2020新教材高中数学 第九章 解三角形 9.1.1 正弦定理练习 新人教B版必修第四册

9.1.1正弦定理课后篇巩固提升基础巩固1.在abc中,下列关系式中一定成立的是()a.absin ab.a=bsin ac.absin ad.absin a解析由正弦定理,得asina=bsinb,所以a=bsinasinb,在abc中,0b=4,ab.b=6.故选a.答案a3.在abc中,已知b=3,c=8,a=3,则abc的面积等于()a.6b.12c.63d.123解析sabc=12bcsina=1238sin3=63.故选c.答案c4.在abc中,a=23,b=22,b=45,则a为()a.30或150b.60或120c.60d.30解析由正弦定理可得:asina=bsinb,sina=asinbb=232222=32.0a135,a=60或a=120.故选b.答案b5.在abc中,一定成立的等式是()a.asin a=bsin bb.acos a=bcos bc.asin b=bsin ad.acos b=bcos a解析在abc中,由正弦定理得asina=bsinb,即asinb=bsina.故选c.答案c6.在abc中,若a=30,a=2,b=23,则此三角形解的个数为()a.0个b.1个c.2个d.不能确定解析asina=212=1,1223,即asinaasin b,则ab,若ab,则sin asin b都成立d.在abc中,asina=b+csinb+sinc解析由正弦定理易知a,c,d正确.对于b,由sin2a=sin2b,可得a=b或2a+2b=,即a=b或a+b=2,所以a=b或a2+b2=c2,故b错误.故选b.答案b8.在abc中,a,b,c分别是a,b,c所对的边.若a=105,b=45,b=22,则c=,abc的面积为.解析c=180-105-45=30.根据正弦定理bsinb=csinc,可知22sin45=csin30,解得c=2.故abc的面积为s=12bcsina=12222sin105=226+24=3+1.答案23+19.已知在abc中,bc=15,ac=10,a=60,则cos b=.解析由正弦定理得acsinb=bcsina,所以sinb=acsinabc=103215=33,因为acbc,所以ba=60,则b为锐角,所以cosb=1-sin2b=63.答案6310.在abc中,若acosa2=bcosb2=ccosc2,则abc一定是三角形.解析由正弦定理得sinacosa2=sinbcosb2=sinccosc2,所以sina2=sinb2=sinc2.因为0a,b,c,所以0a2,b2,c22,所以a2=b2=c2,所以a=b=c.故abc为等边三角形.答案等边11.在abc中,a=2,c=2,sin a+cos a=0,则角b的大小为.解析因为角a是三角形的内角,所以a(0,),又因为sina+cosa=0,所以有tana=-1,所以a=34,由正弦定理可知:asina=csinc222=2sincsinc=12,因为a=34,所以c0,4,因此c=6,由三角形内角和定理可知:b=-a-c=12.答案1212.在abc中,求证:a-ccosbb-ccosa=sinbsina.证明因为在abc中,asina=bsinb=csinc=2r,所以左边=2rsina-2rsinccosb2rsinb-2rsinccosa=sin(b+c)-sinccosbsin(a+c)-sinccosa=sinbcoscsinacosc=sinbsina=右边.所以等式成立,即a-ccosbb-ccosa=sinbsina.能力提升1.在abc中,a,b,c所对的边分别为a,b,c,若c=3,a=45,b=75,则a=()a.2b.3c.1d.3解析因为a=45,b=75,所以c=180-45-75=60,在abc中,asina=csinc,所以asin45=3sin60a=2.故选a.答案a2.满足条件c=60,ab=3,bc=95的abc有()个a.0b.1c.2d.3解析由于bcsinc=9310395,所以abc有两解.故选c.答案c3.在abc中,若abac=2且bac=30,则abc的面积为()a.3b.23c.33d.233解析由abac=2,得bccos30=2,所以bc=43.由三角形面积公式得s=12bcsina=124312=33.故选c.答案c4.在abc中,角a,b,c的对边分别是a,b,c,acos b=(2c-b)cos a,则角a的大小为()a.6b.4c.3d.2解析由正弦定理得sinacosb=(2sinc-sinb)cosa,即sin(a+b)=2sinccosa,即sinc=2sinccosa,也即cosa=22,故a=4.故选b.答案b5.如图,a,b是半径为1的圆周上的定点,p为圆周上的动点,apb是锐角,大小为.图中pab的面积的最大值为()a.12sin +sin 2b.sin +12sin 2c.+sin d.+cos 解析在abp中,由正弦定理可得,absinapb=2r=2,则ab=2sin.sabc=12abh,当点p在ab的中垂线上时,h取得最大值,此时abp的面积最大.取ab的中点c,过点c作ab的垂线,交圆于点d,取圆心为o,则oc=ob2-bc2=1-sin2=cos(为锐角),cd=do+oc=1+cos.所以abp的面积最大为s=12abdc=12(2sin)(1+cos)=sin+sincos=sin+12sin2.故选b.答案b6.在abc中,角a所对的边为a,若a=2,且abc的外接圆半径为2,则a=.解析由正弦定理可得asina=4,所以sina=a4=12,0a,a=6或56.答案6或567.已知abc,ab=ac=4,bc=2.点d为ab延长线上一点,bd=2,连接cd,则bdc的面积是.解析过点a作bc垂线,交bc于点e,则ae=15,所以sinabc=154,则sincbd=sin(-abc)=154,所以sbcd=12bdbcsincbd=1222154=152.答案1528.在abc中,b=120,ab=2,a的角平分线ad=3,则ac=.解析如图,由正弦定理易得absinadb=adsinb,即2sinadb=3sin120,故sinadb=22,即adb=45.在abc,已知b=120,adb=45,即bad=15.由于ad是bac的角平分线,故bac=2bad=30.在abc中,b=120,bac=30,易得acb=30.在abc中,由正弦定理得acsinabc=absinacb.即acsin120=2sin30,故ac=6.答案69.abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知tan a=43,tan b=13,a=5.(1)求tan c;(2)求abc中的最长边.解(1)因为tanc=-tan(a+b)=-tana+tanb1-tanatanb=-43+131-49=-3.(2)由(1)知c为钝角,所以c为最大角,因为tana=43,所以sina=45.又tanc=-3,所以sinc=31010.由正弦定理得545=c31010,所以c=15108为最长边.10.在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知2c-ba=cosbcosa.(1)求角a的大小;(2)设a=22,b=3,求sin(2b-a)的值.解(1)由正弦定理可得2sinc-sinbsina=cosbcosa,即2sinccosa=sinacosb+cosasinb=sin(a+b)=sinc.因为sinc0,所以cosa=12.又a(0,),所以a=3.(2)由正弦定理asina=bsinb,得sinb=bsinaa=3sin322=368,所以cosb=1-sin2b=108.所以cos2b=1-2sin2b=1-2373