数学建模教师工资调整(final)

摘要本文根据题目要求的工资调整原则，在基本假设的条件下，首先通过建立两个不同的模型对新的工资方案进行模拟，通过比较得出二者中相对较优的一个作为新工资方案。然后考虑从目前状况过渡到新方案的过渡方法。首先，在第一个模型中，为简化分析，根据工资调整原则，将每一级职称换算成7年教龄，进而用幂函数 fx=x(01)对新工资方案进行模拟，通过求解发现90%都符合新原则，但仍存在大约10%的奇异点。改进模型以缩小误差为出发点，将教师的实际工资看为固定工资与可变工资的和。其中，固定基本工资由职称等级决定，可变工资由教龄决定，暂不考虑奖金红利涉及各位教师的实际学术等方面的贡献。然后采用对数函数 Wi=Wfi + lnt 进行建模求解。该改进模型虽对工资分类考虑较为清晰，但模型中存在的有待模拟。此外，在该改进模型中存在约有15%的奇异点。对比两个模型，虽各有利弊，但从结果上考虑，仍决定采用第一个用幂函数的模型作为新工资方案。在过渡方案中，从过渡需要的年限入手，根据目前的工资和n年后按照新方案到达的工资对教师进行分类，对工资过高的教师给予固定的增长额，对工资水平较低的教师给予均匀增长，从而使其在n年后的工资达到新工资方案的水平。本文为最大限度符合工资调整原则，建立了两个模型，二者在总体上反映了工资调整原则，并基于对比得出的较优模型给出了新的工资方案以及过渡方法，在一定程度上为学校教师工资的调整提供了理论依据。 关键词： 工资调整方案 幂函数 对数函数 过渡方案 一、 问题重述 随着经济的发展和社会公平、正义的深化，人民的生活水平将进一步提高，对工资的提升具有持续要求。在美国，大学教师是作为社会上的一个重要群体，对工资提升的要求也会不断变化，解决好教师工资调整过程中的各种问题，做到公平、公正对提高人民生活水平、促进社会和谐发展都具有极其重要的意义。现有反映美国某大学教师工资目前状况的部分数据，工资调整原则如下：（1） 教师职称由低到高分为4个等级：讲师、助理教授、副教授、教授。获博士学位者聘为助理教授；读博士学位者聘为讲师，且得到学位时自动升为助理教授；副教授工作7年后可申请提升教授。（2） 无教学经验的讲师其实工资为27000；助理教授的起始工资为32000；按时提升（7或8年）并有25年以上教龄者工资大致为有博士学位的新教师的两倍。（3） 同一等级中教龄长者工资高，但是这种差别应该随着教龄的增加而渐减，并趋于一致。（4） 职称的提升应带来实质性利益，即若某人在短时间内获提升，则其所得应大致等于正常情况下（不提升）7年增加的工资。（5） 每人的工资都不能减少，只要学校有钱，所有教师每年都增加工资，每年用于增加工资的总资金可能不同。全校204位教师的教龄、职称和目前的（年）工资见附录表1所示（职称代号0 , 1 , 2 , 3依次表示讲师、助理教授、副教授、教授）。请你按照上述原则设计新的工资方案，并给出一个从目前状况到新方案的过渡方法。二、 模型假设 1. 该大学的财政保持与经济同步的均衡稳定增长，有足够资金保证每个教师的工资都不减少，不考虑经济危机；2. 决定教师的工资的因素为教龄和职称；3. 副教授有7年教龄可以申请职称升级；4. 升职为逐级升职，不存在跳级晋升；5. 在本文所考虑的年限内，只对原始资料中学校的在职人员工资进行分析。三、 问题分析 结合该大学的实际情况，同时类比美国其他大学相应情况，我们假定该大学的财政保持与经济同步的均衡稳定增长。按照对问题的分析，对该问题的解决分为三个阶段：1. 对原工资数据进行分析，找出原工资方案所对应的基本函数；2. 运用新方案要求的五条原则，制定出符合原则的更为合理的工资方案函数关系；3. 对比新旧工资方案，找出从目前状况到新方案的过渡方法。题目中的原则可用以下形式简洁表示：（1） 讲师起始工资为27000；（2） 助理教授起始工资为32000；（3） 副教授按时提升（7或8年）并有25年以上教龄者工资大致为64000；（4） 短时间内获提升，则其所得应大致等于正常情况下（不提升）7年增加的工资；（5） 同一等级中，工资随教龄增长而增长但增幅递减；四、 数据采集方案的讨论原数据按职称分类后，教龄与工资的关系情况如图1所示（数据见附录表1）：图12职称与工资的关系如图2所示：图2对原数据的分析发现，原教师工资与调整原则相差较大：1、部分讲师工资低于调整原则规定的起始工资27000，部分助理教授工资低于调整原则规定的起始工资32000。2、在同一职称中，部分教龄长者工资低于教龄幼者。同时发现原工资同样受到（职称，教龄）二元影响，且偏导数应大于零。于是使用excel 分析讲师、助理教授、副教授、教授的工资与教龄的关系分别如图3，图4，图5，图6所示（数据见附录表2）：图3图 4图 5图 6以上四个图表分别反映了讲师、助理教授、副教授、教授工资与教龄的关系，例如在图3中由y=25827x0.0927， R2=0.5936 可知讲师工资与教龄呈相关系数为0.5936的正相关关系。由以上图可知，在四个职称中，副教授的工资与教龄的相关性最高，其次是助理教授，再次是讲师，相关性最低的是教授。通过图5模拟出副教授在函数y=24008x0.2085的情况下，最高的相关系数 R2=0.8094，而教授的仅为 R2=0.1353五、 模型的建立及求解（一）符号定义 变量：W: 工资 Z : 职称（Z=0 , 1 , 2 , 3 以此表示讲师、助理教授、副教授、教授）t : 教龄 常量：若学校有钱，依据9293年美国高校工资年增长率，每年增长 2.5%。 3（二）建立模型及求解根据新工资方案的原则确定新方案。为简化分析，可以将每一级职称换算成7年教龄。由软件分析知原方案中，每一级职称下的工资与教龄大致呈幂函数关系，且知幂函数fx=x(00, fx1 所以需要对数据进行修正，根据新方案原则“副教授按时提升（7或8年）并有25年以上教龄者工资大致为64000”，将64000修正为59000，再次代入，求得:a=734.069 , b=0.986 , c=27000故新的工资方案是：每位职工的工资由职称和教龄确定，满足：W=734.0697Z+t0.986 +27000 由新的工资方案知，现期每位教师的工资以及新工资与原工资的差距（新工资-旧工资）如附录表2所示。由表2中可以看出，在此种模型的方案中，有20位教师的工资出现了与要求原则相偏离的情况，模型仍需改进。18六、 改进模型的建立及求解 （一）符号定义：教龄： t(t1) ;工资：W Wi0 固定基本工资：Wfi i=0 , 1 , 2 , 3 依次表示讲师，助理教授，副教授，教授（二）问题分析：1. 固定基本工资由职称等级决定，可变工资由教龄决定，奖金红利涉及各位教师的实际学术等方面的贡献，暂不考虑。2. 对于原则“若某人在短时间内获提升，则其所得应大致等于正常情况下（不提升）7年增加的工资”，其中增加的工资只考虑教龄的影响，因为其他因素不可控。3. “美国高校主要是实行年薪制, 其组成部分有:固定基本工资、可变工资以及奖金红利。固定基本工资是主体, 约占教师总收入的55 60%”2 .将此种情况应用于本题中。（三）模型建立及求解：依据新原则，同一等级中，教龄与工资的函数关系应满足一阶导大于0，二阶导小于0，因为t1，可用对数函数进行模拟为： Wi=Wfi+lnt (其中有待模拟)依据原则“职称的提升应带来实质性利益，即若某人在短时间内获提升，则其所得应大致等于正常情况下（不提升）7年增加的工资。讲师起始工资27000，助教起始工资32000”可以假定一位教龄为一年的讲师在短时间得到了提升，变为助理教授，则有32000=27000+ln（1+7） 解得=2404.4922405由此可推算出副教授的固定基本工资:Wf2=32000+2405ln（1+7）=37001.637000根据原则“副教授工作7年后可申请提升教授。”以及“按时提升（7或8年）并有25年以上教龄者工资大致为有博士学位的新教师工资的两倍”可得 ：320002=W+2405ln(25)求得教授的固定基本工资：Wf3=56258.6036456250综上所述新的工资方案为：W0=27000+2405lnt W1=32000+2405lntW2=37000+2405lnt W3=56250+2405lnt在此方案中，首先，学校只要有钱，每年所有教师工资均比上年上涨2.5% 其次，对于适用于原则 “按时提升（7或8年）并有25年以上教龄者工资大致为有博士学位的新教师的两倍”的副教授，7年后的工资均按此标准执行，即为64000.根据新方案，可以算出7年后，所有教师的工资以及与七年前教师工资的差距如图7所示（数据见附录表3）图7从图7中可看出误差主要存在于副教授的职称中，且在职称与职称交界处较为集中，这也反映出在过渡过程中要着力处理好职称升迁导致工资变化的情况，处于中间地带的教师心理上难以接受。七、 模型评价1. 综述首先，这两个简单的模型按照改革的各项原则大体上模拟出了改革的过渡方案，但仍存在误差。另外，不可忽视的是，本题中在1990年至1994年有通货膨胀的经济状况下，大学老师的工资增长率却小于通货膨胀率（1990年至1995年美国通货膨胀率见附录表4）。也就是说，虽然学校在有资金的条件下保证了教师工资的增长，但是教师们的实际购买力却下降了。2. 模型比较原模型优点在于将工资（职称，教龄）二元函数，转换成工资（教龄变量）一元函数，从而简化思维过程和运算过程，图表输出和结果表达更加直观。该模型的缺点在于没有充分反映美国教师工资组成的实际情况，对职称变量的影响关注不足。改进模型的优点在于：该方案通过不同职称的起始工资不同，更直观地体现了职称对工资待遇的极大影响，可以激励教师更加努力地教学和研究，争取晋升。该模型的缺点在于：该方案的奇异点和第一个方案相比过多，有更多的教师在过渡期内即使每年不长工资，也要很长时间才能到达原始工资的水平，在过渡时可能会遇到更大的阻力 。 对比两个模型，从结果的误差出发，选取前一个模型作为新工资方案八、 过渡方案在假设的条件下，校方能够提供足够的资金在n年完成从旧工资方案向新工资方案的过渡。由于一些教师的工资过高，表现在图中为奇异点的存在。因而，对目前的工资进行分类。图87 B a+n,W a+n 654A (a,b)3219080706040503020100在图8中，该平面上的点满足y=W(x)，其中A(a,b)为平面上表示某一教师工资的一点，在教师职称不变的情况下，根据新工资方案n年后该教师应拿到的工资，应在图中的曲线上的 B a+n, Wa+n 点.对于A (a,b) 点，若 bW(a+n)，该点就属于奇异点。对于奇异点，每年工资固定地增长（具体数值可由根据校方提供的具体资金具体确定）；对于非奇异点，每年工资按照AB的连线增长，即按照从当前工资b到n年后工资W(a+n)均匀增长，容易算出未来第m(mn)年的工资为b+mWa+n-bn若n年后对于教师职称提升了，那么教师应拿到的理想工资对应与图表现为曲线上的点Ba+n+7,Wa+n+7其中若bW(a+n+7)则属于奇异点。过渡时，对于奇异点，每年工资固定地增长，并且还要额外增加升职工资。而对于非奇异点，每年工资按照点Aa,b 和点Ba+n+7,Wa+n+7 的连线增长，即按照从当前工资b到n年后工资W(a+n+7)均匀增长，容易算出未来第m(mn)的工资为b+mWa+n+7-bn九、 补充模型方案 为不受别人思路的影响锻炼自己不成熟的思维，在按照我们小组讨论的方案建好模型以及思考的过渡方案后，我们才看了有关该题的比赛论文，下面是我们选取的我们认为比较的一种模型方法，按照我们自己的理解重新加以模拟如下：符号说明：W: 工资 Z : 职称（Z=0 , 1 , 2 , 3 以此表示讲师、助理教授、副教授、教授）t : 教龄 i(x)：I(x)的增长率x ：x的增长量 x0 ： x=0时I(x)的值i,s,a,b:未知参数根据“一次性提升增加的工资相当与7年教龄所增加的工资”的原则按照前面两个模型的假设，再定义综合指标x：x=t+7Z (Z=0, 1 , 2 , 3 ) 即文字描述为x表示为教龄与7倍的职称等级的和。构造一个关于的x一元函数I(x)，使其满足增函数，满足当x较大时为上凸函数即 d2I(x)dx20,s0)并引进最高工资xm即ixm=0得s=ixm 则dI(x)dx=ix(1-xxm )I0= x0另a=xxm-1计算得Ix=xmae-ix且由原则知I0=27000，I7=32000，I25+37=I46=64000算出 xm=98365,a=2.6432 ,i=0.0346经改进取Ix=+1.6753e-0.0410x小组分析该模型与我们小组的两个模型在不同方面上都有思路交叉的部分，但该种模型的建立较我们的思维更为严密整体性更好，值得我们学习。因而我们将它转化为我们理解后的思路和语言补充在小组模型的后面作为对我们模型的补充。十、 研究成果短文 教师工资调整问题，随着经济的发展和社会公平、正义的深化，而日益受到重视。人民的生活水平的进一步提高，直接导致对工资的提升具有持续要求。按照一定的原则，解决好教师工资调整过程中的各种问题，由旧方案合理过渡到新方案，做到公平、公正，对提高人民生活水平、提高人民幸福指数、促进社会良性发展都具有极其重要的意义。本文从大学教师工资调整中出现的种种问题入手，以建立公正、合理的工资体系为目标，按照既定工资调整原则，综合考虑不同教师的工资利益，预测教师工资调整后的应有水平和工资差距，借助幂函数和对数函数进行模拟，制定最优工资调整方案。从结果我们发现，当前阻碍工资水平公正、合理的主要问题是： （1） 旧的工资方案中很大一部分教师的工资在新工资标准之下，要达到新工资标准，学校需要有充足的资金；（2） 旧的工资方案中教师的工资与教龄和职称的关联性呈现不规则分布，按新工资方案教师工资调整幅度较大；（3） 要解决在保证既得利益者利益的前提下（即保证高出新工资方案标准的教师工资不减）提高工资水平较低教师工资的问题；（4） 要解决教师希望尽快提高工资以达到新工资标准的要求和学校财政状况承受能力之间的矛盾；（5） 教师工资增长率应大于同期通货膨胀率（见附表4），这样才能保证教师的实际购买力提高，但该题目中未考虑此问题。综上所述，小组建议：（1） 将教师按旧的工资分类后，分别对待。在职称不变的情况下，对于高于新工资方案的教师，按照新原则只对其按固定工资增长。而对于低于新工资方案工资水平的教师，按照新工资水平曲线方向增长。若职称变动，则教师除了要增加固定工资还要增加额外升职工资；（2） 根据学校资金状况尽快完成从旧工资方案向新工资方案的过渡；（3） 在进一步改进的模型中，要尽量考虑到同期通货膨胀率，使得教师工资增长的同时，实际购买力得到真正提高。参考文献：1姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，20042 夏茂林, 冯碧瑛, 沈小强, 冯文全. 美国高校教师绩效薪资制度的主要特点、问题及启示J，大学教育科学，2011 年第1 期3 /article/Average-Faculty-Salaries-Rose/74132/附录：一小组分工：王晨曦：初步模型建立，excel图表制作，论文修改周 培：改进模型的建立，组织讨论，论文修改孙 洁：思路整合，补充模型及过渡方案，论文写作二论文中的数据表表1按职称分类后，原数据情况如下表1所示：职称教龄工资0126161022770004265000428500064550006354510133127601934265113450011315001130000113000011310001231900123200012295001228500135200013315001355500143000014325001430500142950014301861435150143950014295001432000153533015353301533130职称教龄工资1528570153221015311701532210153221016323191645365164913416301281633479164043616333781631160163597816329231730128173240017381171736300174225618325001930893193597819325001103284111036991110370211103275611235158112404271123715911432922职称教龄工资115340401153925911534638116369581163455011737538117356681173631311738464117363781173907211842176119435081193695812039072120480001204297012049302122427721233753812443925128445622162500225450024540002437954245350024355002455000255226225571702536612职称教龄工资2546770263594226352702643037263594126352702749981274615528359412948500293862429379542937389210386982103779321244501212364512124117821438642214386242143929421538002215392652164135221640637218426492184416621841267218400892194114721942215219407852195137821943519220425492204389222048926职称教龄工资22051991220568362215097922142488221461572214316022143054221483592224635122243672223519912234635122444715226470472325221423952058327850032855003366500347050035508103857295384997139579563958974311539003124650031449472315442063154326431646930316460903164074831748134318489443196008731945833职称教龄工资31944612319457803205975532059333320509353205234532157797321505213214968732149948321592343224797432249972322482803224975632250576322538363225189832348844323535003236057632362742323608003235157132348844323524033245581132456922325505833266237032759327328510643346057634659749表2由新的工资方案知，现期每位教师的工资以及新工资与原工资的差距（新工资-旧工资）如附录表2所示:职称教龄原工资新工资差距012616127734 1573 022770028454 754 042650029880 3380 042850029880 1380 064550031295 -14205 063545131295 -4156 0133127636205 4929 0193426540382 6117 113450032704 -1796 113150032704 1204 113000032704 2704 113000032704 2704 113100032704 1704 123190033406 1506 123200033406 1406 122950033406 3906 122850033406 4906 135200034107 -17893 133150034107 2607 135550034107 -21393 143000034807 4807 143250034807 2307 143050034807 4307 142950034807 5307 143018634807 4621 143515034807 -343 143950034807 -4693 142950034807 5307 143200034807 2807 153533035507 177 153533035507 177 153313035507 2377 152857035507 6937 153221035507 3297 153117035507 4337 153221035507 3297 153221035507 3297 163231936205 3886 164536536205 -9160 职称教龄原工资新工资差距164913436205 -12929 163012836205 6077 163347936205 2726 164043636205 -4231 163337836205 2827 163116036205 5045 163597836205 227 163292336205 3282 173012836903 6775 173240036903 4503 173811736903 -1214 173630036903 603 174225636903 -5353 183250037600 5100 193089338297 7404 193597838297 2319 193250038297 5797 1103284138993 6152 1103699138993 2002 1103702138993 1972 1103275638993 6237 1123515840382 5224 1124042740382 -45 1123715940382 3223 1143292241770 8848 1153404042464 8424 1153925942464 3205 1153463842464 7826 1163695843156 6198 1163455043156 8606 1173753843849 6311 1173566843849 8181 1173631343849 7536 1173846443849 5385 1173637843849 7471 1173907243849 4777 1184217644541 2365 1194350845232 1724 1193695845232 8274 职称教龄原工资新工资差距1203907245924 6852 1204800045924 -2076 1204297045924 2954 1204930245924 -3378 1224277247305 4533 1233753847995 10457 1244392548685 4760 1284456251441 6879 216250037600 -24900 225450038297 -16203 245400039688 -14312 243795439688 1734 245350039688 -13812 243550039688 4188 245500039688 -15312 255226240382 -11880 255717040382 -16788 253661240382 3770 254677040382 -6388 263594241077 5135 263527041077 5807 264303741077 -1960 263594141077 5136 263527041077 5807 274998141770 -8211 274615541770 -4385 283594142464 6523 294850043156 -5344 293862443156 4532 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-4525 3124650050064 3564 3144947251441 1969 3154420652130 7924 职称教龄原工资新工资差距3154326452130 8866 3164693052818 5888 3164609052818 6728 3164074852818 12070 3174813453506 5372 3184894454193 5249 3196008754881 -5206 3194583354881 9048 3194461254881 10269 3194578054881 9101 3205975555568 -4187 3205933355568 -3765 3205093555568 4633 3205234555568 3223 3215779756255 -1542 3215052156255 5734 3214968756255 6568 3214994856255 6307 3215923456255 -2979 3224797456941 8967 3224997256941 6969 职称教龄原工资新工资差距3224828056941 8661 3224975656941 7185 3225057656941 6365 3225383656941 3105 3225189856941 5043 3234884457628 8784 3235350057628 4128 3236057657628 -2948 3236274257628 -5114 3236080057628 -3172 3235157157628 6057 3234884457628 8784 3235240357628 5225 3245581158314 2503 3245692258314 1392 3255058359000 8417 3266237059686 -2684 3275932760371 1044 3285106461057 9993 3346057665165 4589 3465974973363 13614 表3根据新方案，可以算出7年后，所有教师的工资以及与七年前教师工资的差距如下表：职称教龄工资7年后与7年前差距0126161320015840022770032284458404265003276762670428500327674267064550033169-12331063545133169-228201331276342052929019342653483657111345003700125011131500370015501113000037001700111300003700170011131000370016001123190037284538412320003728452841229500372847784职称教龄工资7年后与7年前差距1228500372848784135200037538-144621331500375386038135550037538-17962143000037767776714325003776752671430500377677267142950037767826714301863776775811435150377672617143950037767-173314295003776782671432000377675767153533037976264615353303797626461533130379764846职称教龄工资7年后与7年前差距152857037976940615322103797657661531170379766806153221037976576615322103797657661632319381695850164536538169-7196164913438169-1096516301283816980411633479381694690164043638169-2267163