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文档简介

第二节定积分存在的条件,一、定积分存在的充分必要条件二、可积函数类,1,一、定积分存在的充分必要条件,要判断一个函数是否可积?但由于积分和的不确定性和那个极限常数不易预知，因此这是极其困难的下面即将给出的可积准则,将不确定性过渡到相对确定性,且只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值,2,3,4,和式:,5,所以，可积性理论总是从上和与下和入手,6,定理在原有的分割T中加入新的分点，则上和不增，下和不减即，在原有分割T中加入新的分点后得新分割T，它对应的上和与下和分别记为,2.达布和的性质,7,8,其中,9,10,定理对任意分割T，都有,证,这里M,m分别表示f(x)在a,b的上确界和下确界,即，上和必有下界,下和必有上界,11,定理对于任意两个分割T与T，有,任一分割T的下和都不超过另一分割T的上和,任一分割T的上和都不小于另一分割T的下和,12,第一式得证，同理可证第二式.,又因为,所以,13,14,为了证明达布定理,先介绍下面性质(证式中提炼出,为方便),15,16,类似可证第二式.,17,显然得证.,18,证（只证第一式),要证:,19,对任意分割T,由性质的推论有,20,21,22,3.定积分存在的充分必要条件,23,24,25,Riemann可积的第一充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,其中：,26,定理也可叙述成如下形式,27,28,充分性,29,30,Riemann可积的第二充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,其中：,31,注意到,证明:,32,于是易知f(x)在a,b上Riemann可积,33,二、可积函数类,注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。,34,证根据在闭区间上连续函数性质，,35,从而导致,注意到一致连续性在本定理证明中所起的重要作用,36,37,38,39,40,注:单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性,于是有,41,例
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