2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标准方程练习 新人教A版选修1-1

2.3.1抛物线及其标准方程课时跟踪检测一、选择题1(2019棠湖月考)抛物线yx2的准线方程是()ay bycy dy解析：x2y中，p，且开口向上，故选b.答案：b2平面内到定点m(2,2)与到定直线xy40的距离相等的点的轨迹是()a抛物线 b椭圆c双曲线 d直线解析：点m在直线xy40上，动点的轨迹是过m点且与直线xy40垂直的直线，故选d.答案：d3已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为()a. b1c2 d4解析：y22px的准线方程为x，x2y26x70可化为(x3)2y216，由题意得34，p2.答案：c4(2019唐山月考)已知点a在抛物线y22px(p0)上，且a为第一象限的点，过a作y轴的垂线，垂足为b，f为该抛物线的焦点，|af|，则直线bf的斜率为()a bc1 d2解析：设a(x，y)，由抛物线y22px，可知f，|af|，x，x，y22pp2.a在第一象限，yp，b，kbf，故选b.答案：b5若抛物线的焦点为椭圆1的下焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为()ax24y by24xcx24y dy24x解析：由椭圆1，知a29，b24，c，椭圆的下焦点为(0，)，抛物线的焦点f(0，)，故抛物线方程为x24y.答案：a6如图，南北方向的公路l，a地在公路正东2 km处，b地在a北偏东60方向2 km处，河流沿岸曲线pq上任意一点到公路l和到a地距离相等，现要在曲线pq上某处建一座码头，向a，b两地运货物，经测算，从m到a，b修建公路的费用都为a万元/km，那么，修建这两条公路的总费用最低是()a(2)a万元 b(21)a万元c5a万元 d6a万元解析：由题意知，曲线pq是以a为焦点，l为准线的抛物线，要使m到a，b两地的总费用最低，只要求出b到l的距离，由|ab|2，mab60，得|bm|2sin 603，从而得b到l的距离为325(km)，因此最低费用是5a万元故选c.答案：c二、填空题7焦点为f的抛物线y22px(p0)上一点m在准线上的射影是n，若|mn|p，则|fn|_.解析：如图，由抛物线的定义及题意知，|fm|mn|p，mfmn，在rtmnf中，|fn|p.答案：p8动点p到点f(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则p的轨迹方程是_解析：由抛物线的定义知，动点p的轨迹是以f(2,0)为焦点，准线为x2的抛物线，其方程为y28x.答案：y28x9已知抛物线y22px(p0)上有一点m(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x21的左顶点为a，若双曲线一条渐近线与直线am垂直，则实数a_.解析：根据抛物线的焦半径公式得15，p8，焦点f(4,0)，|mf|5，解得m4.取m(1,4)，则am的斜率为2，由已知得21，得a.答案：三、解答题10抛物线的焦点f在x轴上，点a(m，3)在抛物线上，且|af|5，求抛物线的标准方程解：当焦点在x轴的正半轴时，设抛物线的方程为y22px(p0)，a(m，3)在抛物线上，92pm，m.又|af|5m，5，解得p1或p9.抛物线的标准方程为y22x或y218x.当焦点在x轴的负半轴时，同理，可求得抛物线方程为y22x或y218x.综上，所求抛物线方程为y22x或y218x.11探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60 cm，灯深为40 cm，求抛物线的标准方程及焦点的位置解：在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，x轴垂直于灯口直径，如图所示设抛物线方程为y22px(p0)，则a(40,30)，代入方程得3022p40，p.所求抛物线的标准方程为y2x，焦点坐标为.12(2019全国卷)已知点a，b关于坐标原点o对称，|ab|4，m过点a，b且与直线x20相切(1)若a在直线xy0上，求m的半径；(2)是否存在定点p，使得当a运动时，|ma|mp|为定值？并说明理由解：(1)因为m过点a，b，所以圆心m在ab的垂直平分线上由已知a在直线xy0上，且a，b关于坐标原点o对称，所以m在直线yx上，故可设m(a，a)因为m与直线x20相切，所以m的半径为r|a2|.由已知得|ao|2，又moao，故在rtoma中，可得2a24(a2)2r2，解得a0或a4.故m的半径r2或r6.(2)存在定点p(1,0)，使得|ma|mp|为定值理由如下：设m(x，y)，由已知得m的半径为r|x2|，|ao|2.由于moao，故可得x2y24(x2)2，化简得m的轨迹方程为y24x.因为曲线c：y24x是以点p(1,0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以|mp|x1.因为|ma|mp|r|mp|