上海市市北中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）

上海市市北中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、填空题1.已知集合，则_【答案】【解析】【分析】直接利用交集运算得答案【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题2.不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据不等式的性质，两边平方即可去掉绝对值号，即可求解.【详解】因为，所以，即，解得，所以不等式解集.故答案为：【点睛】本题主要考查了利用平方去掉绝对值，解绝对值不等式，属于中档题.3.已知函数的图像与函数 的图像关于直线对称，且点在函数的图像上，则实数_【答案】2【解析】【分析】由题意可知函数y=f（x）与函数y=ax（a0且a1）互为反函数，求出y=ax的反函数，再将（4，2）代入可得答案【详解】函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a0且a1）的图象关于直线y=x对称，函数y=f（x）与函数y=ax（a0且a1）互为反函数，由y=ax（a0且a1），得x=logay，则f（x）=logax，点p（4，2）在函数y=f（x）的图象上由f（4）=2，得loga4=2，解得：a=2故答案为2【点睛】本题考查了反函数的求法，考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础题.4.角的终边经过点，且，则_【答案】【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值【详解】解：角的终边经过点，且，则，故答案为：【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题5.函数，的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据角的范围求出的范围，利用余弦函数的性质即可求解.【详解】因为，所以，所以，即的最小值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，属于中档题.6.已知函数（且）是定义域为奇函数，则的值为_.【答案】2【解析】【分析】根据奇函数的定义即可求解.【详解】因为函数（且）是定义域为的奇函数，所以所以，即，故答案为：【点睛】本题主要考查了奇函数的定义，利用奇函数性质求参数，属于中档题.7.已知无穷等比数列的各项和为4，则首项的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为4得,，且,从而可得的范围.【详解】由题意可得, ，且且故答案为:【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和,而无穷等比数列的各项和是指当,且时前 n项和的极限，属于基础题.8.若向量、满足，且，则向量在上的投影为_.【答案】【解析】【分析】根据数量积的运算及向量在向量上的投影的定义即可求解.【详解】因，所以，又，所以，即，所以向量在上的投影为，故答案为：【点睛】本题主要考查了数量积的运算，向量在向量上的投影，属于中档题.9.若，且，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】根据均值不等式即可求出的最大值.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了利用均值不等式求最值，属于中档题.10.已知数列、满足，若是等比数列，且，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】【分析】设的公比为，由，为奇数，可知,可知是公比为的等比数列，即可求解.【详解】设的公比为,因为，所以，所以，即数列是以为公比的等比数列.又，可解得又，即，解得，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，等比数列基本量的计算，属于难题.11.函数的所有零点之和等于_.【答案】60【解析】【详解】函数 的零点，即为方程在区间上的解.等价于函数的图象与函数的图象，在区间上的交点的横坐标.因为函数的图象与函数的图象，均关于点（5，0）对称，且在区间上共有12个交点（6组对称点），每组对称点的横坐标之和为10，即这12个点横坐标之和为60.所以函数 的所有零点之和等于60.12.设是定义在上的单调函数，若对任意的，都有，则不等式的解集为_.【答案】 【解析】【详解】由题设，存在正常数，使得，且对任意的，有.当时，有，由单调性知此方程只有唯一解.所以.不等式，即，解得.故不等式的解集为.二、选择题13.若a，b为实数，则“”是“”的a. 充要条件b. 充分非必要条件c. 必要非充分条件d. 既非充分必要条件【答案】b【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】解不等式得或；所以由“”能推出“或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选b【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.14.已知、2成等差数列，则的轨迹表示的图象为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据、2成等差数列，可得，即可求解.【详解】成等差数列，的轨迹图象为焦点为的抛物线的一部分，.故选：a【点睛】本题主要考查了等差数列和对数的运算性质，抛物线的方程和图象，属于中档题.15.对于正三角形，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作“，设是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设是第次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），是前次挖去的所有三角形的面积之和，则（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】a1，当n2时，an，故数列an是等比数列，求其前n项和的极限即可【详解】解：依题意，a1，当n2时，an，所以an是以为首项，以为公比的等比数列，又因为公比不为1，所以sn，所以：sn故选：a【点睛】本题考查了等比数列的定义，前n项和公式，数列极限等知识，属于基础题16.设集合是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足:对任意当时,恒有,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】试题分析：对于集合a,存在；对于集合b,存在；对于集合c,存在因此选d.考点：函数单调性，新定义三、解答题17.在中，角、所对的边分别为、，且.（1）若，求；（2）已知，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系可求，再由诱导公式及两角和的余弦公式即可求解（2）由余弦定理及基本不等式可求得，根据平面向量数量积的运算，诱导公式即可计算得解.【详解】（1），可得，（2）由余弦定理，可得：，当且仅当时等号成立，,的最小值为.【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系，两角和的余弦公式，余弦定理，均值不等式，属于中档题.18.已知函数，其中.（1）若，解不等式；（2）求的取值范围，使函数在区间上单调减函数.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化简分式不等式求解即可（2）化简函数解析式得，由反比例函数单调性可得，解不等式即可.【详解】（1）当时，由原不等式可得：，即，解得，所以不等式的解集为.（2），又在区间上是单调减函数，解得.【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，反比例函数的单调性，属于中档题.19.如图，有一块边长为1()的正方形区域，在点处装有一个可转动的小摄像头，其能够捕捉到图象的角始终为45（其中点、分别在边、上），设，记.（1）用表示的长度，并研究的周长是否为定值？（2）问摄像头能捕捉到正方形内部区域的面积至多为多少？【答案】（1），；（2）().【解析】【分析】（1）利用已知条件求出的关系式，进一步求出周长为定值（2）利用关系式的恒等变换和不等式的基本性质求出结果.【详解】（1）设，所以，则：，所以故所以的周长是定值2.（2），当且仅当时，等号成立，所以摄像头能捕捉到正方形内部区域的面积至多为.【点睛】本题主要考查了实际问题中函数解析式，均值不等式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.20.定义函数如：对于实数（，），如果存在整数，使得，则.（1）若等差数列满足：，求数列的通项公式；（2）证明：函数是奇函数且；（3）已知等比数列具有单调性，其首项，且，求公比的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）等差数列中求出即可写出公差及通项公式（2）根据新函数定义及奇函数的定义证明（3）利用新定义函数，对分类讨论即可.【详解】（1）因为，所以，即，故，因为等差数列，所以，所以.（2），则，是奇函数.若，则，故.（3）因为等比数列具有单调性，其首项，所以或，因为，所以，若时，则，或，或，又，解得，若，则，解得综上：的取值范围为.【点睛】本题主要考查了新函数定义及应用，奇函数，等差数列，等比数列，分类讨论的思想，属于难题.21.已知以为首项的数列满足：（）.（1）当时，且，写出、；（2）若数列（，）是公差为的等差数列，求的取值范围；（3）记为的前项和，当时，给定常数（，），求的最小值.【答案】（1），；（2）；（3）当为奇数时，最小值为；当为偶数时，最小值为.【解析】【分析】