2020高考文科数学解析几何题型与方法.doc

专题五：高考文科数学解析几何题型与方法（文科）一、考点回顾1直线(1).直线的倾斜角和斜率(2) .直线的方程a.点斜式：； b.截距式：；c.两点式：； d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.(3).两直线的位置关系两条直线，有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交. (4).简单的线性规划存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x、y的一次解析式，就称为线性目标函数.求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.2. 圆(1).圆的定义(2).圆的方程a.圆的标准方程，b.圆的一般方程， c.圆的参数方程(3).直线与圆3.圆锥曲线(1).椭圆的性质 (2)双曲线的性质 (3).抛物线中的常用结论过抛物线y22px的焦点F的弦AB长的最小值为2p设A(x1，y)， 1B(x2，y2)是抛物线y22px上的两点， 则AB过F的充要条件是y1y2p2设A， B是抛物线y22px上的两点，O为原点， 则OAOB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0e1时，是椭圆，当e1时，是双曲线，当e1时，是抛物线4. 直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的 a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性(2).a.求弦所在的直线方程b.根据其它条件求圆锥曲线方程(3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所在的直线方程(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）5.二次曲线在高考中的应用二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题，给予较深入的剖析，这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。(2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。(3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。(4).重视解析几何与立体几何的有机结合。6.知识网络曲线与方程直线直线的倾斜角和斜率点斜式两点式一般式直线方程的基本形式在线外点到直线的距离在线上点和直线的位置关系相交两条直线的位置关系平行重合交点夹角简单的线性规划二元一次不等式表示平面区域线性规划线性规划的实际应用垂直圆圆的定义圆的方程标准式一般式参数式点与圆的位置关系位置关系判定方法：点到圆心的距离与半径R的比较圆内圆外圆上圆与圆的位置关系外切、相交、内切、内含应用两立方程的解式圆心点与两半径和（差）比较位置关系判定方法：圆心距离与两半径和（差）的比较直线与圆的位置关系相交相切圆的切线相等交点弦长位置关系判定方法：圆心到直线的距离d与半径R的比较性质：对称性、焦点、顶点、离率、准线、焦半径等圆锥曲线椭圆、曲线、直线定义标准方程直线与圆锥曲线的位置关系二、经典例题剖析考点一 曲线（轨迹）方程的求法常见的求轨迹方程的方法：（1）单动点的轨迹问题直接法（五步曲） 待定系数法（定义法）；（2）双动点的轨迹问题代入法；（3）多动点的轨迹问题参数法 交轨法。例题1. 已知M：轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.解析：（1）两点确定一条直线；（2）利用平面几何知识，找出关系。答案：（1）由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中， ， 故， 所以直线AB方程是（2）连接MB，MQ，设由点M，P，Q在一直线上，得由射影定理得即1（xx）把（x）及（xx）消去a，并注意到，可得点评：合理应用平面几何知识，这是快速解答本题的关键所在。例题2. （湖北省十一校）在直角坐标平面中，ABC的两个顶点为 A（0，1），B（0， 1）平面内两点G、M同时满足： ， （1）求顶点C的轨迹E的方程（2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（， 0） ，已知 ， 且 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.分析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关系，弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。解：（1）设C ( x ， y )， ，由知，G为 ABC的重心 ， G(，) 由知M是ABC的外心，M在x轴上 由知M（，0），由 得 化简整理得：（x0）。 （2）F（，0 ）恰为的右焦点 设PQ的斜率为k0且k，则直线PQ的方程为y k ( x )由设P(x1 ， y1) ，Q (x2 ，y2 ) 则x1 x2 ， x1x2 则| PQ | RNPQ，把k换成得 | RN | S | PQ | | RN | ) 2 ， 16 S 0，y0），.若PF2F1为直角，则P（），这时PF1，PF2，这时.若PF2F1为直角，则由，解得：.于是PF14，PF22，这时.点评：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法2中设出了P点坐标的前提下，还可利用PF1aex，PF2aex来求解.例题4（xx年湖北省高考题）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线 （）、求椭圆的方程；（）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点， 若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内 分析：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解：（）依题意得 a2c，4，解得a2，c1，从而b 故椭圆的方程为 （）解法1：由（）得A（2，0），B（2，0） 设M（x0，y0） M点在椭圆上，y0（4x02） 又点M异于顶点A、B，2x00，0，则MBP为锐角，从而MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内 解法2：由（）得A（2，0），B（2，0） 设M（x1，y1），N（x2，y2），则2x12，2x23 （i） ， 故得对任意的 恒成立， 当m 1时，MPMQ. 当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立， 综上，当m 1时，MPMQ. （ii）是双曲线的右准线， 由双曲线定义得：， 方法一： ， 注意到直线的斜率不存在时， 综上， 方法二：设直线PQ的倾斜角为，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点， ，过Q作QCPA，垂足为C，则 由 故： 点评：本题考查了双曲线的第二定义，垂直关系，韦达定理和求参数的范围（2）。圆锥曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。例题9已知 （1）求点的轨迹C的方程； （2）若直线与曲线C交于A、B两点，并且A、B在y轴的同一侧，求实数k的取值范围. （3）设曲线C与x轴的交点为M，若直线与曲线C交于A、B两点，是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过点M？若有，求出k的值；若没有，写出理由.解：（1）由 又，故所求的轨迹方程是 （2）设、，把，得 A、B在y轴的同一侧，得到 综上，得. （3）由（2）得 曲线C与x轴交点、，若存在实数k，符合题意，则不妨取点将式代入上式，整理得到，解得舍去）根据曲线的对称性，知存在实数，使得以AB为直径的圆恰好过M点点评：本题是向量，轨迹，直线与圆锥曲线的位置关系的有机结合。考点六 求范围例题10设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：，但从此后却一筹莫展， 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.解：当直线垂直于x轴时，可求得;当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，所以 .由 ， 解得 ，所以 ，综上 .点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.例题11已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为（）求动点的轨迹方程； （）若已知，、在动点的轨迹上且，求实数的取值范围分析：为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等解：()由题意设（），由余弦定理， 得 又， 当且仅当时， 取最大值，此时取最小值，令，解得，故所求的轨迹方程为. （）设，则由，可得，故. 、在动点的轨迹上，且，消去可得，解得，又，解得，故实数的取值范围是点评：新教材的高考已经进行了年，而解析几何解答试题和向量综合呈现了新高考的崭新亮点，体现了向量知识的工具性和广泛的应用性三、方法总结与xx年高考预测（一）方法总结1求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a，b，p等.要充分认识椭圆中参数a，b，c，e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关. 2涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.3直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.4对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等.5与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.（二）xx年高考预测1求曲线（轨迹）方程的常用方法（直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等）。2掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线与圆的位置关系的思想方法。3解析几何是衔接初等数学和高等数学的纽带。直线与圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。综观近几年的全国和部分省高考数学试题，本专题列出高考考查的热点内容有：（1）直线方程；（2）圆锥曲线的标准方程；（3）圆锥曲线的几何性质；（4）直线与圆锥曲线的位置关系；（5）求曲线（轨迹）方程。特别是求曲线（轨迹）方程和直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考解析几何问题的热中之热。四、强化训练（一）选择题1双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）（A） 2 （B） （C） （D） 2椭圆短轴长是2，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆中心到其准线的距离是（ ）（A） （B） （C） （D）3是任意实数，则方程的曲线不可能是（ ）（A）椭圆 （B）双曲线 （C）抛物线 （D）圆4双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）5以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）（A） （B）（C） （D）6与的渐近线（ ）（A）重合 （B）不重合，但关于轴对称（C ）不重合，但关于轴对 （D）不重合，但关于直线轴对称7已知直线，直线，若，则的值为（ ）A、1 B、0 C、0或1 D、18. 设F（c，0）为椭圆的右焦点，椭圆上的点与点F的距离的最大值为M，最小值为m，则椭圆上与F点的距离是的点是（）A.（）B.（0，）C.（）D.以上都不对9已知圆的方程为：，则它关于直线对称的圆的方程是（ ）A、 B、 C、 D、10点（3，1）和（4，6）在直线的两侧，则的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、11 抛物线yax2与直线ykxb(k0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则恒有( )A x3x1x2B x1x2x1x3x2x3C x1x2x30D x1x2x2x3x3x1012 设u，vR，且|u|，v0，则(uv)2()2的最小值为( )A 4B 2 C 8D 2（二）填空题13 直线l的方程为yx3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x24y23的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_ 14 若点P（2，1）为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程_15 A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使OPA，则椭圆离心率的范围是_ 16 已知抛物线yx21上一定点B(1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BPPQ，则Q点的横坐标的取值范围是_ （三）解答题17（安徽省合肥市xx年高三第三次教学质量检测） 椭圆左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，F1PF260，设 （1）求椭圆离心率e和的关系式； （2）设Q是离心率最小的椭圆上的动点，若|PQ|的最大值为，求椭圆方程。 18（四川省成都市xx届高中毕业班第二次诊断性检测）如图，与抛物线x24y相切于点A（4，4）的直线l分别交x轴、y轴于点F、E，过点E作y轴的垂线l0. （I）若以l0为一条准线，中心在坐标原点的椭圆恰好过点F，求椭圆的方程； （II）若直线l与双曲线6x2y28的两个交点为M、N，且点A为线段MN的中点，又过点E的直线与该双曲线的两支分别交于P、Q两点，记在x轴正方向上的投影为p，且，求直线PQ的斜率的取值范围.19(深圳市) 已知椭圆的中心为原点，点是它的一个焦点，直线过点与椭圆交于两点，且当直线垂直于轴时，（）求椭圆的方程；（）是否存在直线，使得在椭圆的右准线上可以找到一点，满足为正三角形如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由20（山东省济宁市xx学年度高三年级第一次摸底考试）已知直线与椭圆相交于A、B两点. （）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长； （）若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值.21（北京市东城区xxxx学年度综合练习）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）. （I）求双曲线C的方程； （II）若直线与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，1），求实数m的取值范围.22在平面直角坐标系内有两个定点F1、F2和动点P，F1、F2的坐标分别为F1（1，0），F2（1，0），动点P满足动点P的轨迹为曲线C，曲线C关于直线yx的对称曲线为曲线C，直线与曲线C交于A、B两点，O是C的对称中心，ABO的面积为。 （）求曲线C的方程； （）求m的值。强化训练题答案1【答案】 C。解析：双曲线的渐近线为，由互相垂直，可得，为等轴双曲线， 。2【答案】 D。解析：由题意，中心到准线的距离为。3【答案】 C。解析：当sin1,0)时，方程的曲线为双曲线；当sin0，方程的曲线是两条平行直线；当sin(0,1)时，方程的曲线是椭圆；当sin1时，方程的曲线是圆。4【答案】B解析：，。5【答案】 D。解析：双曲线的焦点是，顶点是，椭圆的顶点是，焦点是。在椭圆中，椭圆的方程是。6【答案】 D解析：双曲线的渐近线为，双曲线的渐近线为，与关于直线对称，与关于直线对称。7【答案】B 解析： 考查两直线互相垂直的充要条件：8【答案】B提示：Mac，mac，a，应选B.9【答案】C 解析：考查圆的圆心坐标及点关于直线对称问题，圆心关于的对称点为（0，1）10【答案】B解析：考查线性规划的同侧和异侧问题，同侧同号，异侧异号11 【答案】 D解析： 解方程组，得ax2kxb0，可知x1x2，x1x2，x3，代入验证即可 答案 B12【答案】 C解析： 考虑式子的几何意义，转化为求圆x2y22上的点与双曲线xy9上的点的距离的最小值 选C13【答案】 1解析： 所求椭圆的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，2a|PF1|PF2| 欲使2a最小，只需在直线l上找一点P 使|PF1|PF2|最小，利用对称性可解 14【答案】解析：提示考查中点弦问题及垂径定理。圆心和弦的中点连线垂直即15 【答案】e1解析： 设椭圆方程为1(ab0)，以OA为直径的圆： x2axy20，两式联立消y得x2axb20 即e2x2axb20，该方程有一解x2，一解为a，由韦达定理x2a，0x2a，即0aae1 16 【答案】 (，31，)解析： 设P(t，t21)，Q(s，s21)，BPPQ，1，即t2(s1)ts10，tR，必须有(s1)24(s1)0 即s22s30，解得s3或s1 17解：（1）得：由余弦定理得： （2）当1时，e最小值为当P（0，）得当 椭圆方程 18解：抛物线，直线l的斜率为故直线的l方程为点F、E的坐标分别为F（2，0）、E（0，4）. （I）直线l0的方程为y4，以l0为一条准线，中心在坐标原点的椭圆方程可设为则则 椭圆方程为. （II）设l与双曲线的两个交点为、，显然.点A为线段MN的中点，由而双曲线的方程为，轴正方向上的投影为p，设直线PQ的方程为（斜率k必存在），点），而由P、Q两点分别在双曲线的两支上，此时PQ斜率取值范围是.19解：（）设椭圆的方程为：，则当垂直于轴时，两点坐标分别是和，则，即由，消去，得或（舍去）当时，因此，椭圆的方程为 （）设存在满足条件的直线(1)当直线垂直于轴时，由（）的解答可知，焦点到右准线的距离为，此时不满足因此，当直线l垂直于x轴时不满足条件 （2）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)由，设两点的坐标分别为和，则， 又设的中点为，则当为正三角形时，直线的斜率为，当为正三角形时，即，解得， 因此，满足条件的直线存在，且直线的方程为或20解：（） 椭圆的方程为 联立消去y得： 设则 （）设 ，即由消去y得 由 整理得 又由 得：整理得： 代入上式得 适合条件由此得 故长轴长的最大值为 21解：（I）设双曲线方程为 由已知得 故双曲线C的方程为.（II）联立直线与双曲线有两个不同的交点，可得 整理得3k24m1. 将代入，得m24m0，m4.又3k24m10（k0），即m.m的取值范围是（，0）（4，）.22解：（1）设P点坐标为（x，y）则所以曲线C的方程为 （2）曲线C是以（3，0）为圆心，为半径的圆，曲线C也应该是一个半径为 的圆，点（3