高等数学二第一章多元函数微分学

说明:1.由于R2,R3中的点与向量一一对应.因此,在无特别声明时,总用X,Y等表R2,R3中的点(向量).用x,y,z,a,b,c等表实数.,2.由于有多种乘积使用记号,因此,阅读教材时,应注意区别a,AP,XB的含意.,对+也类似.,以后在表述时不再区分这两个概念.,一、多元函数的概念,以前我们接触到的函数y=f(x)有一个特点,就是只有一个自变量,函数y是随着这一个自变量的变化而变化的.我们称为一元函数.如y=sinx,y=x2+3cosx等.,11多元函数的概念,所谓多元函数,直观的说,就是有多个自变量的函数.函数y随多个自变量的变化而变化.,圆柱体体积V=r2h,体积V随r,h的变化而变化.,一对数(r,h),就有唯一的一个V与之对应.,或者说,任给,长方体体积V=xyz,V随x,y,z的变化而变化.,一组数(x,y,z),就有唯一的一个V与之对应.,或者说,任给,这些都是多元函数的例子.有一个自变量的称为一元函数,有二个自变量的称为二元函数.有三个自变量的称为三元函数,有n个自变量的称为n元函数.二元以上的函数统称为多元函数.,与一元函数类似,我们有,二元函数定义,设D是xy平面上的一个点集,即DR2,若对任意的点X=(x,y)DR2,按照某个对应规则f,总有唯一确定的实数z与之对应,则称f是定义在D上的二元实值函数,记作,f:DR,X=(x,y)z.,习惯上,称z=f(X)=f(x,y)为二元函数,另外,称x,y为自变量,z为因变量.,比如z=sinx+cosy,z=3x2+ey.,称z为点X=(x,y)在f下的像,记作f(X)或f(x,y),即z=f(X)=f(x,y).也称作X=(x,y)所对应的函数值.,称D为函数f的定义域.D在f下的像集f(D)=f(X)|XD称为f的值域.,注1一般说来,自变量x,y都是独立变化的.它们只受到(x,y)D的限制.,f(x,y)的表达式,算f(x0,y0)的方法与一元函数类似.,另外,若给出了,如f(X)=f(x,y)=3x+y2,X0=(1,1),则f(X0)=f(1,1)=31+12=4,f(x+y,siny)=3(x+y)+sin2y,注2特别,若定义域D是xy面上一条曲线.D:y=g(x).,=f(x,g(x)成为一元函数.,则二元函数z=f(x,y),注3任何一个一元函数都可扩充为一个二元函数.,事实上,z=f(x),=f(x)+0y,只须将z作为一元函数的定义域DR扩充为R2中点集即可.,注2,注3说明二元函数是一元函数的推广,而一元函数则是二元函数的特殊情形.二元函数是定义在xy平面某点集上的函数,而一元函数是定义在xy面上一条直线(x轴)上的二元函数.,类似的,有n元函数定义.,设DRn,若对任意的X=(x1,x2,xn)DRn,按某个对应规则f,总有唯一确定的实数z与之对应,则称f是定义在D上的n元实值函数.记作,f:DR,X=(x1,x2,xn)z.,并记z=f(X),或z=f(x1,x2,xn).,定义,解：与一元函数类似.就是要求使这个式子有意义的平面上的点的集合.,例1求z=ln(x+y)的定义域D,并画出D的图形.,x+y0.故定义域D=(x,y)|x+y0,画直线y1=x.由于D中点(x,y)的纵坐标y要大于直线y1=x上点的纵坐标y1,故D表示直线y1=x上方点的集合.(不包括边界y1=x上的点),为画D的图形,由x+y0,得yx=(y1).,x+y=0,x,y,o,如图,yx,D,(不包括直线x+y=0),例2,解:,故,故D表示到原点距离不超过1的点的集合.即,D为单位圆盘(包括边界).,x,y,o,x2+y2=1,(包括圆周),D,例3,解:,D=(x,y)|y20,使EU(O,r),则称E为有界集.否则称E为无界集.,9.聚点,从几何上看,所谓X0是E的聚点是指在X0的附近聚集了无限多个E中的点.即,在X0的任意近傍都有无限多个E中的点.,设E是平面点集,X0是平面上一个点.若X0的任一邻域内总有无限多个点属于E.则称X0是E的一个聚点.,如图,1.聚点定义也可叙述为:若X0的任一邻域内至少含有E中一个异于X0的点.则称X0为E的一个聚点.(自证).,2.E的聚点X0可能属于E,也可能不属于E.,3.E的内点一定是E的聚点.,4.若E是开区域.则E中每一点都是E的聚点.,即,区域中的任一点都是该区域,的聚点.,10.孤立点,若点X0E,且存在0,使得邻域U(X0,)内除X0外,所有点均不属于E,即(X0,)E=,则称X0为E的孤立点.,如图.,显然,E的孤立点X0总是E的边界点,但不是聚点.,邻域,内点,边界点,开集,连通,有界,开区域,闭区域,聚点，孤立点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间R3中去,且有类似的几何意义.它们还可推广到4维以上的空间中去,但不再有几何意义.,设z=f(X)=f(x,y)的定义域是平面区域D.,按二元函数定义,X=(x,y)D.可以唯一确定实数z,从而确定了空间一个点M(x,y,z).,三、二元函数的几何意义,当X在D中变动时,点M(x,y,z)在空间中变动,当X取遍D中一切点时,M(x,y,z)在三维空间中织出一片曲面.,即,二元函数表示空间中一片曲面,D是该曲面在xy面上的投影区域.,M(x,y,z),如z=ax+by+c,表平面.,注意,三元函数u=f(x,y,z)的定义域是R3的一个子集.,三元函数无几何意义.,一、二元函数的极限,12多元函数的极限与连续,回忆一元函数的极限.设y=f(x),当x不论是从x0的左边,还是从x0的右边无限接近于x0时,对应的函数值无限接近于数A.,表示,如图,就是0,0.,当0|xx0|时,有|f(x)A|0,当,对应的函数值满足,|f(X)A|,则称A为z=f(X)的,当X趋近于X0时(二重)极限.,记作,或,也可记作f(X)A(XX0),或,f(x,y)A(xx0,yy0),定义,注1.定义1中要求X0是定义域D的聚点,这是为了保证X0的任意近傍总有点X使得f(X)存在,进而才有可能判断|f(X)A|是否小于的问题.,若D是一区域.则只须要求,就可保证X0是D的一个聚点.,另外,0|XX0|0,时,有|f(x,y)0|0,使得当,要使|f(x,y)0|,只须,即,|f(x,y)0|,故,例2.设f(x,y)=,证明f(x,y)在(0,0)点的极限不存在.,证:由注2知,只须证明当X沿不同的线路趋于(0,0)时,函数f(x,y)对应的极限也不同即可.,考察X=(x,y)沿平面直线y=kx趋于(0,0)的情形.,如图,对应函数值,从而,当X=(x,y)沿y=kx趋于(0,0)时,函数极限,当k不同时,极限也不同.因此,f(x,y)在(0,0)的极限不存在.,请考察当X=(x,y)沿x轴,沿y轴趋于(0,0)的情形.,沿x轴,y=0.函数极限,=0,沿y轴,x=0.函数极限,=0,但不能由此断定该二重极限为0(注2).,设z=f(X)=f(x,y),在区域D上有定义.,则称f(X)在X0连续,X0称为f(X)的连续点.,否则称f(X)在X0间断,X0称为f(X)的间断点.,X=(x,y)D,X0=(x0,y0)D,二、二元函数的连续性,定义2,若f(X)在D上每一点都连续,则称f(X)在D上连续,记为f(X)C(D).,易知,例2中f(x,y)在(0,0)间断(极限不存在),每一点都间断.,注：,定义可推广到三元以上函数中去.,1.二元函数f(X)在X0连续必须满足三个条件.在X0有定义,在X0的极限存在,两者相等,2.多元连续函数的和,差,积,商(分母不为0)以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数.,如f(x)=exysin(x2+y),=e0sin0=0.,3.多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的.所谓多元初等函数是指以x,y,z,为自变量的基本初等函数f(x),(y),g(z),以及常函数,经有限次四则运算和复合所构成的函数.,定义在区域D上的二元连续函数z=f(X)=f(x,y)表示了在D上的一片没有空洞,没有裂缝的连续曲面.,这里条件D是一区域是必要的.若D不是区域,z=f(X)可能不是通常意义下的连续曲面.,4.二元连续函数的几何意义:,例.设D=(x,y)|x,y均为有理数R2.z=f(x,y)是定义在D上的,在D上恒等于1,在别的点上无定义的函数,即,f(x,y)=,1,当(x,y)D时,无定义,当(x,y)D时.,如图,可知,(x0,y0)D,但曲面z=f(x,y)不是通常意义下的连续曲面.,三、有界闭区域上二元连续函数的性质,性质1.,性质2.,性质3.,使f(X0)=C.,这些定理都可推广到三元以上的函数中去.,问,由性质3是否可得到根的存在定理,如何表述?,例3.,解:,原式=,=01=0,例4.,解:,原式=,例5.,解:,原式=,故,例5似可用下述方法算.,从而,(1),函数定义域外,它们不是点(x,y)趋于(0,0)时的路径.,则必须包括x轴,和y轴这两条路径(在这个函数的定义域内).,应补充讨论:当(x,y)沿x轴(y=0)趋于(0,0)时,有,(2),当(x,y)沿y轴(x=0)趋于(0,0)时,有,(3),综合得(1),(2),(3),问,是否有,提示:取yn=knxn,当n时,xn0,kn1,且kn趋于1的速度比xn趋于0的速度快得多.,这一方法是否具有普遍性?即,是否总有,初学者在算二重极限时,容易引出下面算法:,如,=0,实质上,就是,设z=f(X)=f(x,y)在区域D上有定义,X0=(x0,y0)为D的内点.,四、二次极限,考虑X=(x,y)沿两条,特殊路径趋近于X0=(x0,y0)时f(x,y)的极限.,情形相当于下图,对应的函数极限为,称为先对x,后对y的二次极限.,(1)先固定y,令xx0,即,让点(x,y)沿平行于x轴的直线趋于点(x0,y),然后,再令yy0,(x0,y),(x,y),(x0,y0),(2)先固定x,令yy0,即,让点