求证：为定值； 求证：四边形AFBE为平行四边形 (1) 解：由题意知，上顶点C(0，1)，右焦点(，0)，所以直线l：yx1，令x2，得t1.(4分)(2) 证明：直线AC：yk1(x2)与y21联立，得 C，(6分)同理得D.由C，D，P三点共线得kCPkDP，即，化简得 4k1k2t(k1k2)(10分) t1时，4(定值)(11分) 要证四边形AFBE为平行四边形，只需证E，F的中点即点O，由题可知，直线PO的方程为yx，由 得xE，同理得xF.将t分别代入得xE，xF，所以xExF0，yEyF(xExF)0，所以点O是EF的中点，即四边形AFBE为平行四边形(14分)18. (本小题满分16分)如图，直立在地面上的两根钢管AB和CD，AB10 m，CD3 m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固(1) 如图1设两根钢管相距1 m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，形成一个直线型的加固(图中虚线所示)，则BE多长时所用钢丝绳最短？(2) 如图2设两根钢管相距3 m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，再将钢丝绳依次拉直固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的加固(图中虚线所示)，则BE多长时所用钢丝绳最短？ 解：(1) 设钢丝绳长为y m，CFD，则y，其中00，tan 07.(3分)y，易知y在(0，0)上是增函数，且当tan 时，y0.故y在(0，0)上先减后增，所以当tan 时，即BE4时，有ymin8.(6分)(2) 设钢丝绳长为y m，CFD，则y(1cos sin )，其中00，tan 0.(10分)y()(1sin cos )(cos sin)(12分)令y0得sin cos ，当时，即BE6时，有ymin6(2)(14分)答：(1) BE4 m时，钢丝绳最短；(2) BE6 m时，钢丝绳最短(16分)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)2ln xx2ax，aR.(1) 若函数yf(x)在(0，)上单调递增，求实数a的取值范围；(2) 若ae，解不等式：f(x)4时，函数yf(x)只有一个零点(1) 解：函数的定义域为(0，)，f(x)2ln xx2ax，f(x)2xa.由题意，对任意的x0，都有f(x)2xa0，只要(2x)mina.由基本不等式，得2x24，当且仅当x1时取等号，所以a4，即实数a的取值范围是(，4(4分)(2) 解：当ae时，f(x)2ln xx2ex，f(x)2xe0，所以f(x)在(0，)上单调递增因为f(e)2ln ee2ee2，所以f(x)2f(x)f(e)，所以0xe，故不等式f(x)4时，因为a2160，所以g(x)2x2ax2一定有两个零点设两零点分别为x1，x2(x1x2)，因为x1x21，所以0x11x2，则f(x)在区间(0，x1)和(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减(12分)因为g(x1)2xax120，所以f(x1)2ln x1xax12ln x1x2.因为0x11，所以f(x1)2ln x1x22ln 1x20，所以f(x2)f(x1)0，所以f(x)在(0，)上只有一个零点(16分)20. (本小题满分16分)已知正整数，为常数，且1，无穷数列an的各项均为正整数，其前n项和为Sn，且Snan，nN*，记数列an中任意不同两项的和构成的集合为A.(1) 求证：数列an为等比数列，并求的值；(2) 若2 015A，求的值；(3) 已知n1，求集合Bnx|32n1x0，所以，所以数列an是以为公比的等比数列(2分)因为an为无穷数列且各项为正整数，所以1为正整数，为正整数，所以2.(4分)(2) 解：由(1)知Sn2an，则a1，故an2n1，所以A(2i12j1)，1i0，所以12ji为不小于3的奇数因为2i1为偶数时，上式不成立，所以2i11，(12ji)51331.而12ji13, 31, 531, 1331, 51331均不满足，所以12ji5, 513；(8分)当12ji5时，ji2，2i1403，则i1，j3，403满足；当12ji51365时，ji6，2i131，则i1，j7，31满足综上，31或403.(10分)(注：少一解扣1分)(3) 解：因为Bnx|32n1x32n，xA，即32n1(2i12j1)32n，ij，i，jN*，集合Bn中元素等价于满足32n2i2j32n1的不同解(i，j)，in2，则2i2j2i2n32i42n132n1，矛盾；若j0，所以32n212n2222n22n2n22n12n232n1，即i1，2，n时，共有n个不同的解(i，j)，n1，故共有n个不同的xBn.(16分)数学(附加题)21【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A，其中aR.若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P(0，1)，求矩阵A的两个特征值解：，所以a11，即a2；(4分)令特征多项式(1)220，因此1.(10分)B选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知点P是曲线C：(为参数，2)上一点，O为原点若直线OP的倾斜角为，求点P的直角坐标解：由题意得曲线C的普通方程为1，(4分)因为2sin 0y0，直线OP的方程为yx.联立得(舍)或所以点P的坐标为.(10分)C选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知实数x，y，z满足xyz2，求2x23y2z2的最小值解：由柯西不等式可知()2()212(2x23y2z2)，所以2x23y2z2，当且仅当x，y，z时取等号(10分)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）某小组共10人，利用暑期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会(1) 记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A，求事件A发生的概率；(2) 设X为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望解：(1) 由已知有P(A)，所以事件A发生的概率为.(3分)(2) 随机变量X的所有可能取值为0，1，2.(4分)P(X0)，P(X1)，P(X2)，(6分)所以随机变量X的分布列为X012P(8分)数学期望E(X)1.(10分)23（本小题满分10分）(1) 设(1xx2)3a0a1xa2x2a6x6，求a2，a3；(2) 设x(252)20(252)17，求