MATLAB计算四类数学物理方程的举例求解

数学物理建模与计算机辅助设计,第5章四类数学物理方程的求解举例,本章内容,5.1求解本征值型数学物理方程5.2求解稳定型数学物理方程5.3求解热传导型数学物理方程5.4求解波动型数学物理方程,本征值问题简介,用分离变量法解数学物理方程的时候，最后都会归结到求解本征值问题上去。在利用本征函数系展开法求解数学物理方程的时候，需要对所用的本征函数系有较好的理解在本部分中讲介绍一维和二维本征值问题和相应的本征函数系,5.1求解本征值型的数学物理方程,一维本征值问题,一维波动方程令则分离变量可得,5.1求解本征值型的数学物理方程,一维本征值问题,一维热传导方程令分离变量可得,5.1求解本征值型的数学物理方程,一维本征值问题,二维拉普拉斯方程令分离变量可得,5.1求解本征值型的数学物理方程,一维本征值问题,特点：分离变量后的方程都是一元一阶或二阶常微分方程一阶常微分方程表明变量是衰减的，具有阻尼，即解中具有e的负指数因子二阶常微分方程表明变量是振荡的，将具有一次或多次倍频的正弦或余弦的形式，即为本征函数。这儿的频率既可以指空间频率，也可指时间频率。下面讲解二阶常微分方程获得的本征函数系,5.1求解本征值型的数学物理方程,一维本征值问题的本征函数系,本征函数系求解本征值问题注意到这里的两个边界上都是第一类齐次边界条件。其本征值和本征函数分别是,5.1求解本征值型的数学物理方程,一维本征值问题的本征函数系,本征函数系求解本征值问题注意到这里的两个边界上都是第二类齐次边界条件。其本征值和本征函数分别是,5.1求解本征值型的数学物理方程,一维本征值问题的本征函数系,本征函数系求解本征值问题注意到这里的两个边界中左边界是第一类边界条件，右边界上是第二类齐次边界条件。其本征值和本征函数分别是,5.1求解本征值型的数学物理方程,一维本征值问题的本征函数系,本征函数系求解本征值问题注意到这里的两个边界中左边界是第二类边界条件，右边界上是第一类齐次边界条件。其本征值和本征函数分别是,5.1求解本征值型的数学物理方程,本征函数系图像,x=0:0.001:1;(p65)A=sin(pi*1:4*x);B=cos(pi*(0:3)*x);C=sin(pi*(1/2:7/2)*x);D=cos(pi*(1/2:7/2)*x);subplot(4,1,1);plot(x,A);subplot(4,1,2);plot(x,B);subplot(4,1,3);plot(x,C);subplot(4,1,4);plot(x,D);,采用了矢量化技术,5.1求解本征值型的数学物理方程,本征函数系运动图像(振动问题),functionzb%存储于文件zb.m中(p65)t=0:0.005:2.0;x=0:0.001:1;ww1=wfun(1,0);ww2=wfun(2,0);ww3=wfun(3,0);ww4=wfun(4,0);ymax1=max(abs(ww1);figuresubplot(2,1,1);h1=plot(x,ww1,r,linewidth,5);holdon;h3=plot(x,ww3,g,linewidth,5);axis(01ymax1ymax1);ymax4=max(abs(ww4);subplot(2,1,2);h2=plot(x,ww2,r,linewidth,5);holdon;h4=plot(x,ww4,g,linewidth,5);axis(01ymax4ymax4);,5.1求解本征值型的数学物理方程,本征函数系运动图像(振动问题),forn=2:length(t)ww1=wfun(1,t(n);set(h1,ydata,ww1);ww3=wfun(3,t(n);set(h3,ydata,ww3);drawnowww2=wfun(2,t(n);set(h2,ydata,ww2);ww4=wfun(4,t(n);set(h4,ydata,ww4);drawnowendfunctionwtx=wfun(k,t)%调用函数存储于wfun.m中x=0:0.001:1;a=1;wtx=cos(k*pi*a*t).*sin(k*pi*x);,5.1求解本征值型的数学物理方程,本征函数系运动图像(热传导问题),functionsfb%存放于sfb.m中(p67)x=0:0.01:1;t=1e-5:0.0001:0.005;ww1=sfbf(1,t(1);ww2=sfbf(2,t(1);ww3=sfbf(3,t(1);ww4=sfbf(4,t(1);ymax3=max(abs(ww3);figuresubplot(2,1,1);h1=plot(x,ww1,r,linewidth,3);holdon;h3=plot(x,ww3,g,linewidth,3);axis(01ymax3ymax3);ymax4=max(abs(ww4);subplot(2,1,2);h2=plot(x,ww2,r,linewidth,3);holdon;h4=plot(x,ww4,g,linewidth,3);axis(01ymax4ymax4);,5.1求解本征值型的数学物理方程,本征函数系运动图像(热传导问题),forn=2:length(t)ww1=sfbf(1,t(n);set(h1,ydata,ww1);ww3=sfbf(3,t(n);set(h3,ydata,ww3);drawnowww2=sfbf(2,t(n);set(h2,ydata,ww2);ww4=sfbf(4,t(n);set(h4,ydata,ww4);drawnowendfunctioncht=sfbf(k,t)%调用函数存储于wfun.m中x=0:0.01:1;cht=sin(k*pi*x).*exp(-k2*pi2*22*t);,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：矩形区域情况,矩形区域的本征模与本征振动边长为b和c的的四周固定的矩形本征模的本征值问题为采用分离变量法可以得到本征模和本征值为,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：矩形区域情况,下面绘制前4个本征函数的图形(p70_1.m)a=2;b=1;m,n=meshgrid(1:3);L=(m*pi./b).2+(n*pi./b).2);x=0:0.01:a;y=0:0.01:b;X,Y=meshgrid(x,y);w11=sin(pi*Y./b).*sin(pi*X./a);w12=sin(2*pi*Y./b).*sin(pi*X./a);w21=sin(pi*Y./b).*sin(2*pi*X./a);w22=sin(pi*Y./b).*sin(3*pi*X./a);figuresubplot(2,2,1);mesh(X,Y,w11);subplot(2,2,2);mesh(X,Y,w12);subplot(2,2,3);mesh(X,Y,w21);subplot(2,2,4);mesh(X,Y,w22);,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：矩形区域情况,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：矩形区域情况,下面绘制前4个本征函数的运动图形：波动图形波动问题中的时间因子的形式为这里的不妨取其中的正弦项加以展示,functionp71_1%p71_1.mb=2;c=1;x=0:0.02:b;y=0:0.02:c;X,Y=meshgrid(x,y);Z=zeros(51,51);p=moviein(2*3*60);form=1:2forn=1:3fori=1:60a=sqrt(m*pi/c).2+(n*pi/b).2);Z=sin(a*i*.02*pi)*sin(m*pi*Y./c).*sin(n*pi*X./b);mesh(X,Y,Z)t=本征振动：,m=,int2str(m),n=,int2str(n);title(t);axis(0b0c-11);p(:,(m-1)*3+(n-1)*60+i)=getframe;endendendMOVIE2AVI(p,D:A.avi),5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：矩形区域情况,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：矩形区域情况,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：矩形区域情况,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：矩形区域情况,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：矩形区域情况,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：矩形区域情况,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：圆形区域情况,半径为周边固定的圆形膜的本征问题是本征模是其中下面讨论第一类其次边界条件下的本征值情形,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：圆形区域情况,m=0，n=0,1,2,3的贝塞尔函数的前4个本征函数图形r=0:0.01:1;%(p71_1.m)y=inline(besselj(0,x),x);x(1)=fzero(y,1);plot(r,y(x(1)*r)holdonfork=1:3x(k+1)=fzero(y,x(k)+3);plot(r,y(x(k+1)*r);end,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：圆形区域情况,圆域内m=0，n=0,1,2,34个本征模图形(p75_1.m)XX,YY=meshgrid(-1:0.01:1);Q,R=cart2pol(XX,YY);R(find(R1)=NaN;y=inline(besselj(0,x),x);x(1)=fzero(y,3);meshc(XX,YY,y(x(1)*R)fork=1:3x(k+1)=fzero(y,x(k)+2);figuremeshc(XX,YY,y(x(k+1)*R);end,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：圆形区域情况,圆域内m=1，n=0,1,2,3的4个本征模图形(p76_1.m)XX,YY=meshgrid(-1:0.01:1);Q,R=cart2pol(XX,YY);R(find(R1)=NaN;y=inline(besselj(1,x),x);x(1)=fzero(y,3);meshc(XX,YY,y(x(1)*R).*sin(Q)fork=1:3x(k+1)=fzero(y,x(k)+2);figuremeshc(XX,YY,y(x(k+1)*R).*sin(Q);end,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：圆形区域情况,圆域内m=2，n=0,1,2,3的4个本征模图形XX,YY=meshgrid(-1:0.01:1);Q,R=cart2pol(XX,YY);R(find(R1)=NaN;y=inline(besselj(2,x),x);x(1)=fzero(y,4);meshc(XX,YY,y(x(1)*R).*sin(2*Q)fork=1:3x(k+1)=fzero(y,x(k)+2);figuremeshc(XX,YY,y(x(k+1)*R).*sin(2*Q);end,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：圆形区域情况,用PDE工具箱求解步骤命令窗口中键入pdetool进入PDE工具箱界面以原点为中心绘一个半径为1的圆选择方程类型为Eigenmodes，参数c=1,a=0,d=1边界条件设置为固定（默认）细分网格设置求解参数中本征值搜索范围为0100打开作图对话框选择需要作图的类型和本征值，并作图,二维本征值问题：球函数的图形,实数形式的球函数其中是连带勒让德函数。复数形式的球函数,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：球函数的图形,球函数的图形球函数是在球面上的二元函数，它是从球函数方程的本征问题中得到的本征函数系。球函数的图形是空间图形，为了画出其图形，必须指定球的半径对复数形式的球函数，必须对其实部和虚部分别作图可以用角变量作为平面上的x、y轴的变量画出球函数图,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：球函数的图形,l=3;m=2;R=4;A=3;delta=pi/40;%(p81_1.m)theta0=0:delta:pi;phi=0:2*delta:2*pi;phi,theta=meshgrid(phi,theta0);Ymn=legendre(l,cos(theta0);Ymn=Ymn(m+1,:);L=size(theta,1);yy=repmat(Ymn,1,L);Reyy=yy.*cos(m*phi);Imyy=yy.*sin(m*phi);ReM=max(max(abs(Reyy);Rerho=R+A*Reyy/ReM;Rer=Rerho.*sin(theta);Rex=Rer.*cos(phi);Rex=Rer.*sin(phi);Rez=Rerho.*cos(theta);,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：球函数的图形,subplot(1,2,1);surf(Rex,Rey,Rez);light;lightingphong;axis(square);axis(-55-55-55);axis(off);view(40,30)title(实球谐函数);ImM=max(max(abs(Imyy);Imrho=R+A*Imyy/(ImM+eps*(ImM=0);Imr=Imrho.*sin(theta);Imx=Imr.*cos(phi);Imx=Imr.*sin(phi);Imz=Imrho.*cos(theta);subplot(1,2,2);surf(Imx,Imy,Imz);light;lightingphong;axis(square);axis(-55-55-55);axis(off);view(40,30)title(虚球谐函数);,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：球函数的图形,figuresubplot(3,1,1);surf(theta,phi,Reyy);xlabel(theta);ylabel(phi);subplot(3,1,2);surf(theta,phi,Imyy);xlabel(theta);ylabel(phi);subplot(3,1,3);surf(theta,phi,(Reyy.2+Imyy.2);xlabel(theta);ylabel(phi);,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：球函数的图形,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：球函数的图形,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：球函数的图形,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：球函数的图形,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：球函数的图形,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：拉普拉斯方程,矩形区域的拉普拉斯方程求解方法：利用PDE工具箱,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：拉普拉斯方程,采用Heattransfer类型的时候，此类方程属于椭圆型方程采用Genericscalar类型的时候，此类方程为,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维本征值问题：拉普拉斯方程,5.1求解本征值型的数学物理方程,二维拉普拉斯方程,问题1：阳光照射的圆柱的温度分布半径为a，表面熏黑的均匀长圆柱，在温度为零的空气中受阳光的照射，阳光垂直于柱轴，热流强度为q，试求柱内稳定的温度分布定解问题是其中,5.2求解稳定型的数学物理方程,二维拉普拉斯方程,问题的解析解为a=1;H=1.5;k=0.3;h=0.2;q=5;N=20;%(p91_1.m)p=0:0.05:1;theta=0:pi/30:2*pi;Th,P=meshgrid(theta,p);X,Y=pol2cart(Th,P);z=0;u0=q/H/pi+1/(k+H*a)*q/2.*P.*sin(Th);forn=1:Nzz=2*q/pi/a(2*n-1)/(2*n*k+a*H)/(1-4*n2)*P.(2*n).*cos(2*n*Th);z=z+zz;end,5.2求解稳定型的数学物理方程,二维拉普拉斯方程,u=u0+z;figure(1);surfc(X,Y,u);figure(2);contour3(X,Y,u,20);,5.2求解稳定型的数学物理方程,二维拉普拉斯方程,可用PDE工具箱求解,5.2求解稳定型的数学物理方程,二维拉普拉斯方程,问题2：云与大地间的电缆带电的云与大地间存在一个均匀的电场，平行于大地的电缆相当于无限长导体。在平行于电场的方向作垂直于电缆的截面，研究截面上的电势分布。,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,问题1：静电场中的介质球在电场强度为E的静电场中放置均匀的介质球，球的半径是r0，介电常数为，求介质球内外的电场强度。,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,问题2：带有电荷的细圆环的电场均匀细圆环，半径为a，环上带有40q的单位电荷，求空间的电势分布该问题可用三种计算机方法求解(1)对解析解可视化(2)用PDE工具箱求解(3)直接用数值计算方法计算,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(1)解析解的可视化(p94_1.m),5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(2)用PDE工具箱求解(重点讲解),5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(3)用数值积分法求解(p97_1.m)(重点讲解),5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,问题3：均匀圆盘的引力势质量均匀的圆盘半径为a，质量为M，求它在空间的引力势定解问题是,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(1)解析解的MATLAB可视化(p100_1.m)问题的解析解是：,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(2)用PDE工具箱求解,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,问题4：环形电流磁感应强度圆线圈的半径为a，通有电流I，求空间任意一点的磁感应强度B(1)用连带勒让德函数表示解析解，再用MATLAB可视化(2)用椭圆函数表示解析解，再用MATLAB可视化(3)用数值积分方法可视化,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(1)用连带勒让德函数表示解析解(p104_1.m)解析解表示为,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(2)利用椭圆函数表示解析表达式利用毕奥萨伐尔定律可以得到环形电流在空间的磁感应强度的解析表达式,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,其中E和K是椭圆函数(p107_1.m)查找p109的程序在MATLAB中计算椭圆函数的指令为ellipke,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(3)利用数值积分求磁感应强度(p112_1.m),5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,利用毕奥萨伐尔定律可以直接给出表达式取x=0，画出y-z平面上的磁感应强度分布。可得到,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,问题5：柱体内温度场分布之一(Jv的应用)半径为b高度为h的圆柱体，其侧面绝热，下底温度保持零度，上底温度为，求圆柱体内稳定的温度分布。这个定解问题是此问题的解是,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,取b=1.5，u0=1，h=0.5，需计算贝塞尔函数的零点(1)用MATLAB对解析解可视化(p115_1.m),5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(2)用PDE工具箱求解,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,问题6：柱体内温度场分布之二(Jv的应用)均匀圆柱，半径为，高L，下底面和侧面保持零度，上底面上温度分布为，求解柱内稳定的温度分布。定解问题是问题的解是,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(1)用MATLAB对解析解可视化(p117_1.m),5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(2)用PDE工具箱求解,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,问题7：柱体内温度场分布之三(I0的应用)匀质圆柱，半径为，高L，柱侧有均匀分布的热流进入，其强度为q0。圆柱上下底面保持为恒温度u0。求解柱内稳定的温度分布。令，则定解条件为解为,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(1)用MATLAB对数值解可视化(p120_1.m),5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(2)用PDE工具箱求解,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,问题8：柱体内温度场分布之三(I0的应用)匀质圆柱，半径为，高L，上下底面温度分别为u1和u2，侧面温度为。求解柱内稳定的温度分布。定解问题是解为,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(1)用MATLAB对解析解可视化(p122_1.m),5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(2)用PDE工具箱求解,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,问题9：电子透镜(J0和I0的应用)电子透镜的某一部件由两个中空柱筒组成，其电势分别为+Q0和-Q0，在中间缝隙边缘电势近似为。求圆柱筒内的电势分布圆筒内半径为。,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,定解问题是,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,令，该问题可以分解成两个问题,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,相应的解为,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(1)用MATLAB对解析解可视化(p125_1.m),5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(2)用PDE工具箱求解,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,问题10：柱体外的电势(K0的应用)半径为高为L的导体圆柱壳，上下底面和侧面被绝缘物质隔离开来，柱壳侧面的电势为z，上下接地，求柱体外的静电场的电势分布。定解问题是方程的解析解为,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(1)用MATLAB对解析解可视化(p128_1.m),5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(2)利用PDE工具箱求解,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,泊松方程和格林函数矩形区域泊松方程在矩形区域0xa，-b/2yb/2上求解泊松方程，边界值为零。泊松方程为定解问题为,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,定解问题的解为(1)MATLAB对解析函数可视化,5.2求解稳定型的数学物理方程,三维拉普拉斯方程,(2)用PDE工具箱求解,5.2求解稳定型的数学物理方程,泊松方程和格林函数,问题1：球域的格林函数在半径为a的导体球内(或导体球外)，距球心r0处放置电量为40q的点电荷，求它形成的静电场定解问题是解析解是,5.2求解稳定型的数学物理方程,泊松方程和格林函数,(1)球外有一点电荷,5.2求解稳定型的数学物理方程,泊松方程和格林函数,(2)球内有一点电荷,5.2求解稳定型的数学物理方程,泊松方程和格林函数,问题2：圆域的格林函数在半径为a的圆外，距圆心r0处放置电量为40q的点电荷，求它形成的静电场定解问题是问题的解析解为,5.2求解稳定型的数学物理方程,泊松方程和格林函数,(1)圆外区域电荷,5.2求解稳定型的数学物理方程,泊松方程和格林函数,(2)圆内区域电荷,5.2求解稳定型的数学物理方程,一维热传导问题,问题1：无限长细杆热传导利用Fourier变换求解得到的解为其中初始温度分布为,5.3求解热传导型数学物理方程,一维热传导问题,(1)用瀑布图来描述xx=-10:0.5:10;tt=0.01:0.1:1;tau=0:0.01:1;a=2;X,T,TAU=meshgrid(xx,tt,tau);F=1/2/2./sqrt(pi*T).*exp(-(X-TAU).2/4/22./T);js=0.5*trapz(F,3);waterfall(X(:,:,1),T(:,:,1),js),5.3求解热传导型数学物理方程,一维热传导问题,(2)用动画描述figureh=plot(xx,js(1,:);set(h,erasemode,xor);forj=2:10set(h,ydata,js(j,:);drawnowpause(0.1)end,5.3求解热传导型数学物理方程,一维热传导问题,问题2：有限长细杆热传导(第一类边界条件)取所得的解析解为,5.3求解热传导型数学物理方程,一维热传导问题,(1)用MATLAB对解析解可视化,5.3求解热传导型数学物理方程,一维热传导问题,(2)用PDE工具箱进行求解仿真,5.3求解热传导型数学物理方程,一维热传导问题,问题3：输运问题解析解是,5.3求解热传导型数学物理方程,一维热传导问题,(1)对解析解进行MATLAB可视化,5.3求解热传导型数学物理方程,一维热传导问题,5.3求解热传导型数学物理方程,(2)用数值计算方法计算,一维热传导问题,问题4：第三类边界条件下的细杆导热问题此问题的解析解为,5.3求解热传导型数学物理方程,二维热传导问题,问题1：定解问题,5.3求解热传导型数学物理方程,三维热传导问题,问题1：球体内的热传导问题之一(j0的应用)半径为r0的匀质球放在温度为U0的烘箱中，初始时刻球体的温度为u0，求此后球内的温度变化情况令，定解问题是此问题的解为,5.3求解热传导型数学物理方程,三维热传导问题,用MATLAB进行可视化,5.3求解热传导型数学物理方程,三维热传导问题,问题2：柱体内的热传导半径为的圆柱高为L，侧面和下底面的温度保持为u0，上底面绝热，初始温度为。求此后球内的温度u变化情况,5.3求解热传导型数学物理方程,三维热传导问题,其解析解为其中,5.3求解热传导型数学物理方程,三维热传导问题,问题3：球体内的热传导半径为的均匀球，初始温度分布为，保持球面的温度为0让它冷却，求球内各点的温度变化情况定解问题是解析解为,5.3求解热传导型数学物理方程,三维热传导问题,其中,5.3求解热传导型数学物理方程,一维波动问题,问题1：无限长弦的自由振动定解问题的解为(达朗贝尔公式),5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,达朗贝尔公式的物理意义达朗贝尔公式可以理解为两个完全决定于初始条件的函数F2(x-at)表示弦上质点的振动所构成的外形函数，此外形以常速度a向x轴正方向传播，表示正向波(右行波)F1(x+at)表示弦上质点的振动所构成的外形函数，此外形以常速度a向x轴负方向传播，表示反向波(左行波)达朗贝尔公式表明：由任意初始扰动引起的自由弦振动总是以行波的形式向正、反两个方向传播，其中传播速度等于泛定方程中的常数a,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,(1)初位移不为零，初速度为零。设初始条件为由达朗贝尔公式得,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,(2)初位移为零，初速度不为零。设初始条件为由达朗贝尔公式得,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,根据初始条件可以得到,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,问题2：两端固定的弦的振动问题问题的解析解为,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,(1)初始位移不为零，初始速度为零。设初始条件为方法I：解析解法,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,方法II：差分法得到数值解参数网格化微分方程改差分方程整理差分方程得到递推关系式,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,初始条件处理边界条件处理,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,方法III：用PDE工具箱仿真,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,(2)初始位移任意，初始速度为零。设初始条件为可用差分法求数值解,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,(3)初始位移为零，初始速度不为零。设初始条件为其解析解为,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,方法I：解析解直接可视化,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,方法II：用差分法进行数值计算仿真初始条件边界条件,5.4求解波动型数学物理方程,一维波动问题,5.4求解波动型数学物理方程,一维波