高等数学 第六章定积分的应用习题课（课堂PPT）

第六章定积分应用习题课,1,一、定积分应用的类型,1几何应用,平面图形的面积,特殊立体的体积,平面曲线弧长,旋转体的体积,平行截面面积为已知立体的体积,2物理应用,变力作功,水压力,引力,2,二、构造微元的基本思想及解题步骤,1.构造微元的基本思想,无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。,元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须是无穷小量之间的代替。将局部上所对应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成定积分,3,2.在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：,选取适当的坐标系；,三、典型例题,1.几何应用,定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元素、体积元素和弧长元素。,在上求出微元解析式,把所求的量表示成定积分,确定积分变量和变化范围；,4,【例1】求由所围成图形的面积。,分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形如图所示。如果取为积分变量,则,解：(1)确定积分变量和积分区间：,的交点为和,取为积分变量,则,由于曲线和,5,（2）求微元：任取,如果将图形上方直线的纵坐标记为,将图形下方抛物线的纵坐标记为,那么，就是区间所对应的矩形的面积。因此,（3）求定积分：所求的几何图形的面积表示为,计算上面的积分得：,6,分析：在直角坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图,所示。如果取为积分变量，则设区间,所对应的曲边梯形,就是在上“以直代曲”,所形成的矩形面积。,面积为则面积元素,7,考虑到当和时,上所对应曲边梯形不同，所以，相对应矩形面积的表达式也不同，因此微元应该分别去求.,所以选取为积分变量,.,8,（3）求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：,解上面的积分得：,即,即,9,分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，,设区间所对应的曲边梯形面积为,如果取为积分变量,则.,10,解:(1)确定积分变量和积分区间：选取为积分变量，,(2)求微元：,(3)求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：,11,【例4】求曲线围成的图形的面积.,分析：在极坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图所示。,所对应的曲边扇形的面积为,所求图形的面积,因为曲线关于轴对称，所以只须考虑第一象限中的情况.取为积分变量,则设区间,12,解：(1)确定积分变量和积分区间:取为积分变量，,(3)求定积分：第一象限图形的面积表示为,则所求的几何面积为,13,【例5】设由曲线，及围成,平面图形绕轴,轴旋转而成的旋转体的体积。,14,解:(一)求绕轴旋转而成的旋转体的体积,（1）确定积分变量和积分区间：绕轴旋转如图,（2）求微元：对,取为积分变量,则,15,（3）求定积分：绕轴旋转而成的旋转体的体积表示为,计算积分得：,（1）确定积分变量和积分区间：绕轴旋转如图,取为积分变量,则,(二)求绕轴旋转而成的旋转体的体积,16,（2）求微元：对,旋转体的体积元素,是对应的矩形绕轴所得的旋转体体积,即,（3）求定积分：绕轴所得的旋转体的体积表示为,17,计算积分得:,18,对设区间所对应的曲边梯形为,旋转而成的旋转体的体积。,的旋转体的体积微元就是矩形分别绕直线,分析：此题为求解旋转体体积的问题，因为直线,以直代曲所形成的矩形为则绕直线旋转而成,平行于轴,所以绕直线旋转时,取积分变量。,19,解:(1)确定积分变量和积分区间：,(2)求微元：对,轴所得的旋转体的体积，即,取为积分变量,则,绕直线旋转如图，,旋转体的体积元素是对应的矩形绕,20,计算积分得：,(3)求定积分：绕轴旋转而成的旋转体的体积表示为,21,【例7】计算底面是半径为2的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。,建立如图所示的坐标系，,解:(1)确定积分变量和积分区间：,则底圆方程为,取为积分变量,所以,22,（2）求微元：因为过点的截面为等边三角形（如图），其边长为高为,所以截面积为,因此,对所对应的体积元素为,（3）求定积分：所求立体的体积为,23,分析：所给定的曲线弧如图所示。,对把区间上,所对应的曲线段长用切线段长,代替，则得到弧长的微元的解析式.,取积分变量为则,取为积分变量,则,解:(1)确定积分变量和积分区间：计算两曲线的交点的横坐标得,24,由于,从而,(3)求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得,25,【例9】求星形线的全长.,解:(1)确定积分变量和积分区间:,取参数为积分变量,26,(3)求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得,则所求曲线弧长为,27,注：若曲线用极坐标的形式表出，也可转化为直角坐标来做，但积分时要注意积分上下限的确定。,以上例1-9给出了定积分在求几何图形面积，旋转体体积，截面面积为已知的立体的体积和曲线弧长方面的应用。下面的例10给出了定积分的综合应用。,【例10】*设曲线与交于点,过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面图形，,问为何值时,该图形绕轴旋转一周所得到的旋转体的,体积最大？最大体积是多少？,28,分析：此题为定积分应用的最值问题，首先应先求出交点,的方程与曲线围成一平面图形绕轴旋转一周,所得到的旋转体的体积可看成直线绕轴旋转一周,所得旋转体的体积减去曲线绕轴旋转一周所得,旋转体的体积,见图,最后求驻点，即可得.,解：求交点：,的坐标，确定的范围,然后求出直线的方程,直线,解得,29,直线方程为,30,令得为唯一驻点.,所以，当时旋转体的体积最大,2.物理应用,定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节仅给出作功、水压力和引力问题的例子。,重点强调应用元素法如何确定功元素、水压力元素和引力元素。特别指出的是，在应用定积分解决物理应用方面的问题时，选取合适的坐标系，有利于积分式的简化，从而实现计算简单。,31,分析：吸水作功是水的重力在作功问题，此问题可理解成将水一层一层吸出的。取坐标原点在水平面，轴铅直向下,如果设所对应的薄层的体积为,那么在上以直代曲，便得体积元素,从而得到重力作功的功元素,解:(1)确定积分变量和积分区间：建立如图所示的坐标系.,32,则半圆的方程为取为积分变量,则,(3)求定积分：将满池水全部抽出所作的功为,33,【例12】一底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅直沉入水中，顶在上，底在下，底与水平面平行，顶距水面3厘米，求每面所受的压力。,分析：由于水压力等于受力面积乘以压强。如果取如图所示的坐标系，,压力可理解水深处的压强乘上受力面积.,那么在窄条所受的水,34,所以的水压力元素为,(3)求定积分：每面所受的压力为,35,解:(1)确定积分变量和积分区间：建立如图的坐标系.,(2