上海市西南位育中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）

上海市西南位育中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一. 填空题1.已知全集，若集合，则_.【答案】【解析】【分析】解出集合，然后利用补集的定义可得出集合.【详解】解不等式，得或，则集合，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查补集的求解，同时也考查了分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2.数列的通项公式，则_.【答案】【解析】【分析】由题意得出，然后在分式和分母中同时除以，于是可计算出所求极限值.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉一些常见极限的值，考查计算能力，属于基础题.3.若函数图像与函数的图像关于直线对称，则_.【答案】【解析】【详解】解：因为两个函数互为反函数，因此4.函数的最大值为_.【答案】【解析】【分析】利用二倍角降幂公式、辅助角公式将函数的解析式化简为，由此可得出函数的解析式.【详解】，因此，函数的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的最值，解题时要将三角函数的解析式进行化简，再结合三角函数的有界性来求解，考查计算能力，属于中等题.5.在无穷等比数列中，若此数列的前项和满足，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为，由题意可知或，由等比数列的前项和公式得出，得出，由此可得出的取值范围.【详解】设等比数列的公比为，由题意可知或，则，可得出.当时，此时；当时，此时.因此，的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查数列极限的计算，本题中要得出数列的公比，同时根据极限得出与所满足的关系，考查计算能力，属于中等题.6.已知向量，则与的夹角大小为_.【答案】【解析】【分析】利用平面向量的数量积计算出，由此可得出与的夹角的大小.【详解】，因此，与的夹角大小为.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量夹角的计算，解题时要充分利用平面向量数量积的定义来进行计算，考查计算能力，属于基础题.7.若且是第二象限角，则_.【答案】【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的正切公式可求出的值.【详解】第二象限角，则，.因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式求三角函数值，在解题时要注意角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.8.已知数列的通项公式为，则这个数列的前项和_.【答案】【解析】【分析】利用并项求和法求出数列的前项和，并利用等比数列的求和公式求出数列的前项和，相加可得出.【详解】设数列的前项和，则，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查数列求和，考查并项求和与分组求和，解题时要根据数列通项的结构选择合适的方法求和，考查计算能力，属于中等题.9.某驾驶员喝了升酒后，血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间（小时）变化的规律近似满足表达式酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升此驾驶员至少要过_小时后才能开车（精确到1小时）【答案】4【解析】【分析】此驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升时，才能开车，因此只需由，求出的值即可.【详解】当时，由得，解得，舍去；当时，由得，即，解得，因为，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.故答案为4【点睛】本题主要考查函数的应用，由题意得出不等式，分类求解即可，属于基础题型.10.如图，在中，若，则_.【答案】【解析】【分析】将、利用向量、表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义可计算出的值.【详解】，.由平面向量数量积的定义得.因此，.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就选择合适的基底表示问题中涉及的向量，同时也可以建立平面直角坐标系，利用坐标法来计算平面向量的数量积，考查计算能力，属于中等题.11.设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_.【答案】.【解析】【分析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.【详解】当时，即又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可. 当时，函数与的图象有个交点；当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.12.已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为_【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.二. 选择题13.若、，那么成立的一个充分非必要条件是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用作差法得出的等价条件，然后可找出成立的一个充分非必要条件.【详解】，即，等价于.对于a选项，若，则，由于的符号不确定，则不一定成立；对于b选项，是成立的充要条件；对于c选项，当时，此时，则，另一方面，.则，则是成立充分非必要条件；对于d选项，若，由于的符号不确定，则不一定成立.因此，成立的一个充分非必要条件是.故选：c.【点睛】本题考查充分非必要条件的寻找，解题时应充分考查不等式的基本性质，考查推理能力，属于中等题.14.关于函数有下述四个结论：f(x)是偶函数 f(x)在区间（,）单调递增f(x)在有4个零点 f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案【详解】为偶函数，故正确当时，它在区间单调递减，故错误当时，它有两个零点：；当时，它有一个零点：，故在有个零点：，故错误当时，；当时，又为偶函数，的最大值为，故正确综上所述， 正确，故选c【点睛】画出函数的图象，由图象可得正确，故选c15.关于的方程有实数解，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 以上都不对【答案】b【解析】【分析】换元，问题转化为关于的二次方程在时有实数根，利用参变量分离法得出，转化为的取值范围即为函数的值域，然后利用基本不等式求出该函数的值域，即可求出实数的取值范围.【详解】令，则，由，得.则问题转化为关于的二次方程在时有实数根.由，可得，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故选：b.【点睛】本题考查利用函数的零点求参数，解题的关键就是将指数函数转化为二次函数来求解，并利用参变量分离法简化计算，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.16.将一圆的六个等分点分成两组相同的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点，其中、分别为点到两个顶点的向量，若将点到正六角星12个顶点的向量，都写出的形式，则的最大值为（ ）a. 3b. 4c. 5d. 6【答案】c【解析】【分析】根据题意，作出图形，分别用、表示出相邻的6个顶点的向量，即可求出结果.【详解】要求的最大值，只需考虑图中6个顶点的向量即可，讨论如下：（1）因，所以；（2）因为，所以；（3）因为，则；（4）因为，则；（5）因为，则；（6）因为，则；因此，的最大值为.故选：c【点睛】本题主要考查由用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.三. 解答题17.已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将代入函数的解析式，分和两种情况，去绝对值，解出不等式即可；（2）由，利用参变量分离法得出，将问题转化为：当时，然后分析函数在上的单调性，求出该函数在区间 上的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，.当时，而，则不等式无解；当时，由，得，即，解得或，此时，.综上所述，当时，不等式的解集为；（2）由，得，由参变量分离法得.由题意可知，当时，.当时，构造函数.任取，则.，则，.则函数区间上单调递增，所以，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查分式不等式的求解，同时也考查了不等式成立求参数，灵活利用参变量分离法求解，可简化分类讨论，考查化归与转化思想，属于中等题.18.如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块的一角开辟为游客体验活动区，已知，、的长度均大于米，设，且、总长度为米.（1）当、为何值时，游客体验活动区的面积最大，并求最大面积？（2）当、为何值时，线段最小，并求最小值？【答案】（1）时，最大值为；（2）时，最小值为.【解析】【分析】（1）由题意得出，利用三角形的面积公式和基本不等式可求出面积的最大值，并利用等号成立的条件求出对应的与的值；（2）由余弦定理结合基本不等式可得出的最小值，并利用等号成立的条件求出对应的与的值.【详解】（1）由题意可知，且，.的面积为.由基本不等式得.当且仅当时，即当时，等号成立，因此，当时，游客体验活动区的面积取得最大值；（2）由余弦定理得，由基本不等式得.当且仅当时，即当时，等号成立，因此，当时，取得最小值.【点睛】本题考查三角形面积公式与余弦定理的应用，同时也考查了基本不等式的应用，解题时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（1）请写出上表、，并求出函数的解析式；（2）设，当时，求的单调递增区间.【答案】（1），；（2）和.【解析】【分析】（1）根据五点作图法，求出、的值，结合表格中的数据可得出、的值，并可得出函数的解析式；（2）利用诱导公式、辅助角公式可得出，先求出函数在上的单调递增区间，再由可得出函数在区间上的单调递增区间.【详解】（1）由题意可得，解得，且，则，得；，得；，得.；（2）.解不等式，得.所以，函数在上的单调递增区间为.，因此，函数在区间上的单调递增区间为和.【点睛】本题考查利用五点作图法求函数解析式，同时也考查了正弦型三角函数在定区间上单调区间的求解，解题时要将三角函数解析式利用三角恒等变换思想进行化简，考查运算求解能力，属于中等题.20.对于定义在上的函数，若同时满足：存在闭区间，使得任取，都有（是常数）；对于内任意，当时总有，称为“平底型”函数.（1）判断，是否为“平底型”函数？说明理由；（2）设是（1）中的“平底型”函数，若对一切恒成立，求实数的范围；（3）若，是“平底型”函数，求和的值.【答案】（1）是“平底型”函数，不是“平底型”函数；理由见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）将函数与分别表示为分段函数，结合题中定义对这两个函数是否为“平底型”函数进行判断；（2）由（1）知，由题意得出，利用绝对值三角不等式求出的最小值，然后分、三种情况来解不等式，即可得出的取值范围；（3）假设函数，是“平底型”函数，则该函数的解析式需满足“平底型”函数的两个条件，化简函数解析式，检验“平底型”函数的两个条件同时成立的、值是否存在.【详解】（1），.对于函数，当时，当时，；当时，.所以，函数为“平底型”函数.对于函数，当时，；当时，.但区间不是闭区间，所以，函数不是“平底型”函数；（2）由（1）知，由于不等式对一切恒成立，则.由绝对值三角不等式得，则有.当时，由，得，解得，此时，；当时，恒成立，此时，；当时，由，得，解得，此时，.综上所述，的取值范围是；（3）假设函数，是“平底型”函数，则存在， 使得对上某个闭区间上的任意实数恒成立，即，.所以，解得或.当，时，.且当时，此时，函数，是“平底型”函数；当，时，.不是闭区间，此时，函数，不是“平底型”函数.综上所述，当，函数，是“平底型”函数.【点睛】本题考查函数的新定义“平底型”函数，同时也考查了不等式恒成立问题以及绝对值不等式的求解，体现等价转化和分类讨论数学思想，属于难题.21.已知两个无穷数列分别满足，其中，设数列的前项和分别为，（1）若数列都为递增数列，求数列的通项公式；（2）若数列满足：存在唯一的正整数（），使得，称数列为“坠点数列”若数列为“5坠点数列”，求；若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1），（2）【解析】(1)数列都为递增数列，由递推式可得