南京市2020届高三数学二轮专题复习资料专题3：三角函数与解三角形

专题3：三角函数与解三角形问题归类篇类型一：同角三角函数求值一前测回顾1(1) 若sin，且为第四象限角，则tan的值等于_答案： （2）已知tana2，则 ，sin2a2sinacosa2 答案：；2 (3)已知sincos，(0，)，则cossin ，tan 答案：； 解析：sincos，(0，)，且sincos21，得到sin，cos 二、方法联想1三角函数求值(1) 知一求其余三角函数值；(2)关于sin与cos的齐次式，同除cosa或cos2a，如果不是齐次，借助1sin2cos2构造齐次(3)sincos，sincos，sincos间关系式注意 根据角的范围确定三角函数值正负无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的三角函数值)缩小角的范围三、归类巩固*1已知sin，并且是第二象限角，则cos的值为 (已知三角函数正弦值，求余弦值)答案： *2已知tan3，且，则cossin （已知三角函数正切值，求正弦、余弦值）答案：解析：3且 sincos21，得到sin与cos的值*3若cos2sin，则tan (构造方程组求解sin，cos)答案：2解析：结合sincos21，得到sin与cos的值类型二：三角函数的图像与性质一、 前测回顾1（1） 函数y的定义域为 答案：k ，k(kZ) （2） 函数ysin(2x)，x0，的值域为 答案： ，1（3）已知w0，在函数y2sinwx与y2coswx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则w的值为 答案：（4） 函数y2cos(3x)单调减区间为 答案：，(kZ) （5）函数ysin(2x) 的对称轴为 ；中心对称点为 答案：x(kZ)；(，0)(kZ)；2（1）函数y2sin2xsinxcosx3cos2x的值域为 答案：， （2）函数y4sin2x12cosx1，的值域为 答案：13，8 （3）函数ysinxcosx2sinxcosx2,0，的值域为 答案：，3 （4）函数y的值域为 答案：0，)提示：方法一：看作斜率，数形结合处理； 方法二：导数法处理 3（1）已知函数yAsin(2x)的对称轴为x，则的值为 答案：k(kZ)（2）已知函数ycos(2x)为奇函数，求的值为 答案：k(kZ)二、 方法联想1三角函数的定义域 方法：根据式子有意义的条件，列不等式组，解不等式求定义域2三角函数的值域 方法1：转化为yAsin(x)形式，先求x的范围，再根据正弦函数的图象求出值域如yasin2xbsinxcosxccos2x的形式，先利用降幂公式化为一次形式，将用辅助角公式化为yAsin(2x)形式求值域方法2：利用换元法转化为二次函数值域问题如:含有sin2x，cosx(或sinx)和cos2x，sinx(或cosx)形式；含有sinxcosx，sinxcosx：形如分子、分母含有sinx，cosx的一次形式：方法1：化为sin(x)M形式，再得用三角函数的有界性(|sinx|1，|cosx|1)求值域方法2：导数法3三角函数对称问题方法：对于函数yAsin(x)或yAcos(x)若xx0为对称轴f(x0)A若(x0，0)为中心对称点f(x0)0推论：对于函数yAsin(x)或yAcos(x)若函数yf(x)为偶函数f(0)A 若函数yf(x)为奇函数f(0)04求f(x)Asin(wxj)B(A0)的解析式方法：待定系数法步骤：（1）由周期T得w；（2）由得，（3）将点代入求j(尽量代入最高点或最低点)三、归类巩固*1在同一平面直角坐标系中，函数ycos()(x0,2)的图象和直线y的交点个数是 答案：2（利用三角函数图像）解析：，得到ysin，做出图像*2定义在区间0,3上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 答案7(考查三角函数图像)*3函数y|sinx|，(xp，2p)的单调递增区间是 答案：p，；(考查三角函数的图像和性质)*4 已知函数f(x)2sin (2x)(|）的部分图象如图所示，则f(0)_答案：1； (考查三角函数的图象)*5将函数的图像向右平移个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得图像关于直线对称，则的最小正值为 答案：(考查三角函数图像变换)*6函数y2sin(x)(0x9)的最大值与最小值之差为 答案：2；(考查三角函数的最值)*7若函数f(x)sin(x)(0)的图象关于直线x对称，则 答案：；(考查三角函数的对称性)*8 若将函数f(x)sin（2x)的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是_答案：； (考查三角函数图象变换，三角函数的奇偶性)*9函数f(x)sinx（x）的值域为 答案：，1(考查三角函数值域)*1-设0xp，则函数的最小值为 答案：（考查正弦函数、余弦函数的图象和性质）解析：令tsinx（0，1），利用y的单调性得到最小值*11 将函数f(x)sin2x的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则 答案：(考查三角函数图像变换，最值)*12若f(x)2sin x(00)的最小正周期为(1)求的值； (2)讨论f(x)在区间0，上的单调性解(1)1(2)f(x)在区间0，上上单调递增,在区间，上单调递减解析：（1） 所以(2)由（1）知：,因为,所以，当时，即时，是增函数；当时，即时，是减函数；所以在区间上单调递增；在区间上单调递减说明：考查正弦函数的图象和性质，方法为“化一”28某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA、AD用一根9米长的材料弯折而成，要求A和C互补，且ABBC(1)设ABx米，cos Af(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；(2)求四边形ABCD面积的最大值解(1)在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcos A同理，在CBD中，BD2CB2CD22CBCDcos C因为A和C互补，所以AB2AD22ABADcos ACB2CD22CBCDcos CCB2CD22CBCDcos A即x2(9x)22x(9x)cos Ax2(5x)22x(5x)cos A解得cos A，即f(x)，其中x(2,5)(考查角的变换,余弦定理)(2)四边形ABCD的面积S(ABADCBCD)sin Ax(9x)x(5x)x(7x) 记g(x)(x24)(x214x49)，x(2,5)由g(x)2x(x214x49)(x24)(2x14)2(x7)(2x27x4)0，解得x4函数g(x)在区间(2,4)内单调递增，在区间(4,5)内单调递减因此g(x)的最大值为g(4)129108所以S的最大值为6(考查角的变换,导数求最值)答：所求四边形ABCD面积的最大值为6 m229已知