2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程阶段性测试题二 新人教A版选修1-1

第二章圆锥曲线与方程(时间：120分钟满分：150分)第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2019鸡东二中月考)双曲线2x2y28的实轴长是()a2 b2c4 d4解析：双曲线的方程可化为1，a2，实轴长为4，故选c.答案：c2(2019保定月考)已知双曲线c：1(a0，b0)的焦距为4，a(2,3)为双曲线c上一点，则双曲线c的渐近线方程为()ayx byxcyx dyx解析：由题可知，c2，双曲线的焦点为(2,0)，(2,0)，a(2,3)在双曲线上，2a532.a1，b，双曲线c的渐近线方程为yx，故选d.答案：d3(2019海口月考)椭圆c：1与双曲线e：1(a0，b0)有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为()a. bc. d解析：椭圆1的焦点为(1,0)，离心率为，双曲线的离心率为2，c1，a，b，渐近线的斜率为k，渐近线的倾斜角的正弦值为，故选d.答案：d4已知抛物线y28x的准线与双曲线1(a0，b0)相交于a，b两点，双曲线的一条渐近线方程是y2x，点f是抛物线的焦点，且fab是直角三角形，则双曲线的标准方程是()a.1 bx21c.1 dy21解析：y28x的焦点为(2,0)，准线方程为x2，fab是直角三角形，且由题意得，|af|bf|，由题意得|ab|8，a的坐标为(2,4)1，双曲线的渐近线方程为y2x，2，b2a，由得a22，b216，双曲线的标准方程为1，故选c.答案：c5(2019武汉四校期中)如图，一圆形纸片的圆心为o，f是圆内一定点，m是圆周上一动点，把纸片折叠使点m与f重合，然后抹平纸片，折痕为cd，设cd与om交于点p，则点p的轨迹是()a椭圆 b双曲线c抛物线 d圆解析：由题可知cd为mf的垂直平分线，连接pf，则|pm|pf|，|po|pf|po|pm|om|r，又显然|mo|of|，点p的轨迹是以o，f为焦点的椭圆，故选a.答案：a6若抛物线y2x上两点a(x1，y1)，b(x2，y2)关于直线yxb对称，且y1y21，则实数b的值为()a3 b3c2 d2解析：由题可知ab与直线yxb垂直，且ab的中点在yxb上，kab1.设ab的中点为(x0，y0)，则yyx1x2，k1，y0，x0.又ab的中点在yxb上，即在yxb上，b，b2，故选d.答案：d7(2019阜阳一中月考)若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()a. bc. d解析：由消去y，得(1k2)x24kx100，直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同两点，设两点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则由题意得解得k0)的焦点f且斜率为1的直线交抛物线于a，b两点，|af|bf|8，则p的值为()a4 bc1 d2解析：设直线ab的方程为yx，由得x23px0.x1x23p，x1x2.|af|bf|x1x2(x1x2)2p28，p24，p2或p2(舍去)故选d.答案：d10直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()a. bc. d解析：解法一：不妨设直线l过椭圆1(ab0)的上顶点(0，b)和左焦点(c,0)(b0，c0)，则直线l的方程为1，即bxcybc0，由已知得2b，解得b23c2.又b2a2c2，a24c2，e2.又0eb0)的右焦点为f(3,0)，过点f的直线交e于a，b两点，若ab的中点坐标为(1，1)，则e的方程为()a.1 b1c.1 d1解析：由题意可得，kab，故直线ab的方程为y(x3)由消去y并整理，得(a24b2)x26a2x9a24a2b20.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有1，a22b2.又a2b2c2b29，b29，a218.故e的方程为1.答案：d12若抛物线y28x的焦点为f，准线为l，则经过点f，m(3,3)且与l相切的圆共有()a0个 b1个c2个 d4个解析：连接fm，作它的中垂线，则要求的圆心就在中垂线上，经过点f，m且与l相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点f的距离相等，圆心在抛物线上直线与抛物线交于两点， 这两点可以作为圆心，这样的圆有2个，故选c.答案：c第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13双曲线的渐近线方程为x2y0，焦距为10，则双曲线的方程为_解析：设双曲线方程为x24y2(0)，1，|25，|20，20.双曲线的方程为1或1.答案：1或114椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，过f2作x轴的垂线与椭圆的一个交点为p，若f1pf245，则椭圆的离心率e_.解析：由题意得pf1f2为直角三角形，|pf2|，f1pf245，|pf2|f1f2|，2c，a2c22ac，e22e10，解得e1.又0e1，e1.答案：115如图，在平面直角坐标系xoy中，f是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于b，c两点，且bfc90，则该椭圆的离心率是_解析：由题意得b，c，f(c,0)，又bfc90，0，即c2a2b20.又b2a2c2，ca，e.答案：16(2019福州期末)已知双曲线c：1(a0，b0)的左焦点为f，过原点o的直线与双曲线c相交于a，b两点，连接bf，若|oa|of|5，|bf|8，则双曲线c的离心率为_解析：设双曲线的右焦点为f1，连接af1，bf1，a，b两点关于原点o对称，且都在双曲线上，又|oa|of|5，|ab|f1f|10，且四边形afbf1为矩形，|bf|2|bf1|2|ff1|2，|bf1|6，2a|bf|bf1|862，a1，又c5，e5.答案：5三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)已知双曲线与椭圆1共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线的方程解：椭圆1的焦点为(0，4)，e，双曲线的焦点为(0，4)设双曲线的方程为1(a0，b0)解得双曲线的方程为1.18(12分)已知抛物线c：y24x与直线y2x4交于a，b两点(1)求弦ab的长度；(2)若点p在抛物线c上，且abp的面积为12，求点p的坐标解：(1)由得x25x40，x11，x24，|ab| |x1x2|14|3.(2)设p(x0，y0)，y4x0，p到直线ab的距离d，又sabp|ab|d12，3d12，d，即8，y048或y048，或点p的坐标为(4，4)或(9,6)19(12分)(2019蕉岭月考)已知椭圆c过点a，两个焦点分别为(1,0)，(1,0)(1)求椭圆c的方程；(2)已知e，f是椭圆c上的两个动点，如果直线ae的斜率与af的斜率互为相反数，求证：直线ef的斜率为定值，并求出这个定值解：(1)由题意得，c1，又知椭圆c过点a，可设椭圆方程为1，解得b23，b2(舍去)，所以椭圆c的方程为1.(2)设直线ae的方程为yk(x1)，联立方程消y得(34k2)x24k(32k)x42120，设e(xe，ye)，f(xf，yf)，因为点a在椭圆上，所以xe，yekxek，又直线af的斜率与ae的斜率互为相反数，在上式中以k代k，可得xf，yfkxfk，所以直线ef的斜率kef，即直线ef的斜率为定值，其值为.20(12分)(2019永泰二中期末)已知抛物线c：y22x，直线l：yxb与抛物线c交于a，b两点，o为坐标原点(1)当直线l过抛物线c的焦点f时，求|ab|；(2)是否存在直线l使得直线oaob？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由题意得f，把f代入l得，l：y，由消去y得x29x0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x29，|ab|x1x2p9110.(2)假设存在使oaob，x1x2y1y20，由消去x，得y24y4b0，由1616b0，得b1，又y1y24，y1y24b，x1x2y1y24b24b0，解得b0(舍)或b1，l：yx1，即x2y20.21(12分)已知动点m到定点f(1,0)和定直线x4的距离之比为，设动点m的轨迹为曲线c.(1)求曲线c的方程；(2)设p(4,0)，过点f作斜率不为0的直线l与曲线c交于两点a，b，设直线pa，pb的斜率分别是k1，k2，求k1k2的值解：(1)设m(x，y)，则依题意有，整理得1，即为曲线c的方程(2)设直线l：xty1(t0)，则a(ty11，y1)，b(ty21，y2)，由得，(3t24)y26ty90.y1y2，y1y2，k1k20，即k1k20.22(12分)如图，动圆c1：x2y2t2(1t3)，与椭圆c2：y21相交于a，b，c，d四点，点a1，a2分别为c2的左，右顶点(1)当t为何值时，矩形abcd的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线aa1与直线a2b的交点m的轨迹方程解：(1)设a(x0，y0)，则矩形abcd的面积s4|x0|y0|.由y1得，