数学方法论第一章绪论ppt课件

.,数学方法论,张龙军909242428,.,日本数学家、数学教育家米山国藏指出：“学生进入社会后，几乎没有机会应用他们所学到的数学知识，因而这种作为知识的数学，通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管人们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要的作用。”,.,中国著名数学教育家、数学方法论专家-徐利治,.,一、研究数学方法论的意义促进数学发展发挥数学的功能改革数学教育培养数学人才,第一讲绪论,.,二、数学方法论的定义及分类,1.方法、方法论和科学方法论,.,二、数学方法论的定义及分类,2.数学方法的分类具体方法一般方法数学思想方法,.,三、数学方法论的性质及研究对象,1.数学方法论的性质,.,三、数学方法论的性质及研究对象,2.数学方法论的研究对象,.,四、数学方法论的产生与发展,1.积累（远古时代-公元前6世纪）2.萌芽（公元前6世纪-17世纪初期）3.形成（1637-19世纪20年代）4.发展（19世纪20年代-现在）,.,数学方法起源于实践活动，它是伴随数学问题的解决而产生的。人类解决数学问题的实践主要有两方面：一是生产实践和社会实践；二是科学研究，特别是数学研究的实践。,.,由于生产实践、社会实践和数学发展本身的需要，人们提出了许多数学问题，这些数学问题或是一个个地被解决，或是因无裨益而被弃置并代之以新的问题。在解决这些层出不穷的数学问题的过程中，绚丽多彩的数学方法就诞生了。考察数学问题的源泉，在每个数学分支中，那些最初、最老的问题肯定是起源于经验，是由外部世界所提出的。,.,公元前3000年的埃及尼罗河流域，美索不达米亚的底格里斯河等流域，以及稍晚一些的中国黄河流域、印度恒河流域，原始阶段都已结束，在这些大河流域文明中，整数运算法则在人们的生产实践和彼此的交往中都已经被发现。,.,当原始的经济逐渐被农业所代替，由于修建灌溉系统，排水设施以及管理的需要，测量耕地，计算收获物，征收赋税及营造建筑物的需要，观测天体，确定季节的需要，一些几何问题、比例问题、分数问题等就被提了出来。巴比仑人可能是在天文观察、土地丈量和贸易中形成了位值观念和六十进制数系，为了计算快速、方便，他们制作大量数表，其中包括倒数表、平方表、平方根表和立方表，形成了用表格进行数学计算的相当先进的数学方法。,.,如目前保存在英国大不列颠博物馆的BMB901号泥板，就记载着24个数学问题，其中有解一元二次方程的问题，从这里我们可以看到人类最早的数学模型方法思想的萌芽。早在公元前5世纪，希腊人已经形成了三个几何作图问题，被称为几何三大问题：（1）倍立方问题，求作一立方体，使它的体积等于一已知立方体；（2）三等分角问题，求三等分一已知角；（3）化园为方问题，求作一正方形，使它的面积等于一已知园的面积。,.,集古代数学问题之大成的，要数成书于公元1世纪前后的我国辉煌的数学文献九章算术，九章算术中收集了方田（各种形状的田地面积计算）、粟米（各种粮食谷物间的按比例交换）、商功（体积计算）、均输（按比例摊派赋税和徭投）、盈不足（根据两次假设产生过剩或不足来求解的问题）、方程（求解一次方程组）、勾股（有关勾股测量的各种问题）共九章计246个问题，几乎包括了当时社会生活的各个方面。,.,九章算术中的数学问题包括“题”、“答”和“术”三个部分。所谓“术”即是解决数学问题的数学方法，它常常包含着解决数学问题所应用的公式，定理或原理的叙述。处理方法上有一题一术，一题多术与多题一术的不同，通过246个数学问题共介绍202个术，可以说九章算术的全部理论是以寻求各种应用问题的普遍解决为中心课题。,.,九章算术是我国古代传统数学中影响最深远的一部著作，从中我们可以看到我国古代数学，是怎样从实际生活中分析出数量关系，建立数学模型，又怎样从研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳问题而得到解决问题的数学方法。,.,古希腊欧几里得几何所追求的是逻辑的完美。成书于公元前300年的欧几里得几何原本实际上总结了公元前600年前到公元前300年间流行在希腊帝国的很多几何学方面的成果。几何原本是一部在定义、公设和公理基础上按演绎方法建立起来的命题系统，它包含23个预备性定义，5个公设，5条公理和465个命题。,.,欧几里得原本的出现，标志着一种重要的数学方法公理化方法的形成，2000多年来，公理化方法对整个数学的发展乃至物理学，现代理论力学及各门自然科学的发展都带来深远的影响。人们通过欧几里得几何的学习，受到了公理化方法的训练，从而迈入科学的殿堂。,.,爱因斯坦就说过：“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以至它的每一个命题都是绝对不容置疑的我这里说的是欧几里得几何。推论的这种可赞叹的胜利，使人类的理智获得了为取得以后的成就所必需的信心。”,.,17世纪以后，欧洲的数学摆脱了发展缓慢的状态，这一“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入数学，有了变数，辩证法进入了数学。”（恩格斯语）在笛卡尔的解析几何中“曲线是任何具体代数方程的轨迹”，这不仅一下子扩充了数学的范围，而且为代数方法运用到几何乃至整个数学铺平了道路。,.,1637年，笛卡尔的解析几何作为“附录”发表在他的哲学著作方法谈之中，这对笛卡尔来说并非是一种偶然的安排，因为在他看来，解析几何与其说是数学研究的新成果，还不如说是科学方法论的产物。,.,数学的发展一方面是由于对生产和社会生活中所提出的数学问题的研究和解决，如航海、机械、力学、天文学的发展，促使牛顿在考察变速运动中的位置、速度、加速度的关系而创立微积分，从而导致函数研究中极限方法的完善。,.,从研究博奕问题开始，经历了两个世纪，雅各布伯努利终于将概率论发展成为数学的一个分支，为自然科学和社会科学的研究提供了全新的或然方法。泰勒、丹尼尔伯努利、欧拉等对声学、尤其是对音乐乐声的弦振动、声音传播问题的研究，极大地刺激了微分方程的发展，至今微分方程反过来又成为研究孤立等重大物理现象的工具。,.,由于数学发展内部矛盾运动中提出的问题的研究和解决，更发展了抽象的数学方法，使数学成为脱离现实世界的高度抽象的形式化的事物，其中典型的例子是，伽罗瓦（E.Galois）关于代数方程可解性的研究，引进了群和域的概念，进一步导致抽象代数的建立。关于欧几里得几何原本第五公设的独立性的研究，罗巴切夫斯基、黎曼相继建立了不同的非欧几何理论。,.,关于复数运算的研究，导致1843年哈密尔顿建立四元数代数，进一步发展为超复数理论。希尔伯特说：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法和发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。”,.,在人们探索的众多的数学问题中，一个著名的例子是费马定理：,.,300多年以来，这个问题引无数英雄竞折腰。在寻求这个问题的结论的证明过程中，涉及到L-函数，群论，伽罗瓦表示，形变理论等现代数学理论，远远地超出了费马大定理本身所在的初等数论的范畴，特别是在数论方面得出许多新的数学方法，从而丰富和发展了代数数论。无怪希尔伯特风趣地说：“我们应当更加注意，不要杀掉这个经常为我们生出金蛋的母鸡。”,.,在数学的迅速发展之中，出现了不少在数学方法方面有研究的著名学者，如笛卡尔，莱布尼兹、欧拉、高斯、庞加莱、克莱因和希尔伯特等，他们或发表过有关数学方法的精辟见解，或有专门论著。下面以欧拉所解决的两个数学问题为例，说明这些著名学者是如何运用并发展数学方法的。,.,问题1、自然数平方的倒数和求,这是一个曾使雅各布伯努利感到无能为力的数学问题，他曾经写道：“假如有人能够求出这个我们直到现在还未求出的和，并能把它通知我们，我们将会感谢他。”,.,对于这个问题，欧拉发现了各式各样的表达式（定积分，级数），但没有一个能使他满意，他用这些表达式之一，算出了一个有七位有效数字的和（1.644934），但这仅是一个近似值，而欧拉的目的是求出准确值。最后他发现了它，是类比方法帮助他得到了精彩的结果。,.,设一个2n次代数方程（）无零根，将这个方程变形为令这个方程的根为,.,则有即,.,与方程（*）比较x2项的系数，有考虑方程即(*),.,这个方程有无穷个根：，-，2，-2，3，-3，,n，-n,。方程化为比较这个方程与方程（*）x2项的系数，得出,.,于是有对于这个结果，欧拉写道：“这种方法是新的并且还来没有这样用过。”欧拉又用这种方法重新发现了著名的莱布尼兹级数的和：,.,波利亚（G.Polya）在1953年对此曾作出如下评论：“欧拉成功的决定性因素是大胆，从严格逻辑角度来回顾，他的做法是荒谬的。他把对某种情况来说尚未发明的法则应用到这种情况上了，即把关于一个代数方程的法则应用到一个非代数方程的情况中去。在严格的逻辑意义下欧拉的步骤是不允许采取的，但是他用了一门新兴科学中最好的成就来做类比，而类比告诉他可以这样做。这门新科学，在几年以后，他自己把它称为无穷分析。”,.,问题2、哥尼斯堡七桥问题一条小河从东普鲁士的小城镇哥尼斯堡市中心穿过，河中有小岛A和B，河上有七座桥连接这两个岛的两岸C、D。问一个人能否从某地出发经过每一座桥而不重复地返回原地？,.,为了解决这个问题，欧拉并没有亲自到哥尼斯堡去，而是运用他的智慧，把问题作抽象化，数学化的处理：将两岸和小岛都缩成一点，将桥化为边，两个点之间有边连接，即表示这两点代表的地区有桥相连接。于是这个问题就相当上图能否一笔画成。,.,欧拉通过拓扑变换，把七桥问题抽象为线路拓扑一笔画问题，即：如前图，已知A、B、C、D四点和连接这四点的七条线，问，从某一点出发，通过七条线，且只经过每条线一次而到达终点，这能否做到？,.,1736年，欧拉写了一篇名为哥尼斯堡的七座桥的文章，以否定的方式漂亮地解决了这个问题。在这篇文章里欧拉写道，如果从某一点出发，到某一点终止，全图可以一笔画出，那么中间每经过一点，总有画进那点去的一条线和从那点画出来的一条线，所以除了起点和终点这两点以外，图中的每个点都应该和偶数条线相连。然而，现在图形中的四个点都和奇数条线相连，这样，图形当然不可能一笔画出。,.,欧拉并证明了一个一笔画图的充要条件：图连通并且其奇点（即与该点关联的边为奇数条）的个数等于0或2。这是因为除了起点和终点外，其他的点（称为中间点）有这么一个特征：连接中间点的边必为偶数。在七桥问题中，A、B、C、D点都是奇点。所以答案是否定的。,.,在欧拉的一生中，除了对数学有众多的发现、发明，他所作出的数学猜想也特别多，下面我们再举一个欧拉运用归纳法作出的猜想：欧拉对200以内的所有形如8n+3的整数进行了考察，例如,.,.,欧拉猜想：对任何自然数n，形如8n+3的整数是一个平方数与一个素数的两倍之和，即x为整数，p为素数。,.,从以上例子可以看到，作为18世纪的数学大师欧拉，是怎样在解决数学发展过程以及实际生活中提出来的数学问题时，创造性地建立数学模型，运用类比、猜想、化归、演绎、归纳等数学方法，欧拉不仅出色地解决了这些问题或提出猜想，还丰富了数学方法宝库，为后人树立了不朽的典范。,.,案例1：鸡兔同笼不知数，十二个头笼中露。数清脚共三十只，多少只鸡多少兔？,.,案例2：一条船从甲地沿水路去乙地，往返一共需要2小时，去时顺水，比返回来每小时多航行8千米，且第二小时比第一小时少航行6千米，求甲、乙两地水路的距离？,顺航：,甲,乙,顺水,3千米,前一小时里逆航：,逆行速度为每小时：,甲、乙两地水路的距离是：,.,案例3：（托尔斯泰问题）一组割草人要把两片草地上的草割完，大片是小片的两