2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示练习 新人教A版选修2-1

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时跟踪检测一、选择题1下列命题中真命题的个数是()空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示；空间中的任何一个向量都可用基向量a，b，c表示；空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示；平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示a4个 b3个c2个 d1个解析：正确，不正确答案：c2在三棱柱abca1b1c1中，d是平面bb1c1c的中心，且a，b，c，则()a.abc babcc.abc dabc解析：()()c(bca)abc.答案：d3已知正方体oabco1a1b1c1的棱长为1，若以，为基底，则向量1的坐标是()a(1,1,1) b(1,0,1)c(1，1，1) d(1,0,1)解析：如图所示，易知，向量1的坐标为(1,1,1)答案：a4如图，已知空间四边形oabc，其对角线为ob，ac，m，n分别是oa，bc的中点，点g在线段mn上，且mg2gn，现用基向量，表示向量，设xyz，则x，y，z的值分别为()a.， b，c.， d，解析：()().又xyz，x，y，z.答案：d5已知a，b，c是空间向量的一个基底，则可以与向量pab，qab构成基底的向量是()aa bbca2b da2c解析：解法一：a(pq)，b(pq)，a2bpq，a、b、c中的向量都不能与向量pab，qab构成基底解法二：a、b、c都是与a，b共面的向量，p、q也与a、b共面，故不能构成空间中的基底答案：d6已知o为空间任一点，a，b，c，d四点满足任意三点不共线，但四点共面，且2x3y4z，则2x3y4z的值为()a1 b1c2 d2解析：由题意知，a，b，c，d四点共面的充要条件是：对空间任一点o，存在实数x1，y1，z1，使得x1y1z1，且x1y1z11，因此可知2x3y4z1.答案：b二、填空题7若a，b，c构成空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xaybzc0，则x，y，z应满足的条件是_解析：a，b，c构成空间的一个基底，a，b，c是空间不共面的非零向量由xaybzc0知，xyz0.答案：xyz08在空间四边形abcd中，a2c，5a6b8c，对角线ac，bd的中点分别为e，f，则_.解析：，.2，又e为ac的中点，f为bd的中点，0，0，26a6b10c，3a3b5c.答案：3a3b5c9一个向量p在基底a，b，c下的坐标为(1,2,3)，则p在ab，ab，c下的坐标为_解析：设px(ab)y(ab)z c(xy)a(xy)bzc.由题意，得解得答案：三、解答题10在直三棱柱aboa1b1o1中，aob，ao4，bo2，aa14，d为a1b1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求，的坐标解：设e1，e2，e3是单位正交基底，则4e1，2e2，4e3，().2e1e24e3，(2，1，4)().4e12e24e3，(4,2，4)11(2018山西太原高二期末)如图，三棱锥oabc各棱的棱长都是1，点d是棱ab的中点，点e在棱oc上，且oeoc，记a，b，c.(1)用向量a，b，c表示；(2)求|的最小值解：(1)()abc.(2)因为三棱锥棱长都为1，故a2b2c21，abacbc，所以|2abc22abacbc(1)2，故当时，|取得最小值，且|min.12已知e1，e2，e3为空间的一个基底，且2e1e23e3，e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3.(1)判断p，a，b，c四点是否共面；(2)能否以，作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量.解：(1)假设四点共面，则存在实数x，y，z使xyz，且xyz1，即2e1e23e3x(e12e2e3)y(3e1e22e3)z(e1e2e3)，比较对应项的系数，得到关于x，y，z的方程组解得与xyz1矛盾，故四点不共面(2)若向量，共面，则存在实数m，n，使mn，同(1)可证，这不可能，因此，可以作为空间的一个基底令a，b，c，由e2e2e3a，3e1e22e3b，e1e2e3c，联立得到方程组，从中解得所以17530.13(2019山西大同高二检测)已知e，f，g，h分别是空间四边形abcd的边ab，bc，cd，da的中点(1)求证：e，f，g，h四点共面；(2)求证：bd平面efgh；(3)设m是eg和fh的交点，求证：对空间任一点o，有 ()证明：(1)如图，连接bg，则().由共面向量定理的推论知e，f，g，h四点共面(2)因为()，所以ehbd.又因为eh平面efgh，bd平面efgh，