04.1 圆的切线与切线长习题与答案

圆的切线1一、切线切线长定理中的基本图形：如图，PA，PB为O的切线，A，B分别为切点，则有：(1)两个等腰三角形(PAB, OAB)；(2)一条特殊的角平分线(OP平分APB 和 AOB)；(3)三个垂直关系(OA PA, OBPB, OPAB)。1遇到有切线时常添加过切点的半径（连结圆心和切点）。(图1) 图1 图2 图32 遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。 (图2) （2）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。(图3) 图4 图5 3.弦切角是与圆有关的其中的一种角,当条件是切线时,往往找弦切角,看弦切角所对的弧,再找弧所对的圆周角得两角相等。 (图1)4 遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 (图4)遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点。 (图5)一、圆中有切线，常作过切点的半径（有点，过圆心作切线的垂线）例1.如图，已知MN为O的直径，AP是O的切线，P为切点，点A在MN的延长线上，若 PA=PM，求A的度数。解：连结OP，设A的度数为x。PA=PM，M=A，同理可得OPM=M，POA=OPM+M=2M=2A=2x。又AP切O于点P，APOP，A+POA=90，即x+2x=90，解之得x=30，A=30。例2： 如图，PA是O的切线，切点是A，过点A作AHOP于点H，交O于点B.求证：PB是O的切线.证明：连接OA、OB.PA是O的切线，OAP=90.OA=OB，ABOP，AOP=BOP.又OA=OB，OP=OP，AOPBOP.OPB=OAP=90.PB是O的切线.例3.如图,AB为O的直径,C为O上的一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为D，求证1=2。证明：连结OC。DC切O于点C，OCDC。又ADDC，OCAD，1=3。OA=OC,2=3，1=2。评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。例4、如图，AB、AC与O相切有与B、C点，A = 50，点P优弧BC的一个动点，求BPC的度数。解：连结 OB、 OC ， AB、AC是O的切线 ABOB， ACOC，ABO = ACO = 90在四边形ABOC中，A = 50BOC = 360- A -ABO - ACO = 360- 50- 90-90 = 130 BPC = 12 BOC = 65例5、已知：MN 切O于A点，PC是直径，PB MN于B点，求证：PA2 = PB PC分析： PA2 = PB PC PAPB = PCPA PAB PCA 证明：连结AC、AP PC是O的直径 CAP = 90 PB MN PBA = 90 CAP = PBA MN 是0的切线 BAP = ACPPAB PCD PAPB = PCPA PA2 = PB PC在解决有关切线问题时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理；或者连结过切点的弦，利用弦切角关系，使问题得以解决。二、无公共点，利用圆心“作垂直，证半径”判定切线 1、 如图，在RtABC中，ABC = 90 ，BAC的平分线交BC于点D，以点D为圆心，DB长为半径作O。求证： AC与圆D相切。2、已知：ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切O于E点.求证：AD也和O相切. 习题一 题1 题2 1、 如图，P是O外一点，PA、PB分别和O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作O的切线分别交PA、PB于D、E，若PDE的周长为12，则PA长为_。 题 1 题2 题32、如图，ABC中，A=45，I是内心，则BIC= 。3、如图，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90，I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求RtABC的内心I与外心O之间的距离。 4、如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BCOA，连结AC，求阴影部分的面积。 题4 题55、已知：如图，AB是O的直径，BC是O的切线，连AC交O于D，过D作O的切线EF，交BC于E点.求证：OE/AC.习题二有公共点，利用公共点”连半径，证垂直”判定切线1、如图，在RtABC中，C = 90 ， BD是角平分线，点O在AB上以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E。(1)、求证：AC是O的切线。 (2)、若OB =10， CD = 8，求BE的长。利用切线的性质解边角问题 2、 如图，在O中， 点C是直径AB的延长线上一点，过点C作O的切线，切点为D，连接BD。(1)、求证：A= BDC； (2)、若CM平分ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM =1 时，求MN的长。利用切线的性质解与特殊四边形综合问题3、如图，AB是O的直径 ，BAC=90 ，四边形EBOC是平行四边形，EB交O于点D，连接CD并延长AB的延长线于点F。(1)、求证：CF是O的切