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1947 电信号 关联 分析

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黄河科技学院毕业论文 第 页 脑电信号的关联维数分析摘 要 近年来，非线性动力学方法在脑电信号分析领域发挥着越来越重要的作用。关联维数是刻画脑电信号非线性动力学特征的重要参数，它对脑电信号的变化非常敏感，反映了大脑活动的细微变化，其数值的大小可以用来刻画与区分大脑功能状态。计算关联维数的前提是相空间重构，而相空间重构的关键是正确选择重构参数时间延迟和嵌入维数。常用的计算关联维数的方法为G-P算法，但这种方法效率较低。本论文首先采用自相关法、互信息法确定重构相空间时的延迟时间，然后采用G-P算法及其改进算法计算脑电信号的关联维数，并由关联维数的物理意义出发考察关联维数与大脑思维活动之间的关系，从而深入了解关联维数的生理意义。关键词： 脑电信号，关联维数，G-P 算法 黄河科技学院毕业论文 第 I 页 Calculation Of The Correlation Dimension Of The EEG Signal Author:Yang Kui Tutor:Cai Chao-fengAbstractIn recent years, nonlinear dynamics plays an ever-increasing important role in the field of electroencephalogram (EEG) analysis. As an important index to describe the nonlinear dynamic characteristic of EEG signal. The correlation dimension is very sensitive to the variation of the EEG signal. The value of correlation dimension reflects the subtle changes in brain activity, so it can be used to represent and distinguish the states of cerebral activities. The calculation of the correlation dimension is based on the phase reconstruction. It is the key to determine the best delay time and embedding dimension for phase reconstruction. The G-P calculation is commonly used for the calculation of the correlation dimension, but the efficiency of G-P algorithm is low. In this dissertation, the auto-correlation method and the mutually information method are employed to determinate the delay time for restructuring phase space. Then the G-P algorithm and its revised version are used to calculate the correlation dimension. At last, we study the relationship between the correlation dimension and brain activity, thus help us understand the physiological significance of the correlation dimension.Key words: EEG signal,Correlation dimension,G-P algorithm黄河科技学院毕业论文第 II 页 目 录1 绪论11.1 脑电基础知识11.2 脑电信号分析11.2.1 频域分析11.2.2 时域分析21.2.3 时/频域分析方法31.2.4 非线性分析41.2.5 MATLAB 简介及应用52 方法62.1 相空间重构62.2 关联维数92.2.1 基于 G-P 算法的关联维数的计算 102.2.2 基于改进 G-P 算法的关联维数的计算 113 结果143.1 思维脑电数据143.2 脑电数据预处理153.3 计算结果154 总结与展望20致谢20参考文献22附录24 黄河科技学院毕业论文 第 0 页 1 绪 论1.1 脑电基础知识 随着科学技术的不断进步，人们对大脑功能的认识不断深入。近 20 年以来一个新的研究领域脑电信号的分析与处理正蓬勃发展。研究发现，当人们打算进行某种行为时，大脑中会产生相应的生理信号，而正是这些相应的生理信号反应了人们的意图，并通过神经系统控制肌肉来实现人们的意图，这就是所谓的脑电信号。 脑电信号（electroencephalogra，简称 EEG）检查现已在神经精神科的临床诊断中起着重要的作用，已经发现许多脑病和精神疾病与 EEG 异常相关。也常用来做睡眠分析、麻醉深度的监护等。临床脑电图的分析大多是脑电图专家通过目测标注的方法来理解和评价 EEG，容易引起误差和疲劳，且使得临床上多导 EEG 的“数据压缩”和“特征提取”一直停留在主观处理水平上1。60 年代后，计算机辅助 EEG分析和 EEG 自动分析系统的开发研究，从工程角度提出许多对 EEG 信号进行分析的方法，并取得了一些进展和成绩。1.2 脑电信号分析自从 1924 年 H.Berger 首次完整地从大脑皮层上记录脑电信号以来，人们尝试用各种各样的方法来分析脑电信号，并在许多领域取得了令人满意的成果2。 1932 年，Dietch 首先用傅里叶变换进行了 EEG 分析。此后，该领域相继引入了频域分析、时域分析等脑电图分析的经典方法。频域分析方法主要是基于 EEG 各频段功率、相干等，而时域分析方法则主要分析 EEG 波形的几何性质，如幅度、均值、方差、偏歪度、峭度等。近年来，如小波分析、神经网络分析、混沌分析等在脑电图分析中的运用，代表了脑电信号现代分析方法的新进展。1.2.1 频域分析 频域分析是脑电研究及临床应用中的主要分析方法，研究者们在这个领域进行了大量的工作，有些已日臻成熟。 第一，功率谱估计，功率谱估计是频域分析的主要手段。它的意义在于把幅度随时间变化的脑电波变换为脑电功率随频率变化的谱图，从而可直观地观察到脑电节律的分布与变化情况。 黄河科技学院毕业论文 第 1 页 谱估计法一般可分为经典方法与现代方法。经典的谱估计方法也是直接按定义用有限长数据来估计。主要有两条途径：（1）先估计相关函数，再经傅氏变换得到功率谱估计根据维纳-辛钦定理。 （2）把功率谱和幅频特性的平方联系起来，即功率谱是幅频特性平方的总体均值与持续时间之比，是在持续时间趋于无限时的极限值。这两种方法存在的共同问题是估计的方差特性不好，而且估计值沿频率轴的起伏甚剧，数据越长，这一现象越严重。 为了避免经典谱估计存在的缺点，近年来发展了各种现代谱估计技术，参加模型法是其中应用最为泛的一种方法。在 EEG 信号处理中应用也较为普遍。参数模型法的优点是频率分辨率高，特别适用于短数据处理，而且谱图平滑，有利于参数的自动提取和定量分析，因此适合于对 EEG 作动态分析。目前在 EEG 分析中应用较多的是 AR 模型谱估计技术。由于脑电是非平稳性比较突出的信号，估计时一般要分段处理，而 AR 模型谱比较适用于短数据处理，因此就更适合于对脑电作分段谱估计。但这种方法对被处理信号的线性、平稳性及信噪比要求较高，因此不适合对长数据的进行分析处理。 第二，相干分析，相干函数表示两个函数（如两导程脑电图）之间的振幅、频率和相角的相应性的度量。在脑电研究领域里，该函数表示了大脑不同部位活动的相干性。相干分析计算如下： (1-1) fGfGfGryyxxxyxy2 表示频率，、 、分别表示导、导 EEG 的功率谱及、导fxGyGxyGXYXYEEG 的互功率谱。为相干系数，其取值范围为（0，1） 。当说明两导程之间xyr1xyr是完全相干的，即一个导程信号完全由另一个导程决定；当=0 表明这两个导程之xyr间的信号不相干，亦即这两个导程是完全独立的当，在在（0，1）之间时，两个xyr导程的信号间存在着部分相干性，其大小与之值相对应，其余部分则可能来自两xyr个导程本身的独立活动或人体内外的扰动。相干分析法的算法简单，能刻画脑不同部位的活动在节律上的一致性，但不能取得大脑活动的瞬态特性4。1.2.2 时域分析直接从时域提取特征是最早发展起来的方法，因其它直观性强、物理意义较明 黄河科技学院毕业论文 第 2 页 确，至今仍为不少脑电图工作者使用。过去的 EEG 分析主要靠肉眼观察，可看作是人工时域分析。尽管大量脑电信息从频域观察更为直观， 但也有些重要信息在时域上反映更为突出，如反映癫痛信息的棘慢波，反映睡眠信息的梭形波等瞬态波形。因此时域分析在目前脑电定量化分析中同样占有重要的位置。时域分析主要是直接提取波形特征， 以供进一步的分析和诊断。如过零截点分析、直方图分析、方差分析、相关分析、峰值检测及波形参数分析、相干平均、波形识别等等， 而且近年来在波形特征识别、模板识别及在自适应滤波等技术上均取得了不少进展。此外，利用 AR 等参数模型提取特征，也是时域分析的一种重要手段，这些特征参数可用于 EEG 的分类识别和跟踪。1.2.3 时/频域分析方法时、频域分析方法通过傅氏变换联系起来，它们的截然分开是以信号的频率时不变特性或统计特性平稳为前提的。为了能够反映生物医学信号等非平稳信号的频域特性随时间的变化情况，工程技术上通常采用两类方法，分别为时窗法与频窗法。但严格地说，时窗法与频窗法存在同样的问题，即时域与频域分辨率的“不确定性原理”也称测不准原理。欲在时域上分辨的愈细致，则在频域上分辨的愈模糊，反之亦然。因此更合理的方法是把时频两域结合起来表示信号。目前应用较为广泛的方法有维格纳分布（Wigner-Vile Distribution，WD）和小波变换理论8。第一，维格纳分布信号 X(t)的 WD 分布： （1-detXtXwtWDjwx22,2） 可以看作是函数对的傅里叶变换，其等效频域表示 22,txxxtrx是： （1-dewxwxwtWDj2221,3） WD 具有极高的时频分辨率及许多优良的性质，如对称性、时移性、频移性或频域压扩特性、组合性、复共扼关系、可逆性、归一性等。WD 用于不同状态下EEG 的分析，可以得到不同大脑活动状态下 EEG 信号的时频谱结构。WD 分析方法 黄河科技学院毕业论文 第 3 页 可以揭示 EEG 的瞬态特性，但不能很好地反映 EEG 的趋势性变化阵5。 第二，小波变换的数学形式是由 Grossman 和 Morlet 于 1984 年提出的。1987 年，Mallat 巧妙地将多尺度分析的思想引入小波分析中，包括小波函数的构造及信号按小波变换的分解及重构，与此同时，Daubechies 构造了具有有限支集的正交小波集。至此，小波分析的系统理论得以初步建立。小波分析中的正交函数系是在选择适当的基本小波(母波)后，通过二进制的伸缩和平移来产生其“小波” 。小波分析相当于一个数学显微镜，具有放大、缩小和平移功能，其作用类似于一组带宽相等、中心频率可变的带通滤波器。小波分析在高频时使用短窗口，而在低频时使用宽窗口，充分体现了常相对带宽频率分析和适应变分辨率分析的思想，从而为信号的实时处理提供了一条可能途径困。现在用小波变换中的多尺度分析可以根据 EEG 中的棘波、棘慢波及伪差在不同尺度上表现不同而检测这些异常波。1.2.4 非线性分析有人把混沌的概念引人EEG分析，研究了大脑在不同状态下EEG的关联维数、李亚谱诺夫指数，旨在用这些参数揭示大脑活动的某些规律。如不同睡眠期的EEG关联维数随着睡眠深度的增加，关联维数会减少3。普通意义上，混沌只是意味着混乱、无秩序，而在非线性动力学系统中，混沌一词则有更精细的十分不同的意义。为了区别，把前一种混沌称为线性平衡态热力学混沌，后一种混沌称为非线性动力学混沌。最早创立混沌理论的著名气象学家洛伦兹认为混沌这个术语泛指这样的过程：混沌系统是指敏感地依赖初始条件的内在变化的系统，而对外来变化的敏感性本身并不意味着混沌。混沌理论创始人诺曼.帕卡德认为混沌现象有三个名称，即蝴蝶效应、对初始条件的敏感性依赖、信息繁殖3。卡帕德指出在决定论中也会存在随即行为，这是混沌的一种特定属性。初始状态失之毫厘，最终状态就会谬以千里。初始状态微小的差别随系统的演化越变越大。表现混沌行为的动力学模型可能很简单（例如 Logistic 映射） ，但却是不可推到的。中国科学院院士郝柏林教授对混沌的定义是：某些完全确定的系统，不加任何随机因素就可能出现类似布朗运动的行为，使得系统的长期行为必须借助概率论方法描述，这就是混沌4。心脏的活动是一个混沌的运动。因此利用 Lyapunov 指数、关联维数等分析心电 黄河科技学院毕业论文 第 4 页 信号的混沌特性已有科学根据。概括地说，混沌就是确定性的非线性系统所具有的内在随机性，它具有以下特征： 第一，对初始条件极端敏感，从长期意义上来说，混沌系统的为了行为是不可预测的； 第二，混沌在状态空间中表现为奇怪吸引子，它在有限的相空间几何体内具有无穷嵌套的自相似结构；第三，混沌系统的频谱是连续的，它类似于噪声的频谱，具有连续的宽频带；第四，混沌系统的 Lyapunov 指数至少有一个大于 0 的数。由于脑电的复杂性与混沌特性，脑电信号的非线性特性已经得到了证实，学术界也尝试用非线性动力学方法来分析脑电信号，并利用诸如关联维数、Lyapunov指数、哥氏熵、复杂度等非线性动力学参数来刻画脑电信号。计算这些动力学参数的前提是对其进行非线性重构，而如何选择正确的重构参数，最大限度地防止在对脑电信号重构的过程中信息量的丢失，这又是对脑电信号进行有效的非线性重构的关键4。1.2.5 MATLAB 简介及应用 随着计算机技术的快速发展计算机软、硬件得到广泛应用。由于软件的良好移植性及硬件的局限性，人们越来越多地在合适的场合用软件代替硬件。数字信号处理实验设备价格高昂，而 MATLAB 具有强大的仿真功能和良好的仿真效果，可用来开发仿真实验软件，以代替实验设备。 MATLAB 是 MathWorks 公司于 1982 年推出的一种功能强大、效率高、交互性好的数值计算和可视化计算机高级语言，它将数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示有机地融合为一体，形成了一个极其方便、用户界面友好的操作环境。随着它自身版本的不断提高，MATLAB 的功能越来越强大，应用范围也越来越广泛，如数字信号处理、数字图像处理、仿真、自动控制、小波分析、神经网络、数理统计等领域都能够利用它来完成各种功能，所以使用它来进行数字信号处理已经越来越广泛了。MATLAB 是一种用于科学工程数值计算和可视化的人机交互式和基于矩阵的体系，在工程技术界，MATLAB 被用来解决一些实际课题和数学模型问题。典型的应用包括数值计算、算法预处理与验证，以及一些特殊的矩阵计算应用，如自动控制 黄河科技学院毕业论文 第 5 页 理论、数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等，集科学计算、图像处理、语音处理于一身。在计算关联维数时，通常采用 MATLAB 来进行辅助设计和仿真。2 方 法2.1 相空间重构应用混沌理论求解时间序列分析问题，需要解决三个问题，即时间序列的混沌性质识别或时间序列性质、重建系统相空间、系统的混沌预测方法。时间序列性质鉴别以及进一步的混沌分析，都需要在空间中进行，所以重建相空间是混沌时间序列分析的基础5。在实际问题中，我们可以通过提取决定系统长期演化的任一单变量时间序列来研究系统的混沌行为。因为时间序列是许多物理因子相互作用的综合反映，任一变量的演化都是由与之相互作用着的其它分量所决定的，它蕴含着参与运动的全部变量的信息。当我们得到一个等时间间隔的单变量的时间序列后，传统的做法是直接从这个序列去分析它的时间演变，这有很大的局限性13。因为混沌运动至少要在三维自治运动力系统中才能出现，所以我们要把时间序列扩展到三维或更高维的空间中去，才能把时间序列的混沌信息充分的显露出来，这就需要我们对相空间进行重构。相空间重构是相图分析、关联维和 Lyapunov 指数计算的关键。所谓相空间，是指状态变量支撑起的抽象空间。相空间里的一个点（即相点） ，表示了系统在某时刻的一个状态，而相空间里的相点的连线，构成了点在空间的轨迹。相轨迹表示了系统状态随时间的演变。相空间是非线性的空间，可以是维的，n也可以是无穷维的。相空间把系统中每一点的实质性信息都抽象出来，从而揭示了其它方式看不见的运动模式。这对于研究复杂的系统运动来说，是一种很有力的工具。对于复杂的动力系统： =1,2,d (2-1)12(,)iiddxf x xxdti 黄河科技学院毕业论文 第 6 页 通过消元法可将方程（2-1）变换成一个阶非线性微分方程：m (2-2)( )(1)(1)( ,)ddxf x xx变换后系统的新轨迹为： (2-3)(1)( )( ( ),( ),( ),( )dx tx tx tx txt将其离散化并用差分方程代替各阶导数，最适当简化后有： （2- ,.,1x tx tx tx td4）式（2-4）即为延迟时间重构的系统运动相空间，为延迟时间，为相空间的嵌d入维数6。这样重构的相空间中轨线的分布或结构（吸引子）便可反映系统的运动特征。由于 3 是形象地画出来的最大维数，仅想由相空间吸引子的表现对系统的运动性质作初步了解，则可取等于 2 或 3。稍微仔细分析便可看出，这样重构的二维相平d面或三维相空间中的吸引子与相平面或相空 txtx, 2,txtxtxxx,间相似。当重构相空间中的轨迹最后趋于一点时（即所谓吸引子是一个点） ，xxx ,这表示系统处于稳定定态；如果轨线最后趋于一团曲线（吸引子为一闭曲线） ，这表明系统在作周期运动；如果轨线最后是杂乱无章地密集在一有限范围内，这表示系统在作随机运动；如果轨线分布具有某些特殊的结构（即所谓奇怪吸引子） ，则系统的运动很可能是混沌。重构相空间最简单做法是取，由此得到在二维平面上的吸引子图形。1, 2m这种重构相空间也就是一种离散映射，称为返回映射。但是如果要充分了解系统运动和特征。这种返回映射毕竟过于简单6。因为当系统的状态变量数较大时，其N在低（2 或 3）维欧几里得空间中的轨线必然要相交，从而有能明确地表达系统的动态规律。因此，只有维数足够大时，才能把轨线分布结构（吸引子）充分地展开，d即去掉其中交点之类引起的不确定性，这样才能确定地表达系统的运动规律，由此计算出来的物理量才能真正与表征系统运动的特征量。在重构相空间中，延迟时间和嵌入维数的选取都具有十分重要的意义，在下文将会认真分析。d 相空间重构过程中，延迟时间的选择至关重要，其值既不能太小也不能太大。若时间延迟的取值太小，任意两个相邻的延迟坐标和在数值上过于接近，从iX1iX 黄河科技学院毕业论文 第 7 页 统计的角度来看，两点的彼此相关性过大，实测数据中含有各种噪声对算出来的关联维数值肯定会有影响，不能作为两个独立的坐标；相反，若时间延迟t的取值太大，任意两个相邻的延迟坐标和彼此相互独立，相关性太小（使数据间失去原动iX1iX力系统的本质固有联系） ，所描述的动力系统信号失真，由此算出来的关联维数根本是不可信的。若要求能反映原动力学系统的整体信息，则需要更多的原始数据，这会在实际计算中增加更多的计算时间。综合而言，最佳时间延迟选择的原则是使得重构系统在统计意义下为独立时的尽可能小的值7。当把时间延迟作为一个独立的重构参数来考虑时， 最佳时间延迟的确定主要遵循以下两条原则：一是序列相关性原则。信号的重构将使得重构信号的各元素iX之间的相关性较原始信号而言有所减小，同时要保证重构信号中中包含原动力学iX系统的所有信息，或者信息的丢失量很少。基于这种原则下的方法主要有自相关法、互信息量法、高阶相关法等。（1）自相关函数法确定最佳延迟时间自相关函数法是非常成熟的求时间延迟的方法，它主要是提取序列间的线性相关性。一般的，对于一个时间序列，先写出自相关函数，当自相关函数下降tx到初值的时，此时所得的时间就是重构相空间的时间延迟，因为此时使e11与线性无关的最小值。txtx对于变量的时间序列，自相关函数表达式为6：tx12,nx xx （2- 121( )niiixxCnx5）其中是时间的移动值， 为时间序列的均值，为时间序列的标准差： （2- 221niixxn6）自相关函数表示下标为 和的时刻，运动的互相关联或者相似程度。当时间ii序列的幅值一定时，越大，则和越相似，从而越大；反之，越大，ix Cixix C和的差别可能越来越大，以至完全无关，从而越来越小直至趋近于零7。ixix C 黄河科技学院毕业论文 第 8 页 （2）互信息法确定最佳延迟时间 自相关函数的优点是计算简单，但它只是描述变量间线性相关程度的一种方法，并不适用于所有情况。对于非线性系统，应该采用能反映一般性关联的量来确定延迟时间。互信息函数可将非线性关系也考虑在内，因此Fraser等人将互信息函数第一个局部量最小值所对应的时间作为延迟时间。 互信息法是估计重构相空间延迟时间的一种有效方法，它在相空间重构中有着广泛的应用。考虑两个离散信息系统和构成的系统nssss32, 1,nqqqq321,和。根据信息论的知识，从两个系统测量中所获得的平均信息量，即信息熵分SQ别为8： （2- niisiisPsPSH12log7） （2- jqjmjqqPqPQH21log8） 其中和分别为和中事件和的概率。 issP jqqPSQisjq 在给定的情况下，我们得到的关于系统的信息，称为和的互信息，用SQSQ下式表示： SQHQHSQI|, （2-9）其中 （2- isjisqjisjisqisPqsPsPqsPsQH,log,|210）因此有 （2- jqisjisqijjisqqPsPqsPqsPSQI,log,211） 其中为事件和的联合分布概率8。 jisqqsP,isjq 定义，即 代表时间序列，为其延迟时间为的时间序 txtxqs,stxq 黄河科技学院毕业论文 第 9 页 列，则显然是与时间延迟有关的函数，记为。的大小代表了txSQI, I I在已知系统即的情况下，系统也就是的确定性大小，表示StxQtx 0I完生不可预测，即和完生不相关；而的极小值则表示了和txtxtx Itx是最大可能的不相关，重构时使用的第一个极小值作为最优延迟时间。tx I互信息函数是两个随机变量间一般性随机关联的度量，是非线性的分析方法，在延迟时间的选取上要优于自相关函数法。这种通过计算互信息函数第一极小值来确定延迟时间的方法效果较好9。本文用 MATLAB 实现，详见附录 1。2.2 关联维数在非线性动力学系统的研究中，关联维数反映了系统的几何自相似特性，是混沌系统的重要特征。EEG的关联维数被认为是对大脑复杂度的度量，计算最常2d2d用的是Grassberger和Procaccia提出的利用关联积分计算关联维数的G-P方法。2.2.1 基于 G-P 算法的关联维数的计算1983 年，Grassberger 和 Procaccia 利用嵌入理论，提出了用时间序列直接计算关联维数的算法，简称 G-P 算法。计算方法如下：对长度为 N 的时间序列，用时延法构成长度为，维数为 m 的相空间。重构mN相空间的维数 m 称为嵌入维数。设原始信号时间序列为，将其重构12,Nx xx转化为 m 维空间，得到的相空间轨道为10： （2-12）121 ,iiiiimXx xxx其中为时间延迟，。，是重构空间中向量的个m，Ni2 , 1(1)mNNm数。从时间序列重构相空间的过程中，为了保证该相空间容纳原状态空间吸引子的特征，嵌入相空间的维数 m 应足够大。Takens1980 年证明了嵌入维数 m2d+1（d为原状态空间的吸引子所处空间的维数） 。m 选得太小，动力系统的几何结构不能完全打开；另一方面，嵌入维数过大又会降低计算的可靠性，因此嵌入维数也不能选择太大。相空间重构过程中，延时的选择也很重要。过小将影响数据间的真实自相关性，过大会使延迟坐标之间毫不相关，使数据间失去原动力系统的本质固有联系，使时序所描述的动力系统信号失真，由此计算出来的关联维数根本是不可信的。 黄河科技学院毕业论文 第 10 页 在相空间重构过程完成后，吸引子的关联维数可由下面关联积分导出11： （2- mmNiNjijmmHNN1111C13）式中为信号的关联积分函数；为相空间中超球半径即相空间尺度；m 为 C嵌入维数；表示从这个样本点中任意两点与的欧式距离12：ijmNixjx （2-21102mlljlijiijxxxx14） 为 Heaviside 函数：H （2- 1,00,0xH xx15）关联积分其含义是统计重构后相空间中两点间距离小于的点对个数占总 C点对个数的比率。即 （2- 所有相点对数目的相点对数相点间距小于C16） 在一定范围内关联积分与有如下关系： C （2- mDC017）当，时，的饱和值就是关联维数，可由下式求出：0N mD2d （2- lnlnlim02Cd18） 一般情况下，画出标度曲线，取标度线中的直线部分作为标度区， lnlnC通过最小二乘法拟合直线求得。在实际计算中，要注意的初值选取：若取得太小，以为半径的球中未包含进任何点，程序运行得出的关联积分函数值为零；若取得太大，超过点集半径，以至所有点都包含到球中来，拟合的积分曲线成为水平，得不到真实的关联维12。本文采用 MATLAB 实现，详见附录 2。实际计算中，要注意的初值选取：若取得太小，以为半径的球中未包含进 黄河科技学院毕业论文 第 11 页 任何点，程序运行得出的关联积分函数值为零；若取得太大，超过点集半径，以至所有点都包含到球中来，拟合的积分曲线成为水平，得不到真实的分维值。实际中，最初选取的至少要包含一点或少量点，继续搜索，直至饱和，拟合出理想的积分曲线。取值太小数据会容易受到噪声的影响13。通常选取的办法是：在某个嵌入维数范围内，改变相空间的大小，构出曲线，取图中更接近直线的部分对应的作为标度区的选取范围，然后 lnlnC根据选取的，重新计算关联维数。另一方面，测量尺度 的步长也要有一定的取值范围，步长取得太大，所有点r对数均包含在内，反映不出系统的内部性质；反之，步长取得太小时，系统中 C一切偶然噪声都会表现出来。只有步长在一段适当的取值内，与才会表现出 C的关系，此时值是关联维数的一个很好的逼近14。 mDC mD2.2.2 基于改进 G-P 算法的关联维数的计算 传统的G-P 算法有很多弊病，其中很突出的一点就是运算工作量大，计算速度非常缓慢。在实验的基础上，发现传统的G-P 算法有存在着大量的重复和冗余的计算，在Farmer 等人的研究基础上，下文提出了行之有效的改进算法，可以大大地提高计算速度，并且通过实验证明，改进算法是完全可行的，完全能够满足信号分析要求。（1）改进G-P算法一由于远远大于 1，所以式（2-13）一般近似表示为15：mN （2- mmNiNjijmHNC112119） 观察式(2-14) 和式(2-19) ，知， 即计算的参考点与其余吸引子上点的距离jiij是对称的。于是，根据定义可以将式（2-19）简化为： C （2- mmNiNjijmmHNNC111120）记 黄河科技学院毕业论文 第 12 页 （2- mNjijmiHNC1121） 即表示参考点周围半径为的维空间所能包含矢量的概率。然后由对称性 iCiXm可知，对于只须考虑的情况，这对于整体来说是一样的，于是有： iCij （2- mNijijmiiNC1H122）共有个参考点，所以：mN （2- mmmNiNijijNimHiNC111123）化简得： （2- mmNiNijijmmNNC11H1224） 可以看出，其运算工作量约为，比传统G-P 算法的工作量减小了一半16。2N2m（2）改进的G-P算法二 根据相关积分定义：参考点周围半径为的维空间所能包含矢量的概率， Cm可知 是一个统计事件，而吸引子的密度是非常高的。因此，可以对参考点进行 C等间隔选取，没有必要遍历吸引子上的每一点。假设在相空间轨道上以间隔等距离地选取参考点，则参考点的总数为，根据相关积分定义（2-20） ，mrefNN C于是有13： (2- refmrefmNiNijjiNirefmrefNijijmrefHNNNHiNNC11111221125）由上式可以知道，利用改进算法二计算关联积分函数的计算工作量为： C （2-222ref12222212NmmmmrefmNNNNNN 黄河科技学院毕业论文 第 13 页 26）其中N远远大于1，如此又可在改进算法一的基础上进一步节省计算时间，当取值为1时，其实质为改进算法一，当取值为3时，其计算工作量为，此时的计算工作量略为传统G-62mNP算法的17。613 结果 黄河科技学院毕业论文 第 14 页 3.1 思维脑电数据本文中的实验数据来自于Colorado州立大学EEG研究中心提供的思维脑电数据。受试者坐在隔音的光线微弱的房间里，头戴电极帽，电极按国际10- 20系统标准安放在C3、C4、P3、P4、O1、O2 位置，如图3-1所示，左眼上面和下面单独放两个电极，取它们的均值作为眼电信号，所有电极的阻抗都小于5 K，模拟带通滤波范围为0.1 Hz100 Hz，采样频率为250 Hz。数据提供了7个受试者的思维脑电数据，每个受试者进行多次心理实验作业，每次思维作业采集的数据长度为10 s18。图 3-1 电极位置示意图 受试者的五种心理作业为： （1）静息心理实验作业（baseline task，以下简称 task 1）：受试者尽可能放松，不进行任何思维活动； （2）心算乘法（math task，以下简称 task 2）：受试者在不出声和没有任何身体动作的情况下想象进行比较复杂的乘法运算：如4978； （3）打信件腹稿（letter task，以下简称 task 3）：受试者在不出声和没有任何 黄河科技学院毕业论文 第 15 页 身体动作的情况下想象给某位亲人或朋友写一封信； （4）想象几何图形旋转（geometric figure rotation，以下简称 task 4）：受试者想象将一个三维图形绕某个轴旋转； （5）想象在黑板上书写数字（visual counting task，以下简称 task 5）：受试者想象将数字一个一个写在黑板上。 3.2 脑电数据预处理由于在医学信号的采集过程中，头皮脑电的记录数据常常混入一些心电、肌电、快速眼动、眨眼、工频干扰等。这些伪迹将会妨碍人们对脑电的观察和分析，因此除去这些伪迹是必要的。处理伪迹最简单的方法就是抛弃含有伪迹的信号段，但是这种方法同时也将有用的信息抛弃掉了。另一种广泛应用于去除眼活动有关伪迹的方法是基于时域或频域的回归方法，但是采用回归方法去除眼电的同时，与眼电相关的脑电信号也被删除。独立分量分析（ICA）是近年发展起来的一种新的统计方法。其基本思想是将观察信号按统计独立的原则通过优化算法分解为若干独立成分。我们首先运用独立分量分析（ICA）对原始EEG信号进行预处理，从而去除其中的伪迹信号19。3.3 计算结果 本实验包含7个受试者分别在5种不同心理实验作业下的脑电信号。采样频率为250Hz，采样长度为10s。实验数据共包含325组数据，其中第1-50组为第一个受试者所测得的数据；第51-75组为第二个受试者测得的数据；第76-125组为第三个受试者所测得的数据；第126-175组为第四个受试者所测得的数据；第176-250组为第五个受试者所测得的数据；第251-300组为第六个受试者所测得的数据；第301-325组为第七个受试者所测得的数据。下文以第二个受试者所测的数据为例，计算脑电信号的关联维数并比较关联维数在不同心理作业实验及不同电极上的分布。第二个受试者共有25组数据，每种心理实验作业重复进行5次。受试者 2 在 Task 1-静息心理实验作业下的第一次实验的脑电数据如图 3-2 所示。其中横坐标是采样的数据点，采集的数据长度为 10s，采样频率是 250Hz，一共 2500个点，纵坐标是脑电信号，单位是 v。 黄河科技学院毕业论文 第 16 页 图3-2 受试者2在静息心理实验作业下的第一次实验的脑电数据我们首先考察曲线。图3-3为根据受试者2在静息心理实验作业下 lnlnC（task 1）C3电极上第一次实验所测得的数据绘制的曲线，图中每条曲线 lnlnC对应于一个嵌入维m，从上至下=2，4，6，830。从图中可以看出，每条曲线都m有一段近似线性的区域，而且随着嵌入维的不断增加，曲线的斜率在逐渐收敛，这m说明脑电信号可以看作是一个混沌信号，因此可以求出相应的关联维。图3-3 根据受试者2在静息心理实验作业下C3电极上第一次实验所测得的数据绘制的曲线 lnlnC 黄河科技学院毕业论文 第 17 页 我们采用曲线拟合法来求出每条曲线的斜率，如图3-4所示。从图上可以看出，当嵌入维m大于22以后，曲线的斜率即收敛于一个固定值，该值即为关联维数。 我们还考察了静息心理实验作业下其他电极上的脑电信号以及其它心理实验作业下的脑电信号，得到了类似的结果。图3-4 受试者2在静息心理实验作业下C3电极上每条曲线所对应斜率与的关系 lnlnCm然后我们分别计算受试者2在5种心理实验作业下每次实验的关联维数。由于每个心理实验作业重复测5次，可以分别得到56个关联维数(6个电极，5次实验)，对每个心理实验作业每个电极5次实验求得的关联维数求平均值后，即得到第二个受试者在2d电极C3、C4、P3、P4、O1、O2的6个平均关联维数值。如图3-5给出了大脑对应电极处关联维数在不同心理实验作业下的变化图。关联维数用来表征动力系统的轨迹在空间中的关联程度，从而表明序列的复杂程度。序列越复杂，关联维数也就越大。当大脑神经活动复杂或加强时，关联维数值会随着变大。运用关联维数分析脑电信号，可以比较出不同心理实验作业下大脑活动的差异。从图3-5中可以看出，心算乘法和想象几何图形旋转两种心理实验作业下的脑电信号的关联维数比其他心理实验作业下大，这说明大脑思维复杂或加强时，会引起脑部特异区域不同的变化，更多的神经细胞被激活，脑电信号比较复杂，因此关联维数较大。 黄河科技学院毕业论文 第 18 页 图 3-5 受试者 2 在 5 种心理作业下 6 个电极上的脑电信号的关联维数（注：Task 1：静息 Task 2：心算乘法 Task 3：打信件腹稿 Task 4：想象几何图形旋转 Task 5：想象在黑板上书写数字）图 3-6 受试者 2 在 5 种心理作业下 6 个电极上的脑电信号的关联维数（注：Task 1：静息 Task 2：心算乘法 Task 3：打信件腹稿 Task 4：想象几何图形旋转 Task 5：想象在黑板上书写数字）图3-6是C3、C4、O1、O2、P3、P4电极在不同心理实验作业下的关联维数图。其 黄河科技学院毕业论文 第 19 页 中C3（左中央） 、C4（右中央） 、O1（左枕） 、O2（右枕） 、P3（左顶） 、P4（右顶） ，P3、P4点分别位于C3、C4与O1、O2点的中间。当脑部特异区域思维比较活跃时，关联维数值会随着变大。运用关联维数分析脑电信号，可以比较出不同电极下大脑活动的差异。从图3-6中可以看出，在5种心理实验作业中，每个作业的大脑枕区O1、O2电极处关联维数比其他电极（C3、C4、P3、P4）处的关联维数大。这说明O1、O2电极对应的脑区思维比较活跃，更多的神经细胞被激活，关联维数的值就相应的变大，尤其是关联维数值在神经活动复杂或加强时也会变大。结果表明，大脑枕区等思维比较活跃的部位，思维复杂，关联维数较大。 黄河科技学院毕业论文 第 20 页 4 总结与展望 脑电信号分析从 20 年代到现在，人们尝试用各种各样的方法来分析脑电信号，并在许多领域取得了令人满意的成果。脑电信号具有复杂性与混沌特性，混沌运动至少要在三维自治运动力系统中才能出现，为了把时间序列的混沌信息充分的显露出来，我们对相空间进行重构。脑电信号的非线性特性已经得到了证实，学术界已尝试采用关联维数等非线性动力学参数来分析脑电信号。本文主要首先用自相关法、互信息法确定重构相空间时的延迟时间，然后采用G-P算法及其改进算法计算脑电信号的关联维数，并分析关联维数与大脑思维活动之间的关系。通过对5种心理实验作业下6个典型电极上EEG信号关联维数的计算，发现当大脑神经活动复杂或加强时，思维复杂，关联维数值会随着变大。而且，不同电极对应的脑区思维比较活跃，更多的神经细胞被激活，思维复杂，关联维数的值也会相应的变大。不同状态和不同的测量部位的EEG信号的混沌特征值也就出现变化。利用这一特性，可以对大脑的意识任务进行分类。然而，在分析大脑活动和关联维数的关系时，对于大脑上不同部位以及不同电极之间关联维的差异，和大脑神经元及脑皮层神经细胞等生理科学知识有关联，由于知识和时间有限，目前还不能给出合理的解释，尚需进一步研究，以便获得可靠的结果。希望以后自己能多涉及这方面的书，加强了解，巩固知识。 黄河科技学院毕业论文 第 21 页 致 谢毕业设计是对我们知识运用能力的一次全面的考核，也是对我们进行科学研究基本功能的训练，培养我们综合运用所学知识独立地分析问题和解决问题的能力，为以后撰写专业学术论文和工作打下良好的基础。本次设计能够顺利完成，首先我要感谢我的母校，是她为我们提供了学习知识的土壤，使我们在这里茁壮成长；其次我要感谢工学院的老师们，他们不仅教会我们专业方面的知识，而且教会我们做人做事的道理；尤其要感谢在本次设计中给予我大力支持和帮助的蔡超峰老师，每有问题，老师总是耐心的解答，使我能够充满热情地投入到毕业设计中去；还要感谢我的同学们，他们热心的帮助，使我感到了来自兄弟姐妹的情谊；最后还要感谢相关资料的编著者和给予我们支持的社会各界人士，感谢你们为我们提供一个良好的环境，使本次设计圆满完成。 黄河科技学院毕业论文 第 22 页 参考文献1 陈冬冰，吴平东，毕路拯G-P 算法在脑学习机能研究中的应用北京：北京理工大学机械与车辆工程学院，2007，112 邵晨曦，童松桃，杨明非线性时间序列高性能仿真算法研究哈尔滨：哈尔滨工业大学控制与仿真中心，2009，93 余建星，张小平，段晓晨基于 Chaos 和 CS 理论的工程投资预测方法研究天津：天津大学建筑工程学院，20094 王丹丹，王怀阳，李晓燕基于混沌理论的心电信号特性研究青岛：青岛中国海洋大学20065 唐明，陈宝星，柳伍生基于相空间重构的短时交通流分形研究湖南：长沙理工大学交通运输学院，2004，36 朱家富，何为脑电时间序列的非线性重构重庆：重庆大学电气工程学院，2008，127 王兆源，周龙旗脑电信号的分析方法东北：第一军医大学生物医学工程系，20008 周杰，王宏，王灵芝体感诱发 EEG 的混沌时间序列分析沈阳：东北大学机械工程与自动化学院，2008，29 谢忠玉，张立相空间重构参数选择方法的研究哈尔滨：黑龙江工程学院电子工程，200910 马红光，李夕海，王国华相空间重构中嵌入维和时间延迟的选择西安：西安交通大学电子与信息工程学院，2004，411 朱家富，杨浩，彭拥军一种计算脑电信号相关维数的改进算法重庆：重庆大学电气工程学院，200412 王海燕，卢山 非线性时间序列分析及其应用M 北京：科学出版社，200613 吕金虎，陆君安，陈士华 混沌时间序列分析及其应用M武汉：武汉大学出版社，2002 黄河科技学院毕业论文 第 23 页 14 荣腾中 基于混沌理论的时间序列分析D 硕士学位论文 成都：西南交通大学，200315 王庆飞 混沌时间序列的预测及其在电力系统短期负荷预测中的应用C河南师范大学学报(自然科学版，200716 王金东，刘岩，赵海洋等 基于延时嵌入法的往复式压缩机关联维数的提取技术J 甘肃：化工机械，2005，32(4) 17 胡人君，李坤脑机接口应用中的思维任务分类安微：安微大学计算机智能与信号处理教育部重点实验室，200718 应安乐，王成焘 脑电信号非线性分析的人体生理学与解剖学基础上海：上海交通大学生物医学制造与生命质量工程研究所，200219 Bab