北师大版九年级下册数学《2.5 第2课时 利用二次函数求方程的近似根1》教案

2.5 二次函数与一元二次方程第2课时 利用二次函数求方程的近似根1会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；(重点)2进一步体会二次函数与一元二次方程的关系(难点)一、情境导入你能根据函数yx22x5的图象(如图)，求出方程x2 2x50的近似根吗(精确到0.1)?由图象知，抛物线与x轴有两个公共点，它们分别位于x轴上1和2、4和3之间，所以一元二次方程x2 2x50有两个根，它们分别介于1和2、4和3之间这两个根分别是1.5和3.5吗？二、合作探究探究点：利用二次函数求方程的近似根【类型一】 利用二次函数估算一元二次方程的近似根 利用二次函数的图象估计一元二次方程x22x10的近似根(精确到0.1)解析：根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解解：方程x22x10根是函数yx22x1与x轴交点的横坐标作出二次函数yx22x1的图象，如图所示，由图象可知方程有两个根，一个在1和0之间，另一个在2和3之间先求1和0之间的根，当x0.4时，y0.04；当x0.5时，y0.25.因此，x0.4(或x0.5)是方程的一个近似根同理，x2.4(或x2.5)是方程的另一个近似根方法总结：解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法【类型二】 列表求一元二次方程的近似根 下面表格列出了函数yax2bxc(a，b，c是常数，且a0)部分x与y的对应值，那么方程ax2bxc0的一个根x的取值范围是()x6.176.186.19620y0.030.010.020.04A.6x6.17 B6.17x6.18C6.18x6.19 D6.19x6.20解析：由表格中的数据得，在6.17x6.20范围内，y随x的增大而增大，当x6.18时，y0.01，当x6.19时，y0.02，方程ax2bxc0的一个根x的取值范围是6.18x6.19，故选C.方法总结：利用抛物线的增减来确定抛物线与x轴交点的坐标的可能位置变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型三】 利用图象求一元二次方程的近似根 已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则一元二次方程ax2bxc0的近似根为()Ax12.1，x20.1 Bx12.5，x20.5Cx12.9，x20.9 Dx13，x21解析：由图象可得二次函数yax2bxc图象的对称轴为x1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，x20.5；又对称轴为x1，则1，x12(1)0.52.5.故x12.5，x20.5.故选B.方法总结：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型四】 利用二次函数和一次函数的图象求方程的根 已知二次函数y2x22和函数y5x1.(1)你能用图象法求出方程2x225x1的解吗？(2)请通过解方程的方法验证(1)问的解解析：(1)根据函数图象的交点坐标是相应方程的解，可得答案；(2)根据因式分解，可得方程的解解：(1)如图在平面直角坐标系内画出y2x22和函数y5x1的图象，如图所示：图象交点的横坐标是，3，故2x225x1的解是x1，x23；(2)由(1)可知交点横坐标即为方程2x225x1的解，化简得2x25x30，因式分解，得(2x1)(x3)0.解得x1，x23，可知(1)中求得的解正确方法总结：利用图象法求一元二次方程的近似根，图象交点的横坐标是方程的解变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型五】 二次函数与其他函数的综合 利用图象解一元二次方程x2x30时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线yx2和直线yx3，两图象交点的横坐标就是该方程的解(1)填空：利用图象解一元二次方程x2x30，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y_和直线yx，其交点的横坐标就是该方程的解；(2)已知函数y的图象(如图所示)，利用图象求方程x30的近似根(结果保留两个有效数字)解析：(1)一元二次方程x2x30可以转化为x23x，所以一元二次方程x2x30的解可以看成抛物线yx23与直线yx交点的横坐标；(2)函数y的图象与直线yx3的交点的横坐标就是方程x30的近似根解：(1)x23(2)图象如图所示：由图象可得，方程x30的近似根为x11.4，x24.4.方法总结：利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：(1)作出函数的图象，由图象确定方程的解的个数；(2)由图象与yh的交点位置确定交点横坐标的范围；(3)观察图象求得方程的近似根变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计利用二次函数求方程的近似根1利用二次函数估算一元二次方程的近似根2列表或利用图象求一元二次方程的近似根3利用二次函数和一次函数的图象求方程的根在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问