资金时间价值与等值计算

第二章资金的时间价值和等值计算,1、基本概念2、资金时间价值计算的基本公式3、资金等值计算,【了解】资金时间价值的含义利息的含义利率的含义【掌握】资金时间价值形成的原因【重点掌握】单利的计算方法复利的计算方法净现金流量的计算现金流量图的画法,第一节基本概念,一、资金时间价值的含义,例1：有两个方案A、B，寿命期都是4年，初始投资相同，均为1000万元，实现利润总数也相同，为1600万元，但各年有所不同，现金流量图如下：,1、先看两个例子,1000,500,300,100,A方案,1,3,4,0,2,700,B方案,1000,100,300,500,700,0,1,2,3,4,如果其他条件相同，我们选择哪个方案呢？,从直觉和常识，我们选择A方案。,例2：另有两个方案C、D，从第一年初起每隔一年都有3000万元收入，其他条件相同，不同的是，总投资6000万元方案C为一次性支出（第一年初），而方案D则分两年支出（第一年初和第二年初各投资3000万元）。现金流量图如下：,0,2,4,6,6000,3000,3000,3000,1,3,5,方案C,0,2,4,6,3000,3000,3000,3000,1,3,5,3000,方案D,这时又该选择哪个方案呢？,依据日常积累的知识，我们会判断方案D比较好。,2、是什么样的认识使我们作出上述明确的判断呢？,现金流入与流出的经济效益不仅与金额大小有关系，而且与发生的时间有关。同样一元钱，今年到手与明年到手“价值”是不同的。同样一元钱，今年支付与明年支付，其“价值”也不同。,工程项目占用的资金数额大、时间长，如果不考虑资金的时间价值，就会犯大错误，更不可能进行正确决策。,特别是在建筑业中，,3、资金的运动规律：资金价值随时间的变化而变化。,变化的主要原因：,a、投资增值,b、承担风险,c、通货膨胀,二、利息与利率,1、利息与利率的含义,IP，i，n,利息：占用资金要付出代价，这种代价就是利息。,利率：在规定的时间内所支付的利息与占用资金的数量之比。,利息I与本金P、时间n和利率i有关：,2、单利和复利,（1）单利：单单计算本金的利息，而本金所产生的利息不再计算利息。,I=PinF=P+I=P+Pin=P(1+in),（2）复利：将这期利息转为下期的本金，下期将按本利和的总额计息，这种重复计算利息的方式称为复利。,n,n,F=P(1+i),I=F-P=P(1+i)-1,复利计算表（单位：元）,单利计算表（单位：元）,（3）举例比较借款P=1000元，年利率i=6%，借款时间为三年，分别用单利和复利计算偿还情况。,（4）复利计算例题,某项目建设期2年，每年均向银行借款500万元，年利率8%，求建设期末累计借款额。,解：先计算利息：第1年利息：（500/2）*8%=20万元，第2年利息：（500+20+500/2）*8%=61.6万元再计算建设期借款总和：500+500+20+61.6=1081.6万元,三、现金流量图,1、现金流量的概念在技术经济分析中，把方案或项目各个时间点上实际发生的资金流入或资金流出称为现金流量。流入的资金称现金流入，流出的资金称现金流出；现金流入与现金流出之差称为净现金流量。,净现金流量=现金流入-现金流出=（销售收入+回收固定资产余值+回收流动资金）-（固定资产投资+流动资金+经营成本+销售税金及附加+所得税）,所得税=销售利润*税率=（销售收入-总成本）税率=（销售收入-经营成本-销售税金及附加-折旧-摊销-利息支出）税率,案例3：拟建某工业项目，建设期2年，生产期10年，基础数据如下：1、第一年、第二年固定资产投资分别为2100万元、1200万元；2、第三年、第四年流动资金注入分别为550万元、350万元；3、预计正常生产年份的年销售收入为3500万元，经营成本为1800万元，税金及附加为260万元，所得税为310万元；4、预计投产的当年达产率为70%，投产后的第二年开始达产率为100%，投产当年的销售收入、经营成本、税金及附加、所得税均按正常生产年份的70%计；5、固定资产余值回收为600万元，流动资金全部回收；6、上述数据均假设发生在期末。请编制现金流量表并计算各年的净现金流量。,2、现金流量图的概念为了形象地表述方案或项目的现金流量，通常用图示的方法将现金流入与流出，量值大小及发生的时间点等描绘出来，该图称为现金流量图。,3、现金流量图作图方法画一水平线段，将其分为若干个相等的时间间隔。线段的起点为零，每一间隔代表一个时间单位，时间单位以计息期（如一年、半年、一季、一月等）为准，间隔个数为计息周期数。用向上的比例线段表示现金流入，向下的比例线段表示现金流出。如：,0,2,4,800,800,800,1,3,800,1000,单位：万元,年,*作案例3的现金流量图。,【了解】等差序列公式等比序列公式【掌握】有关系数关系【重点掌握】一次支付复利计算公式（2个）等额支付复利计算公式（4个）,第二节复利计算利息公式,公式所用符号含义：i利率;n利息期数;P现在值，相对于现金流量所发生的时点，任何较早时间的价值;F将来值，相对于现金流量所发生的时点，以后任何时间的价值;A等额支付系列中的等额支付值。,1、一次支付复利公式,如果有一项资金P，按年利率i进行投资，则n年后的本利和应为多少？这项活动可用下列现金流量图表示：,0,2,1,.,n-1,P,F=?,一次支付复利现金流量图,n,则有F=,n,P(1+i),这里把(1+i)称为一次支付复利系数，通常用（F/P，i，n）来表示。上式即可写成：,n,F=P（F/P，i，n）,例4：第一年初投资1000万，年利率6%，则第五年初可得本利和多少？解：,n,4,F=P(1+i)=1000（1+6%）=10001.2625=1262.5万元,F=P（F/P，i，n）=1000（F/P，6%，4）=1262.5万元,或者,1.2625,2、一次支付现值公式,如果有一项投资，按年利率i计算，n年后本利和为F，问初始投资是多少？,这正好与上述问题相反，由F=P(1+i)可转换成由将来值F求现值P的公式。,n,P=F1/(1+i),n,0,2,1,.,n-1,P=?,F,一次支付现值现金流量图,n,P=F（P/F，i，n）,例5：第四年末得到资金1262.50万元，按年利率6%计算，现在必须投资多少？,解：P=F（P/F，i，n）=1262.50（P/F，6%，4）=1000万元,同样，把1/(1+i)叫做一次支付现值系数，并用（P/F，i，n）表示，上式可写成,n,0.7921,3、等额支付复利公式,假如每年末按年利率i分别存入银行等额资金A，则n年末的本利和是多少？,0,2,1,n-1,F=？,n,A,A,A,A,等额支付复利现金流量图,两式相减，有iF=A(1+i)-A则F=A(1+i)-1/i,n-2,n-1,2,n-1,n,n,n,由一次支付复利公式，有F=A+A(1+i)+A(1+i)+A(1+i),上式两边同时乘（1+i），有(1+i)F=A(1+i)+A(1+i)+A(1+i)+A(1+i),n,例6：连续5年每年存款1000元，按年利率6%计算，问5年末本利和为多少？,解：F=A（F/A，i，n）=1000（F/A，6%，5）=5637.10元,同样，(1+i)-1/i称为等额支付复利系数，通常用（F/A，i，n）表示，于是，公式可写为F=A（F/A，i，n）,5.6371,*说明：等额支付复利现金流量图中，第n年末既有F，又有A，而第一年初为0，第一年末开始才有A，这是等额支付系列的标准型。如下三种现金流量图，就不能直接套用等额支付复利公式。,0,2,1,n-1,F1,n,A,A,A,0,2,1,n-1,F2,n,A,A,A,A,0,2,1,n-1,F3,n,A,A,A,A,A,图a,图b,图c,例7：年初借款P，年利率i，所有利息在各年等额还清，本金n年末归还，则每年归还的利息额为多少？,解：设每年末归还的利息额为A，作现金流量图如下（站在借款者角度）,0,2,1,n-1,P,n,A,A,A,A,P,应该有：P(F/P，i，n)=P+A(F/A，i，n)则有：A(F/A，i，n)=P(F/P，i，n)-1即：A(1+i)-1/i=P(1+i)-1有：A=Pi即每年末归还的利息为Pi,n,n,实际上，我们做一下还款情况表，就一目了然地知道每年末的还款利息额为Pi。,n,P,Pi,P,Pi,4、等额支付积累基金公式,为了能在n年末筹集到一笔资金F，按年利率i计算，从现在起连续n年每年向银行存款多少？,因为：F=A(F/A，i，n)=A(1+i)-1/i所以：A=Fi/(1+i)-1,n,n,0,2,1,n-1,F,n,A,A,A,A=？,等额支付积累基金现金流量图,同样，把i/1+i)-1称作等额支付积累基金系数，用符号(A/F，i，n)表示，公式可写成如下：A=F(A/F，i，n),n,例8：如果要在第5年末得到一笔资金1000元，按年利率6%计算，从现在起，连续5年，必须每年存款多少？,解：A=F(A/F，i，n)=1000(A/F，6%，5)=177.40元,0.1774,5、等额支付资金恢复公式,以年利率i存入银行一笔资金P，n年内将本利和在每年末以等额资金A的方式取出，这项活动的现金流量图如下，问A是多少？,0,2,1,n-1,P,A=？,n,A,A,A,我们已知，A=F(A/F，i，n)=Fi/(1+i)-1又F=P(F/P，i，n)=P(1+i)则A=P(1+i)i/(1+i)-1=Pi(1+i)/(1+i)-1,n,n,n,n,n,n,例9：现在以年利率5%投资1000元，今后8年中把本利和在每年末以相等的数额取出，问每年末可取多少？,解：A=P(A/P,i,n)=1000(A/P,5%,8)=154.70元,0.1547,同样，把i(1+i)/(1+i)-1叫做等额支付资金恢复系数，并用符号(A/P，i，n)表示，公式可写成：,n,n,A=P(A/P，i，n),*3、资金恢复系数-积累基金系数=(A/P,i,n)-(A/F,i,n)=i资金恢复系数/积累基金系数=(A/P,i,n)/(A/F,i,n)=(1+i),*2、(A/P,i,n)ilim(A/P,i,n)=i,n,n,积累基金系数与资金恢复系数存在如下关系：,*1、积累基金系数(A/F,i,n)1/n,6、等额支付现值公式,有P=A(1+i)-1/i(1+i)同样，把(1+i)-1/i(1+i)叫做等额支付现值系数，用(P/A,i,n)表示。,n,n,n,n,0,2,1,n-1,P=？,A,n,A,A,A,同上相反，已知A求P,说明：由于lim(1+i)-1/(1+i)i=1/i即(P/A,i,)=1/i所以，当计息周期数足够大时，可近似地认为：P=A(P/A,i,n)=A(P/A,i,)=A1/i=A/i,n,n,n,解：P=A(P/A,i,n)=1000(P/A,6%,5)=4212.40元,4.2124,例10：按年利率6%计算，为了能在今后5年内每年末都能提取1000元，问现在应存款多少？,7、等差序列公式（均匀梯度系列）,0,2,1,n-1,n,G,3G,2G,3,4,等差序列现金流量的通用公式为：A=(t-1)G其中t=1,2,n，表示时点；G表示前后两时点现金流量的差额。,(n-2)G,(n-1)G,t,(1)等差序列可分解成(n-1)个等额支付系列，每个等额支付系列中的年值均为G，计息周期j分别为1,2,n-1。从而等差序列n年末将来值：,F=G(F/A,i,j)=G(1+i)-1/i=G(1+i)-1/i+(1+i)-1/i+(1+i)-1/i=G(1+i)+(1+i)+(1+i)-(n-1)/i=G(1+i)+(1+i)+(1+i)-n/i=G(1+i)-1/i-n/i=G(1+i)-1-ni/i,n-1,j=1,n-1,j=1,n,1,2,n-1,1,2,n-1,0,1,n-1,n,2,我们把(1+i)-1-ni/i称作等差序列复利系数，并用（F/G,i,n）表示，有F=G（F/G,i,n）,n,2,j,P=F(P/F,i,n)=G(F/G,i,n)(P/F,i,n)=G(1+i)-1-ni(1+i)/i=G(1+i)-1-ni/i(1+i)=G1/i-(1+ni)/i(1+i),n,-n,2,2,n,n,n,2,2,同样，把(1+i)-1-ni/i(1+i)称作等差序列现值系数，用（P/G,i,n）表示，有:P=G(P/G,i,n),n,n,2,说明：lim(P/G,i,n)=1/i,n,2,（2）利用上式可以方便地求得现值公式，即,（3）利用现值公式也可方便地求得年值公式，即A=P(A/P,i,n)=G(P/G,i,n)(A/P,i,n)=G(1+i)-1-ni/i(1+i)i(1+i)/(1+i)-1=G1/i-n/(1+i)-1,n,n,n,n,n,2,或A=G1/i-n/(1+i)-1=G1/i-ni/i(1+i)-i=G1-ni/(1+i)-1/i=G1-n(A/F,i,n)/i,n,n,n,同样，把1/i-n/(1+i)-1称作等差序列年值系数，记作（A/G,i,n)，则有：A=G(A/G,i,n),n,n,也有lim(A/G,i,n)=1/i,例11：某公司发行的股票目前市场价值每股120元，年股息10元，预计每股年股息每年增加2元，若希望达到16%的投资收益率，目前投资购买该公司股票是否合算？,解：投资收益率在这里相当于年利率，具体概念后面讲。股票可看作是寿命期n=的永久性财产，且：(P/A,i,)=1/i(P/G,i,)=1/i股票收益现值P=A(P/A,i,)+G(P/G,i,)=101/0.16+21/0.16=140.625元,2,2,显然超过现在市场股票价值120元，可见现在投资120元/股购进该公司股票是合算的。,8、等比序列公式,0,2,1,n-1,n,A1,A1(1+h),A1(1+h),3,4,A1(1+h),A1(1+h),A1(1+h),2,3,等比序列现金流量的通用公式为At=A1(1+h)其中t=1,2,nA1-定值（t=1时的现金流量）h-等比系数,t-1,n-2,n-1,等比序列现值为：P=A1(1+h)(1+i)=A1/(1+h)(1+h)/(1+i),n,n,j=1,j=1,j-1,-j,j,=,A11-(1+h)(1+i)/(i-h)(ih),nA1/(1+h)(i=h),n,-n,例12：若租用某仓库，目前租金为23000元/年，预计租金水平今后10年内每年将上涨5%，若将该仓库买下来，需一次支付20万元，但10年后估计仍可以20万元的价格售出。按折现率15%计算，是租合算还是购买合算？（分租金在每年年初和年末交付两种情况讨论）,解：、租金在年初支付若租用该仓库，10年内全部租金的现值为：P1=A11-(1+h)(1+i)/(i-h)(F/P,i,1)=230001-(1+0.05)(1+0.15)/(0.15-0.05)(1+0.15)=158001.95元,n,-n,10,-10,若购买该仓库，全部费用现值为：P2=P-P(P/F,i,n)=200000-200000(P/F,15%,10)=150563元,显然，一次性购买该仓库合算。,0.247185,、租金在年末支付若租用该仓库，10年内全部租金的现值为：P1=A11-(1+h)(1+i)/(i-h)=230001-(1+0.05)(1+0.15)/(0.15-0.05)=137393元,n,-n,10,-10,若购买该仓库，全部费用现值为：P2=P-P(P/F,i,n)=200000-200000(P/F,15%,10)=150563元,显然，这时以租用仓库合算。,作业：,1、某学生在大学四年学习期间，每年年初从银行借款6000元用以支付学费和生活费，若年利率按5%计算复利，则第十末一次性归还全部本息需多少钱？假设所有本息和从毕业后第一年末到第六年末等额还清，则每年需归还多少？,2、某人年初借款10万元，利率6%，本利和在今后5年内年末等额还清，问各年所还利息、本金分别为多少？,【了解】资金等值的含义【掌握】名义利率的概念实际利率的计算【重点掌握】资金等值的计算,第三节资金的等值计算,1、概念,（1）等值,如果两个事物的作用效果相同，则我们称它等值或等价。,（2）资金等值,由于考虑了资金的时间价值，不同时间点上发生的不同金额的资金，其价值却有可能相等。,资金等值包括三个因素：（资金）金额（资金发生）时间利率,（3）资金等值计算,利用资金等值的概念，可以把在一个时点发生的资金金额换算成另一时点的等值（并非数值相等，而是价值相同）资金金额，称资金等值计算。把将来某一时点的资金金额等值地换算成“现在”（任何较早）时点的资金金额称为“折现”或“贴现”。折现后的资金金额称为“现值”。“现值”是相对的，并非专指一笔资金“现在”的价值，它是一个相对的概念。一般地说，将第t个时点上发生的资金金额折现到第（t-k）（k=1、2、）个时点，所得金额就是第t个时点上资金金额的现值。折现或贴现时所用的利率叫折现率或贴现率，它是反映资金时间价值的参数。同样地，可以把现在时点的资金金额等值地换算成将来某时点的资金金额，所得金额称为“将来值”或“终值”。,(4)举例,例13：某消费者贷款购房，贷款金额30万，期限30年，年利率8%。这笔借款有好多归还方法，为简单起见，选了下列四种特殊的方式。,每年年末归还10000元借款本金以及当年的借款利息，还款的现金流量图为：（本金等额偿还法）,0,2,30,34000,33200,11600,1,29,10800,年,10000,第1年共还款34000元，其中本金10000元，利息=3000008%=24000元第2年共还款33200元，其中本金10000元，利息=（300000-10000）8%=23200元第29年共还款11600元，其中本金10000元，利息=200008%=1600元第30年共还款10800元，其中本金10000元，利息=100008%=800元,本息合计67.2万元,*编制还本付息表如下：(单位：万元),利息各年归还，本金最后一年还清，还款的现金流量图为：（本金一次偿还法）,前29年每年还款为利息，均为3000008%=24000最后一年共还款324000元，其中利息24000元，本金300000元。,0,2,30,1,29,324000,年,24000,本息合计102万元,*试编制还本付息表,前面不还，所有借款和借款利息在最后一年偿还，现金流量图为：（本息一次偿还法）,第30年本息和=P(F/P,i,n)=300000(F/P,8%,30)=3018798元,0,2,30,1,29,3018798,年,10.06266,本息合计301.8798万元,*试编制还本付息表,所有借款本息在30年里各年年末等额还清，现金流量图为：（本息等额偿还法）,各年末还款金额A=P(A/P,i,n)=300000(A/P,8%,30)=26649元,0,2,30,1,29,0.08883,年,26649,本息合计79.947万元,*应该指出：如果两个现金流量等值，则在任何时候它们都是等值的。,*试编制还本付息表,2、计息期为一年的等值计算,解：P=A(P/A,i,n)=600(P/A,10%,5)=2274.50元,3.7908,例14：当利率为10%时，从现在起连续5年的年末等额支付为600元，问与其等值的第一年初的现值为多少？,例15：当利率为多大时，现在的300元等值于第九年末的525元？,解：由F=P(F/P,i,n)得525=300(F/P,i,9)则(F/P,i,9)=1.75从系数表上查到：（F/P,6%,9）=1.6890，（F/P,7%,9）=1.8380，因此，i必然在6%7%之间。用插值法有:i=6%+(1.75-1.689)/(1.838-1.689)1%=6.41%,*用类似的方法可求解n,3、计息期小于一年的等值计算,（1）名义利率与有效利率（实际利率）,名义利率的概念平常常讲“年利率，一年计息次”，“年利率，时间计息一次”，这里的“年利率”就是名义利率。另外，如“计息期半年（或一个季度或一个月），利率”，这时拿计息期利率乘2（或乘4或12）所得到的数即为名义利率。名义利率一般都是以年为单位，实际是年名义利率。,有效利率的概念也叫实际利率。由于计息期小于一年，上一个计息期的利息在下一个计息期还要计算利息，此时一年的实际利率要大于其名义利率，这个实际利率也叫有效利率。,例如：100元钱在下列两种情况下，一年后的价值有所不同：,a、年利率10%，一年计息一次，则一年末本利和F1=P(F/P,i,n)=100(F/P,10%,1)=1001.1=110元B、年利率10%，一年计息两次，则一年末本利和F2=P(F/P,i1,n1)(F/P,i2,n2)=100(F/P,5%,1)(F/P,5%,1)=1001.051.05=110.25元,有效利率的计算,已知：年利率r，一年计息n次，则计息期的有效利率和年有效利率求解如下：,b、i=(1+r/n)-1,n,a、i=r/n,计有,年有,*2、上面公式b的推导：假设年初投资P，年末本利和F，则F=P(1+i计有)而实际上有F=P(1+i年有)则(1+i年有)=(1+i计有)故i年有=(1+i计有)-1=(1+r/n)-1,n,n,n,n,n,*1、因为(1+r/n)-1r，所以年有效利率大于等于名义利率，当且仅当n=1时两者相等。,例16：某人目前借入2000元，已知年利率18%，按月计息，问今后两年中每月等额偿还多少？,（2）等值计算,、计息期等于支付期（同计息期为一年的等值计算）,解：已知i=18%则i=,年名,月有,所以A=P(A/P,i,n)=2000(A/P,1.5%,24)=99.80元,18%/12=1