整式的乘除与因式分解.ppt

1,第十五章整式的乘除与因式分解,北京四中网校抚顺分校,2,3,基础达标,4,5,6,例4,7,例5(3)(3),8,例6,9,乘法公式,基本公式：a2-b2=(a+b)(a-b)(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b变形公式：,10,拓展公式：立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3,11,整式中的数学思想,1、整式运算中的化归思想定义：把问题A通过一定的手段进行转化，归结为问题B，而问题B是相对容易解决的问题或已有固定的解决程式的问题，且通过B的解决，能够得到A的解决。注意：逆向思维的运用及基本公式的灵活运用，并创造条件运用公式。2、整式运算中的整体思想北京四中网校2009暑假数学,12,一、基本变形,1、用“”号，把355、444、533连结起来。解：355=(35)11=24311,444=(44)11=25611,533=(53)11=12511,而256112431112511.444355533.2、计算19992-20001998=_解：原式=19992-19992+1=1,13,二、公式转换,1、已知a+b=5,ab=6求a2+b2和（a-b）2的值。解：a2b2(ab)22ab251213(ab)2(ab)24ab252412、已知x-y=2,x2+y2=4,求x2002+y2002的值？解：(x+y)200222002注意：灵活运用，基本公式及其变形公式。,14,三、创造条件使用公式,1、已知：x=a+1，y=a+2，z=a+3，求：x2+y2+z2-xy-yz-zx的值。解：原式=1/2（2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx）=1/2（x-y)2+（y-z)2+（z-x)2由题意得：x-y=-1，y-z=-1，z-x=2原式=1/2（-1)2+（-1)2+（2)2=32、求的值解：原式=19991998/19991996+19992000=1/23、4a2+4b2+12a-16b+25=0,求ab/(a+b)的值？解：(2a+3)2+(2b-4)2=0a=-3/2b=2ab/(a+b)=-6,15,四、x与1/x类型,1、若x-1/x=3，求x2+1/x2的值。答案：112、若x2-13x+1=0,则x4+的个位数字是。答案：73、非0实数a、b满足4a2+b2=4ab，求的值。答案：2注意：熟悉x与1/x关系一类题的性质，并学会创造条件。,16,五、消元问题,1、已知实数x、y、z满足x+y=5，z2=xy+y-9,那么x+2y+3z=_。解：带入，消元，z=0,y=3,所以原式=82、设x+2z=3y,试判断x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值,求出它的值;否则请说明理由.解：定值为0注意：在解决多元问题时，通常使用消元法，切记此类问题要敢于去做，去消，看起来变复杂了，实际常常是柳暗花明。,17,六、降次问题,1、已知x2-2x-3=0,求x3+x2-9x-8的值。解：x2=2x+3，代入得值为1注意：降次问题在初二阶段使用不多，但要了解解决此类问题的方法，仅以此题为例。,18,七、规律性问题,1、19492-19502+19512-19522+19972-19982+19992=_解：(1949+1950)(1949-1950)+(1951+1952)(1951-1952)+(1997+1998)(1997-1998)+（2000-1）2=-（1949+1950+1951+1997+1998）+（4000000-4000+1）=-50（1949+1998）+4000000-4000+1=4000000-98675-4000+1=3897326注意：复杂的公式应用，找到其中的规律。,19,2、求的值3、注意：灵动思维的锻炼，发现规律。,2005003,20,八、尾数问题,1、19881989+19891988的个位数字是_解：19881989=19884497+1=(19884)4971988,而(19884)497的个位数是6。19881989的个位数是8。19891988=19892994=(19892)994,而19892的个位数字是1，则(19892)994的个位数字是1。即19891988的个数数字是1。19881989+19891988的个位数字是9注意：化归思想，变动为静思想，整体的思想，拆分的思想等多种思想的综合应用,21,2、31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，39=19683，它们的个位数字的变化有一定规律，用你发现的规律直接写出910的个位数字是几？答案：13、判断（2+1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1的个位数字是几？解：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（22048-1）+1=24096=161024个位数字必为6。注意：多种数学方法的综合应用。,22,九、实际应用问题,1、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低.某品牌电脑按原售价降低m元后，又降价20%，现售价为n元，那么该电脑的原售价为多少？解：(5n/4+m)元注意：此类问题是现阶段考试的热点，难度不大，往往联系实际，只是一些固有知识穿上了时尚的外衣。,23,十、综合运用问题,1、一个自然数减去45后是一个完全平方数,这个自然数加上44后仍是一个完全平方数,试求这个自然数.设这个自然数为x,由题意得-得n2-m2=89即(n+m)(n-m)=891从而,解得(m,n都为自然数)故x=452-44=1981.注意：多个知识点的综合考察性问题。,24,练习,1已知：5x2+10 x+30=5-4xy-y2,求2x+y的值?2已知：2a+b=4,3b=2c,求(a+c-b)2-(3a+c)2的值？3已知：a-b=ab=2,求3a2+4ab+3b2的值？4已知：x2-5x-1=0,求x2+1/x2的值？5已知：a2+b2+2c2+2ac-2bc=0,求a+b的值?6已知：x2-5x+1=0,求x3-4x2-4x-1的值？7已知：25x2-30 xy+k是完全平方式,求k的值？8已知：三角形abc满足a2+b2+c2=ab+bc+ca判断三角形abc的形状。答案：32，-32，32，27，0，-2，9，全等,25,作业,整式运算中的整体思想北京四中网校2009暑假数学知识导学整式运算部分知识要点梳理注意对每个知识点的诠释深刻理解，领悟知识点内涵成果测评，大量的练习保持运算的感觉,26,因式分解,因式分解是代数的重要内容，它是整式乘法的逆变形，在通分、约分、解方程以及函数恒等变形中有直接应用。重点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法。难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题能力。,27,1、提公因式法、2、公式法、3、十字相乘法、4、分组分解法、5、拆项、添项法、6、配方法、7、主元法、8、待定系数法、9、双十字相乘法、10、因式定理法、11、求根法、12、试根法、13、换元法、*14、图象法、*15、特殊值法、,28,定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解是整式乘法的逆变型。注意：1、整式的积的形式2、分到不能再分为止3、结果不要带中括号,29,提公因式法,1、提公因式法最基本方法提取：符号（-）、系数(最大公因数)、相同字母(最小次数)注意：1、提公因式一定要提干净2、不要漏项3、整体的提法（）字母顺序要一致,30,1、5x2y+15x3y2-20 x2y32、-3x2y+12x2yz-9x3y23、(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)4、xn+1-xn-15、x(x-y)(a-b)-y(y-x)(b-a)答案：1、5x2y(1+3xy-4y2)2、-3x2y(3xy-4z+1)3、(y-x)(b-a)4、xn-1(x+1)(x-1)5、(x-y)2(a-b),31,二、公式法,2、公式法平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a22abb2(ab)2；立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a33a2b3ab2b3=(ab)3.注意：1、有公因式先提公因式2、再观察可以使用哪个公式3、分到不能再分为止,32,1、32x3y4-2x32、(x+y)2-12(x+y)z+36z23、1/2(x2-2y2)-2(x2-2y2)y2+2y44、8a-4a2-45、x7y2-xy8答案：1、2x3(2y-1)(2y+1)(4y2+1)2、(x+y-6z)23、1/2(x+2y)2(x-2y)24、-4(a-1)25、xy2(x-y)(x2+xy+y2)(x+y)(x2-xy+y2),33,十字相乘法,3、十字相乘法这种方法有两种情况。x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)kx2+mx+n型的式子的因式分解如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d),34,1、x2-x-122、x2y2-7xy+103、(x+y)2-2(x+y)-34、2x2-7x+35、6-7x-5x2答案：1、(x-4)(x+3)2、(xy-2)(xy-5)3、(x+y-3)(x+y+1)4、(x-3)(2x-1)5、-(x+2)(5x-3),35,分组分解法,4、分组分解法分组分解主要针对三项以上的多项式进行一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。分组之后对不同的部分采取不同的方法进行分解,36,1、a2-ab+ac-bc2、x2-3x-6y-4y23、x3-x2-x+14、(a-b)2-1-2c(a-b)+c25、a2-b2-2b-1答案：1、(a-b)(a+c)2、(x+2y)(x-2y-3)3、(x-1)2(x+1)4、(a-b-c+1)(a-b-c-1)5、(a-b-1)(a+b+1),37,拆项、添项法,5、拆项、添项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。6、配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式。,38,1、m4+m2n2+n42、x4+43、x3+2x2-1答案：1、(m2+n2+mn)(m2+n2-mn)2、(x2+2x+2)(x2-2x+2)3、(x+1)(x2+x-1),39,整体思想,13换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元.,40,1、(x2+x+1)(x2+x+2)-12解：令x2+x=y原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y+5)(y-2)即(x2+x+5)(x2+x-2)=(x2+x+5)(x+2)(x-1)2、(2a2-a)(2a2-a-9)-18(2a2-a-3)(2a2-a-6),41,3、x(x+1)(x+2)(x+3)-24(x2+3x+6)(x2+3x-6)4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9(x2+8x+16)(x2+8x+6)5、(x2+3x+1)2-2(x2+3x)-10(x2+3x+3)(x2+3x-3)6、(a+b-c-d)2+4(a+b)(c+d)(a+b+c+d)2,42,复杂分解方法2,10、主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。11、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。12、双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。注意针对解决二次六项式,43,1、x2+2xy-8y2-4x-10y+3(x+4y-3)(x-2y-1)2、2x2+xy-6y2+2x+11y-4(2x-3y+4)(x+2y-1)3、x2-2xy-3y2+2x+10y-8(x-3y+4)(x+y-2)4、4x2-4xy-3y2-4x+10y-3(2x-3y+1)(2x+y-3),44,复杂分解方法1,7、因式定理8、求根法9、试根法原理均为找到根，利用综合除法或多项式除法解决。主要针对解决高次多项式问题,45,1、x3+6x2+11x+6(x+1)(x+2)(x+3)2、x3-2x+1(x-1)(x2+x-1)3、x3-3x-2(x+1)(x2-x-2)4、2x4+7x3-2x2-13x+6(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)5、如果代数式x3-x2-16x+a有一因式x-4，求a的值a=16,46,高中方法,*14、图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,xn，则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn)*15、特殊值法将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。,47,十字相乘练习,1、x2-x-29、2x2+5x+22、x2+5x+610、3x2+x-23、x2-7x+1211、6x2+13x+64、x2+7x+1012、4x2+7x-155、x2-4