互斥事件综合训练.doc

梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结典型例题一例1 今有标号为1、2、3、4、5的五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信任意地装入五个信封中，每个信封一封信，试求至少有两封信与信封标号一致的概率 分析：至少有两封信与信封的标号配对，包含了下面两种类型：两封信与信封标号配对；3封信与信封标号配对；4封信与信封标号配对，注意：4封信配对与5封信配对是同一类型现在我们把上述三种类型依次记为事件，可以看出两两互斥，记“至少有两封信与信封标号配对”为事件，事件发生相当于有一个发生，所以用公式可以计算. 解：设至少有两封信配对为事件，恰好有两封信配对为事件，恰有3封信配对为事件，恰有4封信（也就是5封信）配对为事件，则事件等于事件，且事件为两两互斥事件，所以 5封信放入5个不同信封的所有放法种数为， 其中正好有2封信配对的不同结果总数为 正好有3封信配对的不同结果总数为 正好有4封信（5封信）全配对的不同结果总数为1， 而且出现各种结果的可能性相同， 说明：至少有两封信与信封配对的反面是全不配对和恰好有1封信配对，但是配对越少，计算该结果的所有方法总数越困难，即计算该事件的概率越不方便现在把问题改为计算“至多两封信与信封标号配对”的概率是多少？我们转化为求其对立事件的概率就简单得多，它的对立事件为“3封信配对或4封信（即5封）配对”，得到其结果的概率为，在计算事件的概率时有时采用“正难则反”的逆向思维方法，直接计算事件的概率比较难，而计算其对立事件的概率比较容易时可采用这种方法典型例题七例7射手张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中环数不足8环的概率分析：“射中10环”，“射中9环”，“射中7环以下”是彼此互斥事件，可运用“事件的和”的概率公式求解解：设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为、，则(1)，所以射中10环或9环的概率为(2) ，所以至少射中7环的概率为(3) ，所以射中环数不足8环的概率为说明：公式只有在、两事件互斥时才使用，如果、两事件不互斥，就不能应用这一公式，一定要注意这一公式应用的前提是、两个事件互斥典型例题三例3 有4个红球，3个黄球，3个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？ 分析：与倒2中取球方式不同的是，从中取出两球是不放回的取出处理上，例2是分步取球，先取哪个后取哪个是有区别地对待，而本例中，只要搞清是取的什么球，直接用组合数列式取出两个同色球可以分成下面几个类型：两个红球；两个黄球；两个白球 解：从10个小球中取出两个小球的不同取法数为 “从中取出两个红球”的不同取法数为，其概率为 “从中取出两个黄球”的不同取法数为，其概率为 “从中取出两个白球”的不同取法数为，其概率为 所以取出两个同色球的概率为： 说明：本题求取出两个同色球的概率，对结果比较容易分类，如果换上“取出3个球，至少两个同颜色”，这样的问题分类相对就比较复杂，在此我们不一一列出，但考虑其反面，对立事件为“取出3个球，颜色全不相同”，对立事件的概率比较容易算出取出3个球，颜色全不相同的所有不同取法数为（种），对立事件的概率为，所以“取出3个球，至少两个同颜色”的概率为：典型例题九例9小明的袋中放有3个伍分硬币、3个贰分硬币和4个壹分硬币，从中任取3个，求总数超过8分的概率分析1：视其为互斥事件，进而求概率解法1：(1)记“总数超过8分”为事件，它包括下列四种情况：“取到3个伍分硬币”记为事件；“取到2个伍分硬币和1个贰分硬币”为事件；“取到2个伍分硬币和1个壹分硬币”为事件；“取到个伍分硬币和2个贰分硬币”为事件，根据题意，、彼此互斥，故所求概率分析2：视其为等可能事件，进而求概率解法2：从10个硬币中取3个，共有种不同方法“总数超过8分”的共有以下四种情况：取3个伍分硬币，共有种方法；取2个伍分硬币和1个贰分硬币，共有种方法；取2个伍分硬币和1个壹分硬币，共有种方法；取个伍分硬币和2个贰分硬币，共有种不同方法，所以“总数超过8分”共有种方法总数超过8分的概率为说明：复杂的等可能事件的概率可化为彼此互斥的简单事件来求，要注意分类的不重、不漏典型例题二例2 袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求： （1） 3只全是红球的概率，（2） 3只颜色全相同的概率， （3） 3只颜色不全相同的概率，（4） 3只颜色全不相同的概率 分析：有放回地抽3次的所有不同结果总数为，3只全是红球是其中的1种结果，同样3只颜色全相同是其中3种结果，全红、全黄、全白，用求等可能事件的概率方式可以求它们的概率“3种颜色不全相同”包含的类型较多，而其对立事件为“三种颜色全相同”却比较简单，所以用对立事件的概率方式求解3只颜色全不相同，由于是一只一只地按步取出，相当于三种颜色的一个全排列，其所有不同结果的总数为，用等可能事件的概率公式求解 解：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果总数为： 3只全是红球的概率为 3只颜色全相同的概率为 “3只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同” 故“3只颜色不全相同”的概率为 “3只颜色全不相同”的概率为 说明：如果3种小球的数目不是各1个，而是红球3个，黄球和白球各两个，其结果又分别如何？首先抽3次的所有不同结果总数为，全是红球的结果总数为，所以全是红球的概率为，同样全是黄球的概率为，全是白球的概率也是，所以3只球颜色全相同的概率为上述三个事件的概率之和，“三种颜色不全相同”为“三种颜色全相同”的对立事件，其概率为 “3只小球颜色全不相同”可以理解为三种颜色的小球各取一只，然后再将它们排成一列，得到抽取的一种结果，其所有不同结果总数为（种），所以“3只小球颜色全不相同”的概率为典型例题五例5判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明道理某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有一名男生和至少有一名女生；(3)至少有一名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生分析：判断两个事物是否为互斥事件，就是考察它们能否同时发生，如果不能同时发生，则是五斥事件，不然就不是互斥事件解：(1)是互斥事件道理是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”，不可能同时发生，所以是一对互斥事件(2)不可能是互斥事件道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男性”和“两名都是女生”两种结果，它们可同时发生(3)不可能是互斥事件道理是：“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男性”，这与“全是男生”，可同时发生(4)是互斥事件道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生小结：互斥事件是概率知识中重要概念，必须正确理解(1)互斥事件是对两个事件而言的若有、两个事件，当事件发生时，事件就不发生；当事件发生时，事件就不发生（即事件、不可能同时发生），我们就把这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件否则就不是互斥事件(2)对互斥事件的理解，也可以从集合的角度去加以认识如果、是两个互斥事件，反映在集合上，是表示、这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交如果事件中的任何两个都是互斥事件，那么称事件彼此互斥，反映在集合上，表现为由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交典型例题八例8玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，求从中取1球：(1)红或黑的概率；(2)红或黑或白的概率分析1：视其为等可能事件，进而求概率解法1：(1)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有种不同取法，任取一球有种取法，任取1球得红球或黑球的概率得(2)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种方法，得白球有2种取法，从而得红或黑或白球的概率为分析2：视其为互斥事件，进而求概率解法2：记事件：从12只球中任取1球得红球；：从中任取1球得黑球；：从中任取1球得白球；：从中任取1球得绿球，则，根据题意，、彼此互斥，由互斥事件概率得(1)取出红球或黑球的概率为；(2)取出红或黑或白球的概率为分析3：应用对立事件求概率解法3：(1)由思路2，取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即的对立事件为，取出红球或黑球的概率为(2)的对立事件为即为所求说明：(1)“互斥”和“对立”事件容易搞混互斥事件是指指事件不能同时发生，对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生(2)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率典型例题六例6判断下列给出的每对事件，(1)是否为互斥事件，(2)是否为对立事件，并说明道理从扑克40张(红桃、黑桃、方块、梅花点数从110各10张)中，任取一张(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与 “抽出黑色色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”解：(1)是互斥事件，不是对立事件道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件道理是：从40张扑克牌中，任意抽取1张“抽出红色牌”与“抽出黑色色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件说明：“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥事件”是“对立事件”的必要但不充分的条件“对立事件”是“互斥事件”的充分不必要条件典型例题十例10同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率分析1：视其为等可能事件，进而求概率解法1：同时投掷两枚骰子，可能结果如下表：共有36个不同的结果，其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率为分析2：利用对立事件求概率解法2：至少有一个5点或6点的对立事件是没有5点或6点如上表，没有5点或6点的结果共有16个，没有5点或6点的概率为至少有一个5点或6点的概率为下面再给出一种解法（此解法可在下一节学完后，再学习）分析3：利用公式解法3：记事件：含有点数为5的事件：含有点数为6的显然、不是互斥事件，至少有一个5点或6点的概率为说明：(1)本题常出现的错误有两类：一类是不符合题意的臆想，含5的有6个，含6的有6个，至少有一个5或6的有12个，从而所求概率为；另一类是没有搞清楚、是否为互斥事件，直接利用公式(2)解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复和遗漏的有效方法；对于用直接法难于解决的问题，可求其对立事件的概率，进而求得概率，以降低难度典型例题十一例11 一批产品共件，其中件是废品，任抽件进行检查，求下列事件的概率(1)件产品中至多有一件废品；(2)件产品中至少有一件废品分析：件产品中恰有件废品是互斥事件，可用概率加法公式解：设为事件“件产品中恰有件废品”，其中，易知()为彼此互斥事件(1)设为事件“件产品中至多有件废品”，则有，又由于与互斥，所以(2)(法1)设为事件“件产品中至少有件废品”，则有，而且彼此互斥，所以 (法2)由于的对立事件为“件产品中无废品”，即，说明：抽查产品问题与模球问题类似，是一类典型问题，应予以很好地理解和掌握(1)“至多有一件废品”的意义是“可以有一件废品，也可以没有废品”，即（又，），其反面是“有件以上废品”，即（故）“至少有一件废品”的意义是“可以一件废品、可以有两件废品，可以有五件废品”，即，（故），其反面是“没有废品”，即（故）要正确理解“至多”、“至少”的含义，有时直接解简单，而有时用其反而去解简单(2)注意求概率的直接法和间接法两种思路典型例题十三例13 学校文娱队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有人，会跳舞的有人，现从中选人，且至少有一位既会唱歌又会跳舞的概率是，问该文娱队有多少人？分析：可选设既会唱歌又会跳舞的人数为，则该队的队员人数为人如图所示解：设该队既会唱歌又会跳舞的人有名，则该队队员的人数为名，只会唱歌的人有人，只会跳舞的人有人，从中选出人，记为事件“至少有一位既会唱歌又会跳舞的人”，则的对立事件为“人都只会唱歌或只会跳舞”，解得：该文娱队共有人说明：(1)注意集合元素个数的计算方法：card（）=card+card-card（）(2)本题中出现了“至少”一词，可考虑从反而做，因为人数不知，所以从正面做较繁典型例题十二例12 某战士射击一次，设中靶的概率为令事件为“射击一次、中靶”，求：(1)的概率是多少？(2)若事件（中靶环数大于）的概率是，那么事件（中靶环数小于）的概率是多少？事件（中靶环数大于且小于）的概率是多少？分析：(1)易做(2)搞清三个事件、之间的包含或对立关系解：(1) (2)由题意，事件即为“中靶环数为环”，而事件为“中靶环数为环”，事件为“中靶环数为环”可见与是对立事件，而又，说明：离散型随机变量在某一范围内取值的概率，往往利用其在不同范围内发生的互斥性，