方向滤波器(组)的设计及应用

西安电子科技大学 硕士学位论文 方向滤波器（组）的设计及应用 姓名：叶石火 申请学位级别：硕士 专业：电路与系统 指导教师：石光明 20100101 摘要 数字滤波器能够非常直接和有效地提取信息，其在诸多领域有着广泛的应用， 例如通信、雷达信号处理、系统识别以及图像处理等。近年来，数字方向滤波器 由于其能够有效提取多维信号的方向特征信息而备受关注。本文主要围绕楔形方 向滤波器和块状方向滤波器组的设计以及它们在图像处理中的应用来展开研究。 主要进行了以下两个方面的工作： 第一，本文简要回顾了方向滤波器的发展历史。经过分析和总结，我们发现 现有的方向滤波器设计方法存在以下不足之处：复杂的优化，在现有的设计方 法中，滤波器的系数最终都要经过复杂优化才能得到；方向数目受限，由于各 种限制条件及优化方法的制约，现有方法都无法得到具有任意方向分布的滤波器。 本文从变换的角度出发，采用极坐标傅里叶变换进行方向滤波器的设计。将原型 楔形滤波器在极坐标傅里叶域中进行旋转来得到具有不同方向分布的楔形滤波 器，最后通过反变换来得到相应滤波器的系数。此方法无需进行复杂的优化，且 可通过移位来任意改变旋转的角度，从而实现单个任意方向滤波器的有效设计。 在图像处理应用中，我们利用本文方法得到的一系列方向滤波器对图像滤波，并 进行频域能量判断，从而实现纹理图像的方向检测。实验结果表明该方法对纹理 图像具有较好的方向估计能力。 第二，今文的另一个关注点是纹理图像的稀疏表示。图像的稀疏表示对图像 的压缩和去噪具有十分重要的意义。本文中，在分析了利用传统小波对纹理图像 进行处理的劣势后，本文提出了一种新的无冗余块状方向滤波器组。此滤波器组 由一维M 通道线性相位滤波器组和二维象限滤波器组构成，具有较低的设计和实 现复杂度。此外，非冗余特性使得其更适合于图像压缩等图像处理应用。本文将 所设计的滤波器组应用于图像的非线性逼近，实验结果表明该方法相比传统的小 波变换和c o n t o u r l e t 性能更佳。 关键字：方向滤波器极坐标傅里叶变换方向检测无冗余方向滤波器组非线性 逼近 A b s t r a c t D u et ot h ea b i l i t yo fe x t r a c t i n gi n f o r m a t i o nd i r e c t l ya n de f f i c i e n t l y , d i g i t a lf i l t e r h a v eb e e nw i d e l yu s e di n m a n ya p p l i c a t i o n s ，s u c h a s c o m m u n i c a t i o n s ，s y s t e m i d e n t i f i c a t i o n ，i m a g ep r o c e s s i n g ，e t c R e c e n t l y , al a r g ea m o u n to fa t t e n t i o nh a sb e e np a i d t ot w o - d i m e n s i o n a l ( 2 - D ) d i r e c t i o n a l f i l t e r s ，s i n c et h e yc a l le x t r a c td i r e c t i o n a l i n f o r m a t i o ne f f i c i e n t l y n l ed e s i g no f2 Dd i r e c t i o n a lf i l t e r sa n dc h e c k e r b o a r d s h a p e d d i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k s ( D F B s ) a sw e l la St h e i ra p p l i c a t i o n si ni m a g ep r o c e s s i n ga r e i n v e s t i g a t e di nd e t a i l i nt h i sd i s s e r t a t i o n T h em a i nw o r kc a l lb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： F i r s t l y ，ab r i e fr e v i e wo ft h ed e v e l o p m e n to fd i r e c t i o n a lf i l t e r si sg i v e n T h r o u g ht h e a n a l y s i so ft h e m ，w es u m m a r i z et h a tt h em e t h o d sa v a i l a b l eh a v et h ef o l l o w i n g d i s a d v a n t a g e s ：a ) c o m p l i c a t e do p t i m i z a t i o n , t h a ti s ，t h ec o e f f i c i e n t so ft h ef i n a lf i l t e r s a r ea l w a y so b t a i n e db yc o m p l i c a t e do p t i m i z a t i o n ；”l i m i t e dn u m b e ro fd i r e c t i o n s ，t h a t i S ，d u et ot h el i m i t a t i o no fv a r i o u sc o n s t r a i n t sa n do p t i m i z a t i o n , d i r e c t i o n a lf i l t e r sw i t h a r b i t r a r yo r i e n t a t i o nc a n n o tb eo b t a i n e db yt h ee x i s t i n gm e t h o d s I nt h i sp a p e r ，w eu s e p o l a rF o u r i e rt r a n s f o r m t od e s i g nd i r e c t i o n a l f i l t e r s B yr o t a t i o nm o d u l a t i n g a w e d g e s h a p e dp r o t o t y p ef i l t e ri nt h ep o l a rF o u r i e rd o m a i n , w ec a no b t a i nd i r e c t i o n a l f i l t e r sw i t hv a r i o u so r i e n t a t i o n s T h ec o r r e s p o n d i n ge o e f f i c i e n t sa r eo b t a i n e db yt h e i n v e r s et r a n s f o n n S i n c en oc o m p l i c a t e do p t i m i z a t i o ni Si n v o l v e d t h ef i l t e r sc a l lb e o b t a i n e ds i m p l ya n de f f i c i e n t l y F u r t h e r ，b ye m p l o y i n gt h e s ed e s i g n e dd i r e c t i o n a lf i l t e r s ， w ec a l ld e t e c tt h ed i r e c t i o n so ft e x t u r ei m a g e se x a c t l y E x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h e p o t e n t i a lp o w e ro ft h ep r o p o s e dm e t h o d S e c o n d l y , a n o t h e rf o c u sc o n c e r n e di st h es p a r s er e p r e s e n t a t i o no ft e x t u r ei m a g e s n es p a r s er e p r e s e n t a t i o no ft e x t u r ei m a g e sp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei nt h ea r e a so f i m a g ec o m p r e s s i o na n di m a g ed e n o i s i n g I nt h i st h e s i s ，w i t ht h ea n a l y s i so nt h e d i s a d v a n t a g e so fe m p l o y i n gc o n v e n t i o n a l2 一Dw a v e l e ti nt e x t u r ei m a g ep r o c e s s i n g ，w e p r o p o s eac l a s so fn o n - r e d u n d a n tD F B s n l ep r o p o s e dD F Bi sc o n s t r u c t e db yu s i n g o n e - d i m e n s i o n a l ( 1 D ) M - c h a n n e ll i n e a r - p h a s ef i l t e rb a n k sa n d2 一Dq u a d r a n tf i l t e r b a n k s ，l e a d i n gt ol o wd e s i g nc o m p l e x i t ya n de a s yi m p l e m e n t a t i o n F u r t h e r m o r e ，t h e n o n r e d u n d a n c yp r o p e r t ym a k e st h ep r o p o s e dD F Bs u i t a b l ef o rt h o s ea p p l i c a t i o n s r e q u i r i n g e c o n o m i c a l r e p r e s e n t a t i o n s T h ee x p e r i m e n t r e s u l t so nn o n l i n e a r a p p r o x i m a t i o ns h o wt h a tt h ep r o p o s e dD F B sh a v eh i g h e rP S N Rt h a nt h ec o n v e n t i o n a l w a v e l e ta n dc o n t o u r l e t K e y w o r d s ：D i r e c t i o n a lf i l t e r , p o l a rF o u r i e rt r a n s f o r m ，d i r e c t i o nd e t e c t i o n ， n o n r e d u n d a n td i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k , n o n l i n e a ra p p r o x i m a t i o n 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：日期兰生三：! 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 本人签名： 第一章绪论 第一章绪论弟一草绪论 1 1 研究背景 作为二维数字信号的重要分析工具之一，二维滤波器的理论设计研究长期以 来一直被国内外的学者广泛关注。二维滤波器被广泛应用于数字通信、图像压缩、 图像去噪、模式识别等领域中。从早期简单的二维可分离滤波器发展到现今复杂 的二维不可分离滤波器，其理论设计随着数字信号处理的各种需求不断发展。例 如，在二维图像信号处理中，丰富的纹理是分析和处理此类图像的重要信息源。 如何更好的提取这些方向性信息已成为纹理图像处理的重要需求。由于传统的二 维可分离数字滤波器在方向选择性上的缺失，因此，具有方向选择能力的二维方 向滤波器的设计开始受到越来越多的关注。在过去的几十年中，单个二维方向滤 波器的设计主要集中于扇形方向滤波器( f a nf i l t e r ) 上，自B a m b e r g e r 掣l 】在1 9 9 2 年 提出方向滤波器组结构后，具有可重构特性的方向滤波器组的研究取得重要成果。 下面我们将分别对二维扇形方向滤波器和二维方向滤波器组的发展进行回顾。 1 1 1 二维扇形方向滤波器发展 扇形方向滤波器是在频域中具有楔形通带分布的二维数字滤波器( 图1 1 ) ， 其在图像数据压缩1 2 】和地质、地震【3 】等方面的数据处理中有着广泛的应用。现有的 扇形滤波器的设计大多集中于水平和竖直两个方向。其设计方法主要有三类：直 接优化法o 】、变换法【1 1 - 2 2 1 和下采样法【2 3 之5 1 。直接优化法主要用于早期的滤波器设 计中。19 8 5 年，C C h a r a l a m b o u s 6 】等通过利用极小极大法( m i n i m a x ) 直接优化二维 滤波器系数，从而得到具有线性相位特性的二维F I R 滤波器，1 9 8 7 年，E E V a i d y a n a t h a n t 7 】将最小二乘 法( 1 e a s ts q u a r e ) 应用于设计二维扇形滤波器中，此方法相 比极小极大法可实现更有效的计算。1 9 9 3 年，G i s l a s o n 等峭】提出加权最d - - 乘法 ( w e i g h t e dl e a s ts q u a r e ) 并将其应用于二维扇形滤波器设计中，从而进一步优化了设 计所得到的二维滤波器结构。 J、 I 夕 t O , 图1 19 0 。扇形方向滤波器的理想频谱支撑域 2 方向滤波器( 组) 的设计及应用 由于直接优化法计算极为复杂，无法得到具有良好特性的滤波器结构。因此， 基于各种变换的设计方法开始受到广泛关注。1 9 8 7 年，R A n s a r i 1 4 】通过利用变换 传输函数石( z 2 ) + z 正( z 2 ) 实现了9 0 。方向的扇形方向滤波器设计。然而，此方法在 传输函数的设计上具有较高的复杂度。在基于变换的设计方法中，M c C l e l l a n 变换 无疑应用最为广泛，同时设计出的滤波器特性也最优。此变换由J M M c C l e l l a n t l 5 。1 6 1 提出。1 9 9 0 年，E Z P s a k k i s 等【l 7 】利用M c C l e l l a n 变换设计具有一般形状的二维扇 形滤波器。后来，许多学群1 8 埘】通过将M c C l e l l a n 变换结合最小二乘法、基因算法 和二次规划等方法降低了变换中的优化计算量，从而设计出性能更优的二维扇形 方向滤波器。2 0 0 9 年，J o n g J yS h y u 掣2 2 】进一步扩展M c C l e l l a n 变换法，将其应用 于设计各种二维F I R 滤波器中，并可通过调整其中的变量参数来实现各种通带夹 角的扇形方向滤波器的设计。然而，由于M c C l e l l a n 变换自身的不足以及其变换中 的复杂优化问题，使其只能设计具有可变通带夹角的扇形方向滤波器，而无法实 现通带中心方向可变的二维滤波器。 下采样法1 2 3 - 2 5 是通过二维下采样操作来设计二维滤波器的方法。1 9 9 1 年，T C h e n 和P P V a i d y u n a t h n n 通过对二维可分离滤波器进行平移和下采样操作，得到 了具有水平和垂直方向分布的扇形方向滤波器，此方法无需对二维滤波器进行复 杂的优化，且可实现良好的频域特性。但由于其特性受到采样因子的制约，因此 只适用于单一方向的滤波器设计中。1 9 9 7 年，S S u z u k i 等【2 5 J 通过对原型滤波器进 行不同的下采样，获得具有不同方向特性的二维滤波器，同样，由于采样因子的 制约，此方法只能实现4 N ( 为正整数) 个不同方向的扇形方向滤波器。 1 1 2 二维方向滤波器组发展 本论文的后半部分主要研究具有方向提取能力的二维方向滤波器组的设计。 方向滤波器组最早I 由B a m b e r g e r I l l 在1 9 9 2 年提出，此方向滤波器组采用树形结构实 现，可实现2 “个楔形方向子带划分( r 为分解级数) 。图1 2 给出了疗= 2 时滤波器 组的实现结构。2 0 0 5 年，M N D o 等L z 6 J 提出了轮廓波( c o n t o u r l e t ) 变换，其具有良好 的方向性和各向异性，同时可实现多分辨特性。但是，该变换具有4 3 的冗余度， 并且同样只能实现2 ”个方向子带划分。为使方向滤波器组具有更灵活的方向划分， T T N g u y e n 等【2 7 - 2 8 】提出了多分辨方向滤波器组。该滤波器组可实现3 2 “个方向子 带，然而，其设计过程中采用的二维滤波器具有复杂的结构，这使得设计复杂度 大大提高。2 0 0 4 年，R E s l a m i 等1 2 9 J 提出轮廓小波变换( w a v e l e t b a s e dc o n t o u r l c t t r a n s f o r m ，w B c a 3 ，将方向滤波器组应用于小波变换中，保持了小波变换和方向滤 波器组的诸多优点。随着各种技术的成熟，方向滤波器组的设计正朝着具有频谱 划分更灵活、设计更简单、无冗余等特点的方向不断发展，以实现更有效的几何 第一章绪论 图像表示。 第一级 第二级 图1 2 二级四带方向滤波器组的实现结构图 1 2 论文主要工作 纵观二维方向滤波器以及方向滤波器组的发展，我们发现其都朝着方向选择 性更加灵活的方向一直进步。但是，无论是单个方向滤波器还是方向滤波器组， 至今都尚未很好的实现具有任意方向选择性的滤波器设计。本论文分别从滤波器 和滤波器组的角度出发，力求设计出更加适用于图像纹理分析的滤波器结构。其 中，在单个滤波器设计上，我们提出了基于极坐标傅里叶变换的设计方法，在此 坐标系中对滤波器实现旋转调制，以达到方向任意可变的滤波器设计。在方向滤 波器组设计上，我们结合二维多通道可分离滤波器组和二维象限滤波器组，实现 了方向子带划分更灵活的无冗余块状方向滤波器组的设计。 以下是论文的主要结构安排： 第二章主要介绍了二维多速率系统的基础知识，并简要回顾了现有的扇形滤 波器设计方法。 在第三章中，我们首先对极坐标傅里叶变换进行了分析，然后在此基础上， 提出了一种基于极坐标傅里叶变换的楔形方向滤波器设计方法，并给出相应的滤 波器设计实例。 在第四章中，我们首先分析了图像的纹理方向与其傅里叶功率谱方向的关系， 然后提出利用前一章中设计出的方向滤波器在频域中对纹理图像进行方向预测， 并给出了图像预测的实验结果。 在第五章中我们提出了一种新的无冗余块状方向滤波器组的设计方法，其通 4 方向滤波器( 组) 的设计及应用 过一维M 通道滤波器组和二维象限滤波器组来构成，并给出了此滤波器组的非线 性逼近实验结果。 最后，我们对现有的工作进行了总结，并对未来的工作进行了展望。 1 3 本章小结 本章主要分析了此篇论文的研究背景及意义，并简要叙述了方向滤波器及方 向滤波器组的发展。方向滤波器( 组) 的方向选择能力使其在纹理图像处理中占 据着重要作用，对其进行研究具有一定的实用性和较好的发展前景。同时，本论 文也说明了现今研究存在的一些问题，并在此方面介绍了本论文的一些具体工作。 最后，我们给出了本论文的主要结构安排。 第二章二维多速率理论基础及扇形滤波器设计回顾 第二章二维多速率理论基础及扇形滤波器设计回顾 2 1 引言 在本章中，我们主要对论文中要用到的二维多速率理论基础以及扇形方向滤 波器的设计进行简要回顾。 在2 2 节中，我们主要介绍二维多速率理论的基础知识。2 3 节主要回顾了现 有的扇形方向滤波器设计方法，并对其各自的优缺点进行了分析。2 4 节对本章的 内容进行了总结。 2 2 二维多速率理论基础 首先，我们介绍多维多速率信号处理理论中常用的符号和预备知识。本文中， 集合、向量和矩阵均采用黑体字母。如，Z 表示肘维的复向量z = Z oZ I 一。r ； n 表示 M 维的整数向量n 惕一。r 。 我们定义： J W 一1 z 。= Z 0 刁 一1 - I = 兀矿；z 。= 【z 4 1z 4 2 z d u a 】7 ，其中，D 为一个M M 的整 I = O 数矩阵，d 。为矩阵的第i 个列向量；A 7 和A 分别表示矩阵A 的转置矩阵和共扼矩 阵；A ，表示矩阵A 在( f ，) 的元素值。I M 。M 表示M M 的单位矩阵。 2 2 1 采样晶格 在多速率系统中，采样是最基本的操作之一。不同于一维系统，二维多速率 系统的采样更加复杂。它包括两个基本概念：采样矩阵和采样晶格( L a t t i c e ) 。一个 二维采样矩阵M 是一个2 x2 的整数非奇异矩阵。其采样率为该矩阵行列式的绝对 值，记为，( M ) = I d e t ( M ) l 。采样晶格定义为一组由M 生成的整数向量集合： L A T ( M ) = M 玛n A ，( 2 一1 ) A 代表所有二维整数向量集合。显然，该集合是一包含无限多个二维整数向量的 离散集合。图2 1 给出了由采样矩阵。= 言呈 和Q = 二1 ： 所生成的晶格。 6方向滤波器( 组) 的设计及应用 图2 1 采样晶格( a ) 由D 生成，( b ) 由Q 生成 作为采样系统中的另一个重要概念，向量陪集( C o s c t ) N ( M ) 被定义为具有 n = M x ，x O ，1 ) 2 形式的整数向量的集合。其中向量n 的个数等于采样率，( M ) 。 图2 2 给出了由采样矩阵M = ；：1 生成的N c M ， 这里， 刚喇协( ：) ) o 图2 2 由采样矩阵M 生成的N ( M ) 此外，由采样矩阵M = 锪M 2 2 J 生成的对称平行六面体( 踟呦嘶c p a r a l l e l e p i p e d ，S ! P D ( M ) ) 被定义为3 S P D ( M ) = s e to fa l lp o i n t sM x w i t hx 【1 ，1 ) 2 ，( 2 2 ) 则S P D ( z M 可) 可表示为 一7 r M l q + M ：l t O y 万，( 2 3 ) l 一巧 厶2 吐+ M 2 2 国) ， 石 例如，当M = ： 时 其对应的渤( 棚1 如图2 3 所示。 第二章二维多速率理论基础及扇形滤波器设计回顾 7 q jj 飞 夕 图2 3 由采样矩阵M 生成的S P D ( n M 彳) 2 2 2 下采样( D o w n s a m p l i n 9 1 对于二维整数采样矩阵M ，下采样定义为 y D ( n ) = x ( M n ) ， 其对应的框图如图2 4 所示，图2 5 给出了M = 二： 时对应的采样示意图。 颤n ) _ 卧( n ) 图2 4 下采样框图 x ( n ) 他 、7 ( n ) 0 1 23 4 01 图2 5 下采样示意图c M = 三： ) ( 2 4 ) 下采样操作在频域内的输入输出关系如下： 州2 而1 卟N ( M ，) X ( M 一7 ( o - 2 z k j ) ) ( 2 5 ) 可以看出，变换后具有J ( M ) 项，其中X ( M 刁) 为输入信号频谱X ( m ) 的“拉伸 项。对应于k ，0 的其余各项为x 佃) 的“拉伸频移 项。我们把k 0 的项称为 “( A l i a s i n g ) 。当且仅当这些混叠项均为0 时，才有可能从输出信号t o ( o ) 中 恢复出原始输入信号x ( o ) 。 8 方向滤波器( 组) 的设计及应用 例如当M = 言习时，可得出N c M7 ，= 托三) ，( ，( ：) ，( ： ，( 呈) ，( ) 。因此 X 油) 的“拉伸 项共有6 项。假定X ) 的频谱如图2 6 ( a ) 所示，则可得出X ( ) 的 各个相应“拉伸”项如图2 6 ( b ) 所示。 氆2 2 厂、 。 应赢 一2 1 混 L 2 I7 义斛 新X夕混叠J 槲。 五又八0o X ( M 一，) 。劫r ( b ) 图2 6 ( a ) 输入信号频谱，( b ) 经下采样后输出信号频谱 2 2 3 上采样( U p s a m p l i n g ) 助( n ) = 言M n J f 。砌n e 刑L 西A P _ M x 其对应的框图如图2 7 所示。 缸n ) 酽Y v ( n ) 图2 7 上采样框图 图2 8 给出了M = 三： 时对应的采样示意图。 域 ( 2 6 ) 第二章二维多速率理论基础及扇形滤波器设计回顾 9 恐x ( n ) 2 2 4 多速率恒等式 啊 他 y u ( n ) 图2 8 上采样示意图( M = 二 在多逐翠糸统中，恒等式是进行分析研冗的重望工具Z o 本币主要夕0 出两 个最常用的恒等式，如图2 9 和图2 1 0 所示。图2 9 中，当且仅当M 与L 为互素 ( C o p r i m e ) 矩阵时，y l ( n ) - Y 2 ( n ) 。 x ( n ) 匝卜吨丑一乃( n ) m ) 匝 _ 廿胂) 图2 9E 下采样可夺换恒等式( 当日仅当M 与L 为百素) 巫H 巫p 兰巫廿 孙匝卜三叫p 卧 图2 1 0 经典恒等式 2 3 扇形方向滤波器设计方法回顾 现有的扇形方向滤波器设计方法可其分为三类：直接优化法【4 J o 】、变换法【1 1 - 2 2 和下采样法 2 3 - 2 5 J 。通过利用极小极大值和最小二乘等方法来直接优化二维滤波器 的系数，从而获得最优滤波器的方法，我们称之为直接优化法。通过采用变换函 数，将二维滤波器的设计问题转化为一维滤波器和变换函数的优化问题，此方法 称为变换法。最后一类是通过对原型滤波器进行下采样来获得具有不同频谱特性 的滤波器，该类方法称为下采样法。本节将针对此三种方法简要回顾扇形方向滤 波器的设计。 固圈固 固固日由占甲囹 l O 方向滤波器( 组) 的设计及应用 2 3 1 直接优化法 在直接优化法中，常用来直接设计扇形方向滤波器的方法有极小极大值法、 最d , - 乘法和加权最d x - 乘法。此节我们将以文献 1 0 】中的方法为代表进行简要回 顾。 二维滤波器h ( r 6 ，n 2 ) 的( 1 ，2 ) 点离散傅里叶变换为 日( 沙，口加：) = 芝1 1 2 - - 1 | i 2 ( 啊，n 2 ) e - j e - j n 2 a h ( 2 - 8 ) 若办( 碍，也) 满足象限对称性，即满足 办掣- 1 吨等嘲= 办掣仉等圳，( 2 - 9 ) 则( 2 - 8 ) 式可表示为 日( P 炳，P 归：) = M ( q ，哆弘- j 亨- i 脚1 P 一。专- 他1 ， N 1N ， 掣掣( 2 1 0 ) M ( q ，吐) = 口( 啊，他) c o s ，2 l qC 0 s 他哆 由此可得出优化的目标函数为 E = a m D ( q ，哆) 一M ( c o 。，吐) 】2 d c o l d 0 2 + 卢J 弘2 ( q ，咤矽皑崛，( 2 - 1 1 ) P j 其中，P ，J 分别为通带和阻带区域。a ，卢分别为通带和阻带的权值系数。D ( q ，哆) 为理想的幅频响应( 如图2 1 1 所示) ，吐为截止频率。 地删= 器：鬈茹三0 美妻一吒，哆铒 p 0 图2 1 1 理想扇形方向滤波器的幅频响应( 第一象限) 对( 2 - 1 1 ) 式进行优化即可得到最终的滤波器系数乃( 碍，吃) 。以上可看出，此类方法 设计简单，但计算复杂度太高，从( 2 1 0 ) 式可看出，此滤波器需要优化墨2 立生芦 第二章二维多速率理论基础及扇形滤波器设计回顾 1 1 个系数，并且我们无法保证( 2 - 1 1 ) 式的收敛性，即是否能找到最优解。此外，此方 法只能用于设计垂直或者水平方向的扇形滤波器。 2 3 2 变换法 在所有变换法中，M c C l e l l a n 变换无疑是应用最为广泛的变换法。这里，我们 将对用M c C l e l l a n 变换法来设计的扇形方向滤波器进行分析。 对于一维零相位数字滤波器，其幅度响应可表示为 H ( w ) = a ( n ) c o s ( n t o ) ， ( 2 - 1 3 ) n = O 其中，c o s ( n o ) 可用刀阶C h e b y s h e v 多项式表示，即( 2 1 3 ) 式可表示为 日( ) = 口( 刀) 瓦【c o s ( ) 】( 2 - 1 4 ) n = O M c C l e l l a n 变换的基本公式为 c o s ：F ( o c ) l , c 0 2 ) ：I J 勺c o s q o s ，) c 。s ( 鹏) + 壹壹s i n ( 尼q ) s i n ( ，哆) ( 2 1 5 ) i = Oj = Ok = O 1 = 0 由此，我们可得出变换后得到的二维滤波器的响应疗( q ，哆) J g ( c o , ，吐) = 口o ) 瓦 ，( q ，吐) 】 ( 2 1 6 ) n = O 在( 2 1 5 ) 式e e ，0 和的不同选取将会产生不同类型的二维滤波器，当我们选取 ，= ，= l ，K = = O ，吐= q t a n O = p q 时，对应生成的二维滤波器即为扇形方向滤 波器，其频率响应疗( q ( - - 0 2 ) 的理想支撑域如图2 1 2 所示。 图2 1 2 理想扇形方向滤波器的幅频响应( 第一象限) 由此，我们可得最终的目标函数为 考= r c 。s 吐一t ( 0 ，o ) + t ( 1 ，o ) c 。s ( q ) + t ( o ，1 ) c 。s ( p q ( 2 - 1 7 ) + f ( 1 ，1 ) c o s ( q ) c o s ( p q ) 】2 岫， 1 2 方向滤波器( 组) 的设计及应用 其中，鳞为一维零相位F I R 滤波器的截止频率。 由上述分析可以看出，M c C l e l l a n 变换法的优点在于它能把二维滤波器设计中 的优化问题转化为一维零相位F I R 滤波器和( 2 1 7 ) 式的优化问题。这大大降低了优 化过程中的计算复杂度，从而提高了最终设计出的二维扇形方向滤波器的特性。 此外，此方法还可通过改变参数的值来设计其它形状的二维滤波器，比如椭圆型、 圆形和菱形等。然而，M c C l e l l a n 变换法也存在一些缺点，其最终滤波器的设计还 是需要通过两个阶段的优化来完成，且设计出的扇形方向滤波器只能改变其通带 夹角9 ，而无法改变其通带的中心轴方向。 2 3 3 下采样法 下采样法是通过下采样操作进行频谱变形来实现二维滤波器的设计，本节主 要介绍文献 2 5 】中的4 N ( 为正整数) 带方向滤波器下采样设计方法。文献 2 3 2 4 】 中的设计方法将在第四章中进行介绍。 使用下采样方法来设计4 带方向滤波器的基本思想是：仅需先设计一个原型 滤波器，然后对其系数进行下采样，选取不同的下采样矩阵可得到具有不同频域 特性的方向滤波器。 在文献【2 5 】中，其设计的原型滤波器频谱响应如图2 1 3 所示。 厂 厂 ，r 延 、r c | 一 r 翻 ( - T r ，一7 r ) 图2 1 34 N 带方向滤波器所对应的原型滤波器 根据多速率基础理论可推知，通过采用以下个不同下采样矩阵，我们可以得到不 同方向的个滤波器。其对应的个不同的下采样矩阵为 q = ，c i = 0 , 1 , 2 , - N - 1 ， 岱 图2 1 4 分别给出了当N = 4 时i 取0 3 所对应的滤波器的频谱支撑域。 第二章二维多速率理论基础及扇形滤波器设计回顾 1 3 警 一 夕 罗 童 ( c )( d ) 图2 1 4 当N = 4 时，( a ) f = 0 ，( b ) i = 1 ，( C ) i = 2 ，( d ) f = 3 所对应的滤波器的频谱支撑域 采用此方法设计方向滤波器的优点在于它突破了传统的2 “带的分解限制，并 且只需设计一个原型滤波器，降低了设计成本，提高了设计效率。它的不足之处 在于设计出的方向滤波器的方向数目仍然受限，无法实现任意方向。此外，其原 型滤波器是通过加权最小二乘法得到，具有较高的设计复杂度。 2 4 本章小结 在本章中，我们简要回顾了二维多速率理论的基础知识，然后对现有扇形方 向滤波器的设计方法进行了分类，并针对各类方法进行分析总结。从中我们可以 发现，现有的扇形方向滤波器的设计大多只能实现水平和竖直方向，其在方向选 择性上仍无法满足图像处理的实际需求。 第三章基于极坐标傅里叶变换的扇形方向滤波器设计 1 5 第三章基于极坐标傅里叶变换的扇形方向滤波器设计 3 1 引言 纹理是图像的一个重要信息和基本特征，是进行图像分析和图像理解的重要 信息源。目前，方向滤波器已广泛应用于纹理图像的分析与处理。由于自然图像 的纹理分布往往是杂乱的，而传统的9 0 。扇形方向滤波器只能提取水平和竖直方向 的信息，无法很好的实现图像的纹理分析；基于M c C l e l l a n 变换的设计方法虽然大 大提升了扇形方向滤波器的方向敏感性，但其较高的设计复杂度限制了它的应用； B a m b e r g e r 等【lJ 提出的方向滤波器在图像处理中有着广泛的应用，但也存在着一些 问题。比如其采用的树形结构使得其方向数目限制为2 ”( 1 1 为级数) ；因此，如何设 计具有更灵活的方向选择特性的方向滤波器已成为一个研究热点。 对于楔形方向滤波器，其频谱支撑域的方向角臼和通带夹角妒的大小决定了它 在方向选择上的特性( 如图3 1 所示) 。 i 霹 ( - O x 给 名鹾：弧硪：暂 图3 1 方向滤波器的理想频谱支撑域 在本章节中，我们将利用极坐标傅里叶变换( P o l a rF o u r i e rt r a n s f o r m , P F T ) 1 3 2 - 3 4 】 进行方向滤波器的设计。使用极坐标系下旋转及尺度变换的良好性质，我们对一 个竖直方向的原型楔形滤波器进行旋转调制，从而得到各种不同方向导向的二维 楔形滤波器。通过调整原型滤波器及旋转调制的参数，我们可获得具有任意方向 角和任意通带夹角的方向滤波器。 3 2 极坐标傅里叶变换 作为数学和数理物理学分析的重要工具之一，傅里叶分析在图像和多维信号 处理中有着广泛的应用。由于二维傅里叶变换行、列的可分离性，因而可实现二 维快速傅里叶变换。快速傅里叶变换对科技的进步具有深远的影响，并被科学计 算领域的学者公认为2 0 世纪最领先的算法成就之一。 在笛卡尔坐标系中，傅里叶变换由于其在角度相关性上的不足，使得我们无 法直接通过线性变换实现信号的旋转处理。针对此类问题，极坐标傅里叶变换改 1 6方向滤波器( 组) 的设计及应用 变了傅里叶变换的栅格点，使其在极角p 和极径，可分离。此时，笛卡尔坐标系中 二维信号的旋转就对应于极坐标系中极角p 的偏移，而信号的尺度变换就对应于极 坐标系中的极径，的伸缩。利用极坐标傅里叶变换在旋转和尺度变换上的这一良好 性质，我们可以更好的解决图像旋转变换和尺度伸缩问题。 3 2 1 二维傅里叶变换 二维连续函数g ( x ，y ) ，( x ，y ) R 2 对应的二维傅里叶变换宫( q ，q ) 定义如下： 雪( q ，q ) = 卜( x ，y 弦勘“地+ 脚出方，q ，q R ( 3 - 1 ) 卫2 对于离散图像f ( u ，v ) ，一N 2 材，v N 2 ，则相应的M 点离散傅里叶变换为 夕( q ，c o y ) = 芝f ( u ，1 ，) P 争) ， ( 3 2 )夕( q ， ，1 ，弦百”， ( 3 2 ) I t , v = - N 2 Y 孺N ( 3 2 ) 式对应的矩阵表示形式，我们令= ( l ，2 ) r = ( ， r ) r ，x = ( q ，q ) ， ，2 = - N 2 ，N 2 - 1 x - N 2 ，N 2 - 1 ，则在任意点一T 2 ( ，= 1 ，M ) 处， ( 3 2 ) 式可表示为 夕( x ) = A e 之一 ( 3 - 3 ) k E l 2 其相应的矩阵表示如下 夕= 彳f ， ( 3 - 4 ) 其中， 夕= 夕钙) ：，4 = ( P 勘喝) 兰州：，2 以) 纠：，( 3 - 5 ) 对于二维离散傅里叶变换，其栅格点具有均匀分布特性，即X j = ( ，办N ) ， 这使得二维离散傅里叶变换能够实现快速算法。但快速傅里叶变换需要在行列均 匀分布的栅格点上进行运算，这限制了其在很多图像处理中的应用。倘若我们改 变栅格点矩阵4 中点的分布，使其服从极坐标分布，我们将得到行，列非均匀 分布的极坐标傅里叶变换。 3 2 2 极坐标栅格 极坐标栅格点由极径和极角联合得到，其分布不同于行，列均匀分布的傅里 叶栅格点。极坐标栅格点对应的而分布如下 薯，J = ，：，q ， ( 3 6 ) 极角，：，= j R ，极径只= ( e o s ( z r t T ) ，s i n ( r o t T ) ) r ，T ，R 分别为极角和极径数。因此， 第三章基于极坐标傅里叶变换的扇形方向滤波器设计 1 7 栅格点总数为M = T R 。图3 2 给出了对应的极坐标栅格点分布图。 图3 2 极坐标栅格点分布图 由图3 2 , - j 以看出，极坐标栅格的结构特点为： 1 ) 圆为同心圆，射线为角度均匀分布的射线； 2 ) 栅格点为同心圆与射线的交叉点。 由此可得离散极坐标傅里叶变换对应( q ，。) 为 Iq = - 等rc O s z q ( 2 N ) ， 1：r _ p ，O q N 2 ，即4 为奇异矩阵，因此我们无法直接通过( 3 9 ) 式求得逆变换的解。解决 此类无约束最优化问题的一个常用方法就是最d , - 乘法。我们令Y = A f ，则上述 求解问题可以表示为 I ，2 8 J ，影0 2 矿= 羔一I 乃一夕( _ ) I 二1 1 1 i n ( 3 - 1 0 ) 方向滤波器( 组) 的设计及应用 ( 3 - l O ) 式可转化为如下方程 一” f = A “， ( 3 - 1 1 ) 其中为权值对角矩阵= d i a g ( w j ) 兰，。假定A “WAf = 1 ( 对等间隔分布的 点：W = d i a g ( 1 N 2 ) 一) ，可得出逆变换的近似解为，z A ”Y 。 从以上分析可得，极坐标傅里叶逆变换无法实现精确逆变换。其主要原因有 以下几点： ( 1 ) 圆外频率信息缺失。如图32 所示，图像经过极坐标傅里叶变换后只具有 圆形区域内的频率信息，圆外的信息丢失。这使得逆变换遗失相应的信息， 最终导致无法得到精确的逆变换结果。在文献 3 2 ，3 3 1 中，AA v e r b u c h 等 人通过对伪极坐标傅里叶变换( P s e u d oP o l a rF o u r i e rT r a n s f o r m P P F T ) 的栅 格点进行两次不同的插值，从而得到极举标傅里叶栅格点，此方法弥补了 圆外信息缺失的缺点，但由于无法实现两次插值的反向操作，因而不能实 现对应的逆变换。 ( 2 ) 优化的精度，f 1 3 ( 3 1 1 ) 式可看出，本文采用最小二乘法得到的是(