天津市南开区2018-2019学年高一数学上学期期中试题（含解析）

2018-2019学年天津市南开区高一（上）期中数学试卷一、选择题。1.设u=r，a=-2，-1，0，1，2，b=x|x1，则aub=（）a b. 0，c. d. 0，【答案】c【解析】因，所以，故选c2.函数的定义域为（）a. b. c. d. 【答案】c【解析】要使函数有意义，需使，即，所以故选c3.使函数f（x）=2x-x2有零点的区间是（）a. (-3,-2)b. (-2,-1)c. (-1,0)d. (0,1)【答案】c【解析】【分析】由题意先判断函数f（x）=2x-x2在其定义域上连续，再求函数值，从而确定零点所在的区间【详解】函数f（x）=2x-x2在其定义域上连续，f（0）=10，f（-1）=12-10；故f（0）f（-1）0；故选：c【点睛】本题考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础题4.已知x=ln3，y=log50.3，z=e-12，则（）a. xyzb. zxyc. zyxd. yz1，解该不等式即可【详解】f（x）为r上的减函数；由f（|1x|）f（1）得出|1x|1；解得-1x1，且x0；实数x的取值范围为（-1，0）（0，1）故选：a【点睛】本题考查减函数的定义，根据减函数定义解不等式的方法，以及绝对值不等式的解法7.已知0a1，函数y=ax与y=loga（-x）的图象可能是（）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由函数y=ax与y=logax互为反函数， y=loga（-x）与y=logax的图象关于y轴对称， 以及函数的单调性即可得出【详解】函数y=ax与y=logax互为反函数，其图象关于直线y=x对称， y=loga（-x）与y=logax的图象关于y轴对称， 又0a1，根据函数的单调性即可得出 故选：d【点睛】本题考查了互为反函数的图象的对称性、轴对称的性质，属于基础题8.已知函数f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）=5-x-1，则f（log499log57）的值为（）a. -4b. -2c. 23d. 43【答案】b【解析】【分析】化简log499log57=-log513，根据f（x）为奇函数即可求出其值.；【详解】log499log57=log7921log75=log73log75=log53=-log513又x0时，f（x）=5-x-1，且f（x）为奇函数；f（log499log57）=f(-log513)=-f(log513)=-5-log513-1=-2故选：b【点睛】本题考查奇函数的定义，对数式的运算，以及对数的换底公式，指数与对数的互化二、填空题.9.已知m=2，n=3，则3m2n-3n3m-2mn-4nm-23的值是_【答案】227【解析】【分析】先利用有理指数幂运算法则化简，再代值【详解】m=2，n=3，则原式=m23n-32nm-23mn-2nm-1123=m43n-52m-1n323=mn-3=23-3=227，故答案为：227【点睛】本题考查了有理指数幂及根式属基础题10.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为 (m).【答案】20【解析】试题分析：设矩形高为y，由三角形相似得x40=40y40且x0,y0,x40,y40，所以40=x+y2xy，仅当x=y=20cm时，矩形的面积s=xy取最大值400m2，所以其边长为20 m.考点：基本不等式的应用.【此处有视频，请去附件查看】11.幂函数f(x)=xm2-3m的图象关于y轴对称，且在（0，+）递减，则整数m=_【答案】1或2【解析】【分析】由幂函数f(x)=xm2-3m的的图象关于y轴对称，可得出它的幂指数为偶数，又它在（0，+）递减，故它的幂指数为负，由幂指数为负与幂指数小于零即可求出参数m 的值【详解】幂函数f(x)=xm2-3m的的图象关于y轴对称，且在（0，+）递减，m2-3m0，m2-3m是偶数由 m2-3m0得0m3，又由题设m是整数，故m的值可能为1或2验证知m=1，2都能保证m2-3m是偶数故m=1，2即所求故答案为1或2【点睛】本题考查幂函数的性质，已知性质，将性质转化为与其等价的不等式求参数的值属于性质的变形运用，请认真体会解题过程中转化的方向12.设loga341，则实数a的取值范围是_【答案】0,341,+【解析】13.函数f（x）=lg（x2-3x-10）的单调递增区间是_【答案】（5，+）【解析】【分析】确定函数的定义域，考虑复合函数的单调性，即可得出结论【详解】由x2-3x-100可得x-2或x5， u=x2-3x-10在（5，+）单调递增，而y=lgu是增函数 由复合函数的同增异减的法则可得，函数f（x）=lg（x2-3x-10）的单调递增区间是（5，+） 故答案为：（5，+）【点睛】本题考查对数函数的单调性和应用，考查学生的计算能力，属于中档题14.已知函数f（x）=x+2|x|+2，xr，则f（x2-3x）f（3-x）的解集是_【答案】（0，3）【解析】【分析】原函数变成f（x）=x+2|x|+2=1,x0-1+42-x,x0，从而可得出f（x）在（-，0）上单调递增，且x0时，f（x）1，从而根据f（x2-3x）f（3-x）可得出x2-3x0x2-3x3-x，解出x的范围即可【详解】f（x）=x+2|x|+2=1,x0-1+42-x,x0；f（x）在（-，0）上单调递增，且x0时，f（x）1；由f（x2-3x）f（3-x）得：x2-3x0x2-3x3-x；解得0x3；解集为（0，3）故答案为：（0，3）【点睛】本题考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，增函数的定义，以及一元二次不等式的解法三解答题,15.已知不等式ax2-5x+b0的解是-3x2，设a=x|bx2-5x+a0，b=x|3x+15（1）求a，b的值；（2）求ab和a（ub）【答案】（1）a=-5，b=30 （2）ab=x|-1x-25，a(ub)=x|x-13，或x-25【解析】【分析】（1）据题意可知，-3，2是方程ax2-5x+b=0的两实数根，由韦达定理即可求出a=-5，b=30； （2）根据上面求得的a，b，得出a=x|30x2-5x-50，通过解不等式得出集合a，b，然后进行交集、并集和补集的运算即可【详解】（1）根据题意知，x=-3，2是方程ax2-5x+b=0的两实数根；由韦达定理得，5a=-3+2ba=-32；解得a=-5，b=30；（2）由上面，a=-5，b=30；a=x|30x2-5x-50=x|x-13或x12，且b=x|-1x-25；ab=x|-1x-25，ub=x|x-1或x-25；a(ub)=x|x-13或x-25【点睛】本题考查韦达定理，一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，以及交集、并集和补集的运算16.已知函数f（x）=x+ax+a（ar）（1）当a=4，求函数f（x）在1，5上的值域；（2）设g（x）=xf（x）-2x+1，若1，4是g（x）的一个单调区间且在该区间上g（x）0恒成立，求a的取值范围【答案】（1）f（x）在1，5上的值域为8，495（2）实数a的取值范围是（0，+）【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，根据单调性得到函数的最值，根据最值写出值域； （2）结合二次函数的图象列式可得【详解】（1）a=4时，f（x）=x+4x+4，设0x1x22 ，则f（x1）-f（x2）=x1+4x1+4-x2-4x2-4=（x1-x2）+4(x2-x1)x1x2=（x1-x2）x1x2-4x1x2 ，0x1x22，x1-x20，0x1x24 ，即x1x2-40 ，则f（x1）-f（x2）0，即f（x1）f（x2），即在0,2 上函数f（x）单调递减，同理可证函数f（x）在2,+单调递增。则当1x2时， f（x）递减；当2x5时， f（x）递增， x=2时，f（x）min=f（2）=8；x=5时，f（x）max=f（5）=495，f（x）在1，5上的值域为8，495，（2）g（x）=x2+（a-2）x+1+a，其对称轴为x=1-a2，依题意得：1-a21g(1)0g(4)0或1-a24g(1)0g(4)0解得：a0所以实数a的取值范围是（0，+）【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及最值，考查二次函数的图像和性质，考查数形结合思想属中档题17.定义在r上的增函数y=f（x）对任意x，yr都有f（x+y）=f（x）+f（y）(1)求f（0）的值；(2)求证f（x）为奇函数；(3)若f（k2x）+f（4x+1-8x-2x）0对任意x-1，2恒成立，求实数k的取值范围【答案】（1）f（0）=0（2）见证明；（3）k1【解析】【分析】（1）赋值法可解决此问题，令x=y=0即可；（2）利用奇偶性的定义可证明，令y=-x可解出；（3）问题转化为k2x+4x+1-8x-2x0对任意x-1，2恒成立，根据恒成立问题转化为最值问题可解决【详解】根据题意得，（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0）f（0）=0（2）令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0f（-x）=-f（x）f（x）为奇函数；（3）由题知：f（k2x+4x+1-8x-2x）0=f（0）又y=f（x）是定义在r上的增函数，k2x+4x+1-8x-2x0对任意x-1，2恒成立，k2x2x+8x-4x+1k1+22x-2x+2令2x=t，t12，4，则f（t）=1+t2-4tkf（t）max当t=2时，f（t）max=f（2）=1+4-8=-3k-3【点睛】本题考查抽象函数的性质，其中函数的恒成立问题可转化为最值问题来解决18.已知f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数（1）求k的值；（2）判断函数y=f（x）-12x在r上的单调性，并加以证明；（3）设g（x）=log4（a2x-43a），若函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点，求实数a的取值范围【答案】（1）k=-12 (2)见证明；(3) （1，+）-3【解析】【分析】（1）由偶函数的定义可得f（-x）=f（x），结合对数函数的运算性质，解方程可得所求值；（2）函数h（x）=f（x）-12x=log4（4x+1）-x在r上递减，运用单调性的定义和对数函数的单调性，即可证明；（3）由题意可得log4（4x+1）-12x=log4（a2x-43a）有且只有一个实根，可化为2x+2-x=a2x-43a，即有a=2x+2-x2x-43，化为a-1=1+432x2x(2x-43)，运用换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围【详解】（1）f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数，可得f（-x）=f（x），即log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx，即有log44-x+14x+1=2kx，可得4-x+14x+1=42kx，即4-x+1=4(2k+1)x+42kx由xr，可得k=-12；（2）函数h（x）=f（x）-12x=log4（4x+1）-x在r上递减，理由：设x1x2，则h（x1）-h（x2）=log4（4x1+1）-x1-log4（4x2+1）+x2=log4（4-x1+1）-log4（4-x2+1），由x1x2，可得-x1-x2，可得log4（4-x1+1）log4（4-x2+1），则h（x1）h（x2），即y=f（x）-12x在r上递减；（3）g（x）=log4（a2x-43a），若函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点，即为log4（4x+1）-12x=log