福建省龙岩市2020届高三数学5月月考试题 理（含解析）

福建省龙岩市2020届高三数学5月月考试题 理（含解析）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化简集合A和B,再求得解.【详解】由题得A=x|x1，B=x|x，所以.故选：B【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先化简复数，再判断它对应的点所处的象限得解.【详解】由题得，所以复数对应的点为（），故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算和几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.以下是人数相同的四个班级某次考试成绩的频率分布直方图，其中方差最小的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出每一个班级的方差即得解.【详解】对于选项A,，所以方差；对于选项B, ,所以方差；对于选项C, ,所以方差；对于选项D, ,所以方差.故选：B【点睛】本题主要考查期望和方差计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.的展开式中的系数为（ ）A. 80B. 120C. 240D. 320【答案】B【解析】【分析】先求出的展开式中和的系数，相加即得解.【详解】设的通项为，令5-r=2,则r=3,的系数为令5-r=3，则r=2, 的系数所以展开式中的系数为40+80=120.故选：B【点睛】本题主要考查二项式的展开式的系数问题的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.数列满足，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用已知结合递推公式求解.【详解】n=1时，n=2时，n=3时，n=4时，故选：B【点睛】本题主要考查利用递推公式求数列的项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知点在圆上，点在抛物线上，则的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】抛物线的焦点为F(2,0),先求出|AB|BF|-|AF|=|BF|-1,即得|AB|x+1，即得的最小值.【详解】由题得圆的圆心为（2,0），半径为1.设抛物线的焦点为F(2,0),刚好是圆的圆心，由题得|AB|BF|-|AF|=|BF|-1,设点B的坐标为(x,y),所以|AB|x-(-2)-1=x+1,因为x0，所以|AB|1，所以|AB|的最小值为1.故选：A【点睛】本题主要考查抛物线和圆的几何性质，考查两点间距离的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.某网店为增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用万元与销售利润万元的统计数据如下表：124546810由表中数据，得回归直线：.现有以下三个结论：；过点.则正确的结论个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】求出样本中心点和得解.【详解】由题得，所以回归方程经过点，所以是正确的；，所以 所以.所以正确.故选：D【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，考查回归方程的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.若且，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】对a分两种情况结合充分必要条件的定义分析推理得解.【详解】当a1时，因为，所以xy,但是不能推出|x|y|,所以不能推出，所以此时“”是“”的非充分条件；当0a1时，理由同上，所以此时“”是“”的非充分条件；综上，“”是“”的非充分条件；当a1时，因为，所以|x|y|,但是不能推出xy,所以不能推出,所以此时“”是“”的非必要条件；当0a1时，理由同上，所以此时“”是“”非必要条件；综上“”是“”的非必要条件；故选：D【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查充分条件必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.下图是古希腊数学家阿基米德用平衡法求球的体积所用的图形.此图由正方形、半径为的圆及等腰直角三角形构成，其中圆内切于正方形，等腰三角形的直角顶点与的中点重合，斜边在直线上.已知为的中点，现将该图形绕直线旋转一周，则阴影部分旋转后形成的几何体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把阴影部分旋转后形成的几何体体积分成三个部分来求即得解.【详解】左上方的阴影部分旋转后形成的几何体体积等于半球的体积减去一个三棱锥的体积，所以；右上方的阴影部分旋转后形成的几何体体积等于圆柱的体积减去半个球的体积，所以；右下方的阴影部分旋转后形成的几何体体积等于圆台的体积减去一个圆柱的体积，所以.故阴影部分旋转后形成的几何体积为.故选：C【点睛】本题主要考查组合体和旋转体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.若函数在区间内恰有两个极值点，且，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出函数图像如图所示，再结合数形结合分析得解【详解】作出函数图像如图所示，因为，所以由图得当是A的横坐标，是B的横坐标时，函数满足，在之间只有一个极值点，但是只要x的范围向左右扩展一点，则有两个极值点，所以.当是O的横坐标，是C的横坐标时，函数满足，在之间有两个极值点，所以.所以.故选：D【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，考查函数的极值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知三棱柱中，平面，点在棱上运动，记，且的面积为，则的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据已知得到，再求出.再研究公垂线DE的最小值和取得最小值时的位置确定函数的图像得解.【详解】因为，cos,由勾股定理得BC=.如图一所示，不妨设 则,过点D作DE,垂足为E.所以.所以的面积取决于DE的大小.当DE是两异面直线的公垂线段时，DE最短，面积最小.如图二所示，DE是公垂线段，四边形DEF是矩形，因为EF|, 由射影定理得所以.所以面积取最小值时，D点偏靠近,不是在中点，不具有对称性.故选：B【点睛】本题主要考查异面直线的距离和学生的空间想象分析能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知函数，对于，都有，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先分析得到函数f(x)在0,2上单调递增，再转化得到01恒成立，分析解答两个不等式恒成立问题即得解.【详解】由题得当时，,所以，所以函数f(x)在0,2上单调递增，因为f(1)=4+cos=3，所以f(1),所以1，因为1且02所以01.当1时，所以，当x=0时，显然成立.当0x2时，所以g(x)在（1,2）单调递增，在（0,1）单调递减，所以，所以.当0时，当x=0时，显然成立.当0x2时，令，所以k(x)在（0，2）单调递增，所以k(x)k(0)=0,所以函数所以函数h(x)在（0,2上单调递增，所以h(x)最大值=h(2)=.所以.综上得.故选：B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，满足，则_【答案】1【解析】【分析】直接利用数量积运算律化简即得解.【详解】因为，所以.故答案为：1【点睛】本题主要考查数量积的运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知，且，则_【答案】【解析】【分析】先求出sinx，再求得解.【详解】因为，且，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查同角的平方关系和和角的正弦的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知正方形的四个顶点都在双曲线的渐近线上，则的离心率为_【答案】【解析】【分析】根据已知得到以双曲线的两条渐近线恰好是正方形的两条对角线，所以，再化简求双曲线的离心率得解.【详解】设双曲线的方程为，所以双曲线的两条渐近线恰好是正方形的两条对角线，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.在中，为中点，且，则面积的最大值等于_【答案】【解析】【分析】作图，设ABC=,AD=BD=x,则,由正弦定理得再求出，再求面积的最大值.【详解】如图所示，设ABC=,AD=BD=x,则,在ACD中，由正弦定理得,在BCD中，DCB=,由正弦定理得所以,当时，,与已知矛盾，所以.所以所以.因为，所以.由题得.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形面积的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知等差数列为递增数列，且，是方程的两根.数列的前项和为，且满足.（1）求，的通项公式；（2）设数列的前项和为，且，求.【答案】（1），；（2.【解析】【分析】（1）由题得，再求出等差数列的通项，利用项和公式求的通项公式；（2）由题得，再利用分组求和得.【详解】（1）因为方程的两根为和，且数列为递增数列， 所以. 设数列的公差为，则，所以，所以. 当时，由，解得；当时，因为，所以，以上两式相减得， 所以，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）得，设数列的前项和为，数列的前项和为，所以 ， 所以 ，所以.【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法，考查项和公式求数列的通项，考查分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，在三棱锥中，为等边三角形，面积是面积的两倍，点在侧棱上.（1）若，证明：平面平面；（2）若二面角的大小为，且为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明AD平面BCM，再证明平面平面；（2）先分析得到，以O为原点，以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）证明：因为，所以，所以 取BC中点O，连结DO,AO，所以DOBC，AOBC， 因为，所以BC平面AOD，所以BCAD， 又因为BMAD，所以AD平面BCM，所以平面ACD平面BCM （2）由（1）知，是二面角D-BC-A的平面角，所以， 过作交延长线于G，因为BC平面AOD，平面AOD，所以，因为，所以平面如图，以O为原点，以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 设 ，则，又因为，所以，在中，所以 ， ，所以， 所以，设是平面DCA法向量，则即取，因为点是线段的中点 ，所以，所以 ， 设直线BM与平面DCA所成角的大小为，则，所以直线BM与平面CDA所成角的正弦值为【点睛】本题主要考查空间线面垂直关系的证明，考查线面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.今年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的教育部2020年部门预算中透露，2020年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2020年印发的博士硕士学位论文抽检办法通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进得复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为，求；（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元.现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由.【答案】（1）；（2）若以此方案实施，不会超过预算.【解析】【分析】(1)先求出一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率，再求出一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率，再把它们相加即得解；（2）先求出，再求出其最大值，比较最大值和预算的大小即得解.【详解】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为， 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为， 所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 .（2）设每篇学位论文的评审费为元，则的可能取值为900，1500. ， ， 所以. 令,.当时，单调递增,当时，在单调递减,所以的最大值为.所以实施此方案，最高费用为（万元）.综上，若以此方案实施，不会超过预算.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查随机变量的期望的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.双曲线：的左右顶点分别为，动直线垂直的实轴，且交于不同的两点，直线与直线的交点为.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点作的两条互相垂直的弦，证明：过两弦，中点的直线恒过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1) 设 则且，再求出直线的方程为，直线的方程为， 再消去即得点的轨迹的方程；（2）先求出D的中点，的中点， 再证明过两弦，中点的直线恒过定点.【详解】（1）因为， 设 则且，因为动直线交双曲线于不同的两点，所以且， 因为直线的方程为，直线的方程为， 得， 把代入上式得，化简得， 所以点的轨迹的方程为. （2）依题意得直线与直线斜率均存在且不为0，设直线的方程为，则直线的方程为， 联立得，则，设， 所以的中点，同理的中点， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 整理得， 所以直线恒过定点，即过两弦中点的直线恒过定点.【点睛】本题主要考查动点轨迹方程的求法，考查椭圆中的定点问题，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，记的最小值为，证明：.【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对a分两种情况讨论，利用导数求函数的单调区间；（2）由（1）知， 再构造函数，求得取得最大值小于即得证.【详解】（1）因为的定义域为， 又， 所以当时，在单调递增 当时，若时，在单调递减；若时，在单调递增综上，当时，在单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增 （2）当时，由（1）知， 令，则， 令，则，所以在单调递减，又，所以存在，使得，且， 所以当时，单调递增；当时，单调递减；所以当时，取得最大值， 因为 ， 令，则在单调递减， 所以，所以， 因此当时，即【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值和证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数，且，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极