2020新教材高中数学 第九章 解三角形测评 新人教B版必修第四册

第九章解三角形测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在abc中,角a,b,c的对边分别是a,b,c,若abc=432,则2sina-sinbsin2c=()a.37b.57c.97d.107解析由题意2sina-sinbsin2c=2sina-sinb2sinccosc=2a-b2ccosc,因为abc=432,设a=4k,b=3k,c=2k,由余弦定理可得cosc=(16+9-4)k2243k2=78,则2sina-sinbsin2c=(8-3)k478k=107.故选d.答案d2.如图,从地面上c,d两点望山顶a,测得它们的仰角分别为45和30,已知cd=100米,点c位于bd上,则山高ab等于()a.100米b.503米c.50(3+1)米d.502米解析设ab=h,abc中,acb=45,bc=h,在adb中,tanadb=hh+100=33,解得h=50(3+1)米.故选c.答案c3.若sinaa=cosbb=coscc,则abc是()a.等边三角形b.有一内角是30的直角三角形c.等腰直角三角形d.有一内角是30的等腰三角形解析因为sinaa=cosbb,所以acosb=bsina,所以由正弦定理得2rsinacosb=2rsinbsina,2rsina0.所以cosb=sinb,所以b=45.同理c=45,故a=90.答案c4.在直角梯形abcd中,abcd,abc=90,ab=2bc=2cd,则cosdac=()a.255b.55c.31010d.1010解析如下图所示,不妨设bc=cd=1,则ab=2,过点d作deab,垂足为点d.易知四边形bcde是正方形,则be=cd=1,所以ae=ab-be=1.在rtade中,ad=ae2+de2=2,同理可得ac=ab2+bc2=5,在acd中,由余弦定理得cosdac=ac2+ad2-cd22acad=5+2-12252=31010.故选c.答案c5.如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔p的南偏西75距塔64海里的m处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的n处,则这只船的航行速度为()海里/小时.a.26b.46c.86d.166解析由题意pm=64,mpn=120,在pmn中,由正弦定理得pmsinpnm=mnsinmpn,即64sin45=mnsin120,得mn=326,所以船的航行速度为mn14-10=86(海里/小时).故选c.答案c6.在abc中,角a,b,c的对边分别是a,b,c,若bsin 2a+2asin b=0,b=2c,则ca的值为()a.1b.33c.55d.77解析因为bsin2a+2asinb=0,所以由正弦定理可得sinbsin2a+2sinasinb=0,即2sinbsinacosa+2sinasinb=0.由于sinbsina0,所以cosa=-22,因为0a,所以a=34,又b=2c,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bcosa=2c2+c2+2c2=5c2,所以ca=55.故选c.答案c7.一游客在a处望见在正北方向有一塔b,在北偏西45方向的c处有一寺庙,此游客骑车向西行1 km后到达d处,这时塔和寺庙分别在北偏东30和北偏西15,则塔b与寺庙c的距离为()a.2 kmb.3 kmc.2 kmd.1 km解析如图,先求出ac,ab的长,然后在abc中利用余弦定理可求解.在abd中,ad=1,可得ab=3.在acd中,ad=1,adc=105,dca=30,所以由正弦定理得acsinadc=adsindca,所以ac=adsinadcsindca=6+22.在abc中,由余弦定理得bc2=ac2+ab2-2acabcos45=8+434+3-26+22322=2,所以bc=2.故选c.答案c8.如图,某建筑物的高度bc=300 m,一架无人机q上的仪器观测到建筑物顶部c的仰角为15,地面某处a的俯角为45,且bac=60,则此无人机距离地面的高度pq为()a.100 mb.200 mc.300 md.100 m解析根据题意,可得rtabc中,bac=60,bc=300,所以ac=bcsin60=30032=2003;在acq中,aqc=45+15=60,qac=180-45-60=75,所以qca=180-aqc-qac=45.由正弦定理,得aqsin45=acsin60,解得aq=20032232=2002,在rtapq中,pq=aqsin45=200222=200m.故选b.答案b二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.在abc中,a,b分别是角a,b的对边,a=1,b=2,a=30,则角b为()a.45b.90c.135d.60或135解析由正弦定理,可得sinb=bsinaa=2sin30=22,又由ab,且b(0,180),所以b=45或135.故选ac.答案ac10.在abc中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是()a.b=10,a=45,c=70b.b=45,c=48,b=60c.a=14,b=16,a=45d.a=7,b=5,a=80解析选项b满足csin60bc,选项c满足bsin45ab,所以b,c有两解;对于选项a,可求b=180-a-c=65,三角形有一解;对于选项d,由sinb=bsinaa,且b0,可得sinasinbsinc=abc=456,故a正确;由c为最大边,可得cosc=a2+b2-c22ab=16t2+25t2-36t224t5t=180,即c为锐角,故b错误;由cosa=b2+c2-a22bc=25t2+36t2-16t225t6t=34,cos2a=2cos2a-1=2916-1=18=cosc,由2a,c(0,),可得2a=c,故c正确;若c=6,可得2r=csinc=61-164=167,abc外接圆半径为877,故d正确.故选acd.答案acd三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在abc中,a,b,c的对边的长分别为a,b,c,已知a=1,sin a=210,sin c=35,则c=.解析由正弦定理csinc=asina,得c=asincsina=135210=35102=32.答案3214.在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,c=6,则bccos a+accos b+abcos c的值是.解析因为cosa=b2+c2-a22bc,所以bccosa=12(b2+c2-a2).同理,accosb=12(a2+c2-b2),abcosc=12(a2+b2-c2).所以bccosa+accosb+abcosc=12(a2+b2+c2)=612.答案61215.为了研究问题方便,有时将余弦定理写成:a2-2abcos c+b2=c2,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数x,y,z,满足x2+xy+y2=9,y2+yz+z2=16,z2+zx+x2=25,则xy+yz+zx=.解析设abc的角a,b,c的对边分别为a,b,c,在abc内取点o,使得aob=boc=aoc=23,设oa=x,ob=y,oc=z,利用余弦定理得出abc的三边长,由此计算出abc的面积,再利用sabc=saob+sboc+saoc可得出xy+yz+zx的值.设abc的角a,b,c的对边分别为a,b,c,在abc内取点o,使得aob=boc=aoc=23,设oa=x,ob=y,oc=z,由余弦定理得c2=x2-2xycosaob+y2=x2+xy+y2=9,c=3.同理可得a=4,b=5,a2+c2=b2,则abc=90,abc的面积为sabc=12ac=6,另一方面sabc=saob+saoc+sboc=12xysin23+12yzsin23+12zxsin23=34(xy+yz+zx)=6,解得xy+yz+zx=83.答案8316.如图,海岸线上有相距5海里的两座灯塔a,b,灯塔b位于灯塔a的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔a的北偏西75,与a相距32海里的d处;乙船位于灯塔b的北偏西60方向,与b相距5海里的c处,此时乙船与灯塔a之间的距离为海里,两艘轮船之间的距离为海里.解析因为abc为等边三角形,所以ac=5.dac=180-75-60=45,在adc中,根据余弦定理得cd2=ad2+ac2-2adaccosdac=18+25-2325(22)=13,解得cd=13.答案513四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且asin b+1=bsin a+2cos c.(1)求角c的大小;(2)若a=2,a2+b2=2c2,求abc的面积.解(1)因为由正弦定理得asina=bsinb,所以asinb=bsina,2cosc=1,cosc=12.又0c,c=3.(2)由余弦定理得c2=a2+b2-ab,4+b2=2(4+b2-2b),解得b=2.sabc=12absinc=1222sin3=3.18.(12分)在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,已知sin2b+sin2c=sin2a+sin bsin c.(1)求角a的大小;(2)若cos b=13,a=3,求c的值.解(1)由正弦定理可得b2+c2=a2+bc,则cosa=b2+c2-a22bc=12,因为a(0,),所以a=3.(2)由(1)可知,sina=32,因为cosb=13,b为三角形的内角,所以sinb=223,故sinc=sin(a+b)=sinacosb+cosasinb=3213+12223=3+226,由正弦定理asina=csinc,得c=asincsina=3323+226=1+263.19.(12分)要测量对岸两点a,b之间的距离,选取相距200 m的c,d两点,并测得adc=105,bdc=15,bcd=120,acd=30,求a,b两点之间的距离.解在acd中,因为acd=30,adc=105,所以dac=180-30-105=45.由正弦定理得cdsin45=adsin30,且cd=200,所以ad=1002.同理,在bcd中,可得cbd=45,由正弦定理得bdsin120=cdsin45,所以bd=1006.在abd中,bda=105-15=90,由勾股定理得ab=ad2+bd2=2002,即a,b两点间的距离为2002.20.(12分)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin b=4asin c.(1)求cos b的值;(2)求sin2b+4的值.解(1)由正弦定理asina=csinc,则3cb=4ac,所以b=43a.而b+c=2a,则c=23a.故由余弦定理得cosb=a2+c2-b22ac=a2+49a2-169a22a23a=-14.(2)因为cosb=-14,所以sinb=154.所以sin2b=2sinbcosb=-158,cos2b=2cos2b-1=-78.所以sin2b+4=22(sin2b+cos2b)=22-158-78=-72+3016.21.(12分)如图,a,b是海面上位于东西方向相距4(3+3)海里的两个观测点,现位于a点北偏东45,b点北偏西60的d点有一艘轮船发出求救信号,位于b点南偏西60且与b点相距163海里的c点的救援船立即前往营救,其航行速度为24海里/小时.(1)求bd的长;(2)该救援船到达d点所需的时间.解(1)由题意可知:在adb中,dab=45,dba=30,则adb=105.由正弦定理absinadb=dbsindab,得4(3+3)sin105=dbsin45.由sin105=sin(45+60)=sin45cos60+cos45sin60=6+24,代入上式得db=83.(2)在bcd中,bc=163,db=83,cbd=60,由余弦定理得cd2=bc2+bd2-2bcbdcos60=(163)2+(83)2-21638312=242,cd=24,t=sv=2424=1.即该救援船到达d点所需的时间为1小时.22.(12分)如图,在abc中,c=4,角b的平分线bd交ac于点d,设cbd=,其中tan =12.(1)求sin a;(2)若cacb=28,求ab的长.解(1)由cbd=,且tan=12,0,2,sin=12cos,si