理论力学 第十四章虚位移原理

.,1,第十四章虚位移原理,.,2,141约束和约束方程142自由度和广义坐标143虚位移144理想约束145虚位移原理146以广义坐标表示的质点系的平衡条件147质点系在势力场中平衡的稳定性,第十四章虚位移原理,.,3,引言,已知如图所示结构，AC=CE=BC=CD=DG=GE=l，各杆自重不计。求系统平衡时力F和力F1之间的关系。,.,4,引言,问题的提出,静力学问题是否可以借助动力学的分析方法来求解呢？,微小角度,杠杆,由于在新的位置系统仍然平衡,（b）,条件（a）和条件（b）是等价的,杠杆的平衡条件可用作用力在平衡附近的微小位移中所作的功来建立。对于一般的非自由质点系是否能写出类似的平衡条件呢？答案是肯定的。,.,5,141约束和约束方程,一、约束,1、约束：事先对质点或质点系的位置或速度所加的限制条件。,图,.,6,141约束和约束方程,2、约束方程：将约束的限制条件通过质点或质点系中各质点的坐标或速度以数学方程来表示。,或,平面单摆,图,.,7,141约束和约束方程,纯滚动轮,图,.,8,导弹A追击目标B，要求导弹速度方向总指向目标。,141约束和约束方程,图,.,9,141约束和约束方程,初始时摆长l0,匀速v拉动绳子,约束方程中显含时间t,图,.,10,141约束和约束方程,.,11,141约束和约束方程,二、约束的分类,约束方程中不包含坐标对时间的导数，约束只限制质点的几何位置，而不限制速度。,几何约束：,约束方程中包含坐标对时间的导数，约束除了限制质点的几何位移还限制质点的速度。,运动约束：,几何约束,运动约束,几何约束,可积分的运动约束,不可积分的运动约束,完整约束,-非完整约束,运动约束,1、完整约束和非完整约束,.,12,141约束和约束方程,2、定常约束和非定常约束,约束方程中不显含时间t。,定常约束(稳定约束）：,定常约束,约束方程中显含时间t。,非定常约束(非稳定约束）：,非定常约束,.,13,141约束和约束方程,（用等式表示）,约束在两个方向都能起限制运动的作用。,双面约束：,（不等式表示）,约束只在一个方向起作用，另一方向能松弛或消失。,单面约束：,3、双面约束和单面约束,图,.,14,141约束和约束方程,双面约束,单面约束,本章我们主要研究完整的、定常的、双面约束。,约束方程一般形式为：,图,图,.,15,142广义坐标和自由度,一个自由质点在空间的位置：（x,y,z)需用3个坐标表示,一个自由质点系在空间的位置：(xi,yi,zi)(i=1,2n)需用3n个坐标表示，这3n个坐标是独立的。,对一个非自由质点系，受s个完整约束，3n个坐标需满足s个约束方程。只有（3n-s)个独立坐标。通常，n与s很大而3n-s很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的3n-s个相互独立的参数，要比用3n个直角坐标和s个约束方程方便得多。,一、自由度,确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。,.,16,142广义坐标和自由度,对一个非自由质点系，受s个完整约束，其自由度为k=3n-s。,例如：此球摆需满足一个约束方程,此平面小球是受约束的，如是自由质点则需2个坐标表示，有1个作用方程，2-1=1有一个独立的坐标，所以，此球摆具有一个自由度,.,17,142广义坐标和自由度,又例如：曲柄连杆机构中，空间A、B两个点3n六个坐标，,6-5=1，只有一个独立坐标，故此系统只有一个自由度,.,18,142广义坐标和自由度,二、广义坐标,一般，用直角坐标系表示非自由质点系的位置不太方便，可选择任意变量来表示质点系的位置。用来确定质点或质点系位置的独立变量或参数，称为广义坐标。,广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x,y,z,s等）也可以取角位移（如,等）。,.,19,142广义坐标和自由度,例1：曲柄连杆机构中,可取曲柄OA的转角为广义坐标，,广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。,则可惟一确定质点系的位置。,在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。,.,20,例2：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。,两个自由度取广义坐标，,约束方程,142广义坐标和自由度,在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。,.,21,一般地，设有由n个质点组成的质点系，受到s个完整、双面和定常约束，具有k=3n-1个自由度，取k个广义坐标q1、q2、qk确定质点系的位置，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。,142广义坐标和自由度,.,22,143虚位移,在给定瞬时，质点（或质点系）符合约束的无限小的假想的位移，称为质点（或质点系）在该瞬时的虚位移。,一、虚位移,虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号表示虚位移。,M,.,23,143虚位移,二、虚位移与微小实位移的区别和联系,1、虚位移与微小实位移的区别,实位移是在一定的时间内实际发生的位移，与质点系的受力和初始条件有关，有确定的方向；,虚位移是假想的、实际并未发生位移，并不经历时间与质点系的受力和初始条件无关，有多种可能的方向，是无限小量。,2、虚位移与微小实位移的联系,实位移和虚位移都要满足约束。,在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一；,而在非定常约束下，微小实位移不再是虚位移之一。,.,24,143虚位移,图,.,25,143虚位移,图,.,26,143虚位移,三、分析虚位移的方法,由于非自由质点系内各质点之间有约束联系，因此各质点的虚位移之间有一定的关系。而独立的虚位移个数就等于质点系自由度数。,1、几何法,在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。,因为虚位移是无限小位移，可选在可能发生的速度方向上分析，故可用运动学中求各质点速度之间的关系来分析各质点虚位移之间的关系。,.,27,143虚位移,2、解析法,质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数，质点系的任意虚位移可用广义坐标（q1,q2,qk）的k个独立的变分来表示，各质点的虚位移以及在直角坐标上的投影可以表示为：,.,28,143虚位移,质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数，质点系的任意虚位移可用广义坐标（q1,q2,qk）的k个独立的变来表示，求变分的方法与求微分类似。各质点的虚位移以及在直角坐标上的投影可以表示为：,.,29,143虚位移,.,30,143虚位移,例1、分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移。(已知OC=BC=a，OA=l)看书p321例题1,1、几何法,解：此为一个自由度系统，取OA杆与x轴夹角为广义坐标。,.,31,143虚位移,将C、A、B点的坐标表示成广义坐标的函数，得,2、解析法,对广义坐标求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：,.,32,144理想约束,一、虚功,力在质点发生的虚位移上所作的功称为虚功，记为。,二、理想约束（书p257),如果约束力在质点系的任何虚位移上的虚功之和等于零，则称这种约束为理想约束。,质点系受有理想约束的条件：,.,33,144理想约束,理想约束的例子：,1、光滑支承面,2、光滑铰链,3、无重刚杆4、不可伸长的柔索5、刚体在粗糙面上的纯滚动,一般，没有摩擦的约束都属于此类,.,34,145虚位移原理,一、虚位移原理（虚功原理）具有双面、理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的虚功之和等于零。即,解析式：,此方程又叫静力学普遍方程,.,35,145虚位移原理,证明：(1)必要性：即质点系处于平衡时，必有,质点系处于平衡选取任一质点Mi也平衡。,对质点Mi的任一虚位移，有,由于是理想约束,所以,对整个质点系：,.,36,145虚位移原理,(2)充分性：即当质点系满足，质点系一定平衡。若，而质点系不平衡，则至少有第i个质点不平衡。,在方向上产生实位移，取，则,与前题条件矛盾,故时质点系必处于平衡。,.,37,145虚位移原理,例2、如图所示，在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平面内的力偶（F，F），其力偶矩等于2Fl。设螺杆的螺距为h，求平衡时作用于被压榨物体上的压力。,.,38,145虚位移原理,图,.,39,145虚位移原理,研究以手柄、螺杆和压头组成的平衡系统。若忽略螺杆和螺母间的摩擦，则约束是理想的。,计算所有主动力在虚位移中所作虚功的和，列出虚功方程,给系统以虚位移，将手柄按螺纹方向转过极小角，于是螺杆和压头得到向下位移s。,作用于平衡系统上主动力为：作用于手柄上的力偶(F，F)，被压物体对压头的阻力FN。,FN,A,B,F,F,2l,解：,.,40,145虚位移原理,将上述虚位移s与的关系式代入虚功方程中，得,由机构的传动关系知：对于单头螺纹，手柄AB转一周，螺杆上升或下降一个螺距h，故有,即,解得,因是任意的，故,所求的压力与阻力的大小相等、方向相反。,.,41,145虚位移原理,例3、曲柄连杆机构静止在如图所示位置上，已知角度和。OA=r，AB=l。不计机构自身重量，求平衡时主动力FA和FB的大小应满足的关系。,.,42,145虚位移原理,图,.,43,145虚位移原理,解：,以rA和rB分别代表主动力FA和FB作用点的虚位移，如图所示。,可见A，B两点的虚位移大小之比等于,根据虚位移原理的平衡方程，有,从而解得,因AB是刚杆，两端位移在AB上的投影应相等，即,几何法,.,44,145虚位移原理,例4、已知图所示结构，各杆都以光滑铰链连接，且有AC=CE=BC=CD=DG=GE=l。在点G作用一铅直方向的力F，求支座B的水平约束反力FBx。,.,45,145虚位移原理,图,.,46,145虚位移原理,解析法,（1）系统自由度k=1,（2）以为广义坐标,（3）B，G两点的坐标分别为,（4）对以上各式取变分，有,用约束力FBx代替水平约束，并将FBx当作主动力。,解：,（5）由虚功方程：,由的任意性,.,47,145虚位移原理,例5、如图所示为连续梁。载荷F1=800N，F2=600N，F3=1000N，尺寸a=2m，b=3m，求固定端A的约束力。,.,48,145虚位移原理,.,49,145虚位移原理,用几何法求各点的虚位移。由图可知：,1.为了求出固定端A的约束力偶MA，可将固定端换成铰链，而把固定端的约束力偶视作为主动力。,(a),解：,设杆系的虚位移用广义坐标的独立变分表示，有,.,50,145虚位移原理,因广义坐标的独立变分为任意微量,代入式(a)得,故,.,51,145虚位移原理,.,52,145虚位移原理,2.为了求出固定端A的约束力FA，应将A端约束换成铅直滚轮，而把固定端的铅直约束力FA视作为主动力。,(b),用几何法求各点的虚位移。因杆AB只能平动，故：,设杆系的虚位移用广义坐标的独立变分yA表示,.,53,145虚位移原理,代入式（b）得,因，故,.,54,145虚位移原理,例6、如图所示三铰拱，拱重不计。试求在力F及力偶矩M作用下铰B的约束力。,.,55,145虚位移原理,.,56,145虚位移原理,解：,1.求铰B的水平约束力。解除铰B的水平约束，换成水平辊轴再加上水平约束力FBx，系统具有一个自由度。,三铰拱是一个受完全约束的结构，使用虚位移原理时，必须首先解除约束，赋予运动自由度。,虚位移原理给出：,给曲杆AC一微小转角，曲杆BC的转动中心在C*，可得各力作用点的虚位移分别为,FBx,D,A,M,F,C,a,a,a,a,A,B,.,57,145虚位移原理,.,58,145虚位移原理,2.求铰B的垂直约束力。解除铰B的垂直约束，换成垂直辊轴再加上垂直约束力FBy。给杆AC一微小转角，杆BC的转动中心在A，可得有关虚位移为,表示在x轴的投影。虚位移原理给出,B,M,F,C,A,FBy,D,.,59,146以广义坐标表示的质点系的平衡条件,虚位移原理,其中：各主动力作用点的虚位移并不独立，需要在求解时找到虚位移之间的关系。,又,代入虚功方程：,（广义坐标的变分是独立的）,.,60,146以广义坐标表示的质点系的平衡条件,交换求和次序：,.,61,146以广义坐标表示的质点系的平衡条件,.,62,146以广义坐标表示的质点系的平衡条件,是相互独立的广义坐标的变分，可以认为是对应于广义坐标的广义虚位移。,为对应于广义坐标的广义力,记为：,.,63,146以广义坐标表示的质点系的平衡条件,可改写为：,完整约束系统，广义坐标的变分是独立的,具有完整、双面和理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要和充分条件是：对应于每一个广义坐标的广义力等于零。,k个自由度的系统可确定k个独立的方程,.,64,146以广义坐标表示的质点系的平衡条件,求广义力的方法：,1、解析法,1）计算主动力在直角坐标轴上的投影；,2）将各主动力作用点坐标写成广义坐标的函数并求偏导数；,3）利用上式求对应每一个广义坐标的广义力。,.,65,146以广义坐标表示的质点系的平衡条件,2、几何法,1）给质点系一组特殊的虚位移：,3）,令：,2）利用几何法求主动力系在该组虚位移上的虚功。,.,66,146以广义坐标表示的质点系的平衡条件,3、特例：,如果质点系所受的主动力,均为有势力，则质点系存在势能函数：,根据有势力与势能函数的关系：,.,67,146以广义坐标表示的质点系的平衡条件,例7、杆OA和AB以铰链连接，O端悬挂于圆柱铰链上，如图所示。杆长OA=a，AB=b,杆重和铰链的摩擦都忽略不计。今在点A和B分别作用向下的铅垂力FA和FB，又在点B作用一水平力F。试求平衡时1，2与FA，FB，F之间的关系。,.,68,146以广义坐标表示的质点系的平衡条件,系统有两个自由度。现选择1和2为系统的两个广