2020版高考数学二轮复习 第二篇 专题突破 2.5 解析几何 解答题 4 存在性与探索性问题课件 理

第4课时存在性与探索性问题,考向一探究是否存在常数的问题【例1】(2019九江一模)椭圆e:=1(ab0)的离心率是,点p(0,1)在短轴cd上，且=-1.,(1)求椭圆e的标准方程.(2)设o为坐标原点,过点p的动直线与椭圆交于a,b两点.是否存在常数,使得为定值？若存在,求的值;若不存在,请说明理由.,【题眼直击】,【解析】(1)由已知,点c,d的坐标分别为(0,-b),(0,b).又点p的坐标为(0,1),且=-1,于是,解得a=2,b=.所以椭圆e的方程为(2)当直线ab的斜率存在时,设直线ab的方程为y=kx+1,a,b的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).,联立得(2k2+1)x2+4kx-2=0.其判别式=(4k)2+8(2k2+1)0,所以x1+x2=-,x1x2=-.从而,=x1x2+y1y2+x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1所以,当=1时,此时,=-3为定值.,当直线ab斜率不存在时,直线ab即为直线cd.此时,当=1时,=-3,为定值.综上,存在常数=1,使得为定值-3.,【拓展提升】解决是否存在常数的问题时,应首先假设存在,看是否能求出符合条件的参数值,如果推出矛盾就不存在,否则就存在.,【变式训练】椭圆c:=1(ab0)经过点p(1,),离心率e=,直线l的方程为x=4.,(1)求椭圆c的方程.(2)ab是经过右焦点f的任一弦(不经过点p),设直线ab与直线l相交于点m,记pa,pb,pm的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数,使得k1+k2=k3?若存在,求的值;若不存在,说明理由.,【解析】(1)由p在椭圆上得:=1.依题设知a=2c,则b2=3c2.代入解得c2=1,a2=4,b2=3.故椭圆c的方程为,(2)由题意可设直线ab的斜率为k,则直线ab的方程为y=k(x-1).代入椭圆方程并整理,得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则有x1+x2=,x1x2=.,在方程中令x=4得,m的坐标为(4,3k).从而k1=由于a,f,b三点共线,则有k=kaf=kbf,即有,所以k1+k2=,代入得k1+k2=2k-=2k-1,又k3=k-,所以k1+k2=2k3.故存在常数=2符合题意.,考向二探究是否存在点的问题【例2】已知椭圆c:=1(ab0)的右焦点为f(1,0),右顶点为a,且|af|=1.,(1)求椭圆c的标准方程.(2)若动直线l:y=kx+m与椭圆c有且只有一个交点p,且与直线x=4交于点q,问:是否存在一个定点m(t,0),使得=0?若存在,求出点m的坐标;若不存在,说明理由.,【题眼直击】,【解析】(1)由c=1,a-c=1,得a=2,所以b=,故椭圆c的标准方程为(2)由消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,所以=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,即m2=3+4k2.,设p(x0,y0),则x0=y0=kx0+m=因为m(t,0),q(4,4k+m),所以,所以(4-t)+(4k+m)=t2-4t+3+(t-1)=0恒成立,故即t=1.所以存在点m(1,0)符合题意.,【拓展提升】存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.,(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.,【变式训练】(2015北京高考)已知椭圆c:=1(ab0)的离心率为,点p(0,1)和点a(m,n)(m0)都在椭圆c上,直线pa交x轴于点m.,(1)求椭圆c的方程,并求点m的坐标(用m,n表示).(2)设o为原点,点b与点a关于x轴对称,直线pb交x轴于点n,问:y轴上是否存在点q,使得oqm=onq?若存在,求点q的坐标;若不存在,说明理由.,【解析】(1)椭圆=1(ab0)过p(0,1),所以b2=1,离心率e=所以椭圆方程为+y2=1.因为p(0,1),a(m,n),所以直线pa的方程为y-1=x,直线pa与x轴交于m,令y=0,则xm=,所以m(2)因为p(0,1),b(m,-n),所以直线pb的方程为y-1=,直线pb与x轴交于n,令y=0,则xn=,所以n设q(0,y0),tanoqm=,tanonq=因为oqm=onq,所以tanoqm=tanonq,所以所以所以y0=.因此,存在点q(0,),使oqm=onq.,考向三探究是否存在直线的问题【例3】(2019淮北二模)已知椭圆c:=1(ab0)的右焦点为f2(2,0),点在椭圆c上,(1)求椭圆c的标准方程.(2)是否存在斜率为-1的直线l与椭圆c相交于m,n两点,使得|f1m|=|f1n|(f1为椭圆的左焦点)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.,【题眼直击】,【解析】(1)方法一:因为椭圆c的右焦点为f2(2,0),所以c=2,椭圆c的左焦点为f1(-2,0).由椭圆的定义可得2a=解得a=,所以b2=a2-c2=6-4=2.所以椭圆c的标准方程为=1.方法二:因为椭圆c的右焦点为f2(2,0),所以c=2,故a2-b2=4,又点p在椭圆c上,则=1,故,化简得3b4+4b2-20=0,得b2=2,a2=6.所以椭圆c的标准方程为=1.(2)假设存在满足条件的直线l,设直线l的方程为y=-x+t,由得x2+3(-x+t)2-6=0,即4x2-6tx+(3t2-6)=0,=(-6t)2-44(3t2-6)=96-12t20,解得-2t2.设m(x1,y1),n(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,由于|f1m|=|f1n|,设线段mn的中点为e,则f1emn,故又f1(-2,0),e即e,所以解得t=-4.当t=-4时,不满足-20),且可知其左焦点为f(-2,0).从而解得又a2=b2+c2,所以b2=12.,故椭圆c的方程为=1.(2)假设存在符合题意的