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第三章复变函数的积分,第3节柯西积分公式,柯西积分公式,高阶导数公式,设B为单连通域,f(z)在B内解析,z0B,在C内部作CR:|z-z0|=R(取其正向),绕z0的任一正向简单闭曲线,则,设C为B内,B,C,一、柯西积分公式,定理(柯西积分公式)：如果f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内部的任一点,则,D,C,证明:由于f(z)在z0连续,D,C,CR,z,z0,R,且R0,存在d0,当|z-z0|0,使,在C的内部区域.,因此当z在C上时,利用类似的方法可求得,证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.,例1.求积分,解因为函数在复平面解析,在内,n=3,根据,例2.求积分,解因为函数在复平面解析,在内,n=1,根据,例3.求积分,解.函数在C内的处不解析.,在C内分别以i和-i为中心作正向圆周C1和C2,由,其中C是正向圆周,于是,同理,柯西-古萨(CauchyGoursat)基本定理,设B为单连通域，则,f(z)在B内解析,C为B内任何一条闭曲线。,？,Morera定理,设B为单连通域，,如f(z)在B内连续，,且对B内任,何一条简单闭曲线C,有,则f(z)在B内解析。,典型例题,例4.计算积分,解由,例5.设C表示正向圆周,求,于是而1+i在C内,所以,解根据,当z在C内时,例6.计算积分其中,解(1)根据,(2)根据,(3)根据以及前面的结果,解,(1)n0时,函数在上解析.,(2)n=1时,由得,由得,可得,(3)n1时,根据,例8.计算积分其中C是正向圆周,解因为函数在C内z=1处不解析,但在C内处处解析,所以根据,作业,P59：5(3,4);6(3
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