陕西省留坝县中学2020届高三数学上学期开学调研考试试题 理（通用）

留坝县中学2020届高三上学期开学调研考试理科数学考生注意:1.本试卷分第卷(选择题)和第两部分共150分，考试时间150分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上3.本试卷主要考试内容:高考范围第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、已知集合，则中的元素的个数为（ ）A个B个C个D无数个2、已知是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确的命题是（）ABC. D3、经过点作圆的切线，则的方程为（ ）A B或C D或4、勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为( )A B C D5、已知函数，将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数的图像，若，则的值可能为（ ）A B C D6、在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,AC与BD相交于点O，过点A作，垂足为E，则（ ）A B C D7、若, 是第三象限的角,则（ ）A B C2 D-28、已知函数在上有最小值-1，则的最大值（ ）A B C D9、已知点（x，y）满足不等式组，则z=x-2y的最大值为（）A B C1 D210、已知椭圆的左，右焦点分别F1，F2过F1的直线交椭圆于,两点，若的最大值为5，则的值为（ ）A1 B C D11、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为棱AB,BB1上的点，若AA1=4，AB=8，BE=2BF=2，则异面直线EF与CD1所成角的余弦值为（ ）A B C D12、函数满足， ，若存在，使得成立，则的取值（ ）A B C D第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是_14、已知抛物线的焦点为F,E为轴正半轴上的一点且（为坐标原点），若抛物线C上存在一点，其中，使过点M的切线，则切线在轴上的截距为_15、设，an为的展开式的各项系数之和， （表示不超过实数x的最大整数），则的最小值为_16、四棱锥中，平面ABCF， ，已知是四边形ABCD内部一点，且二面角的平面角大小为，若动点的轨迹将ABCD分成面积为S1 ,S2(S1S2)的两部分，则S1:S2=_.三、解答题：本大题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(12分)、在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c且cosA4，asinC5.（1）求边长c；（2）著ABC的面积S20.求ABC的周长18（12分）、已知数列满足，其前项和为，当时，成等差数列.（1）求证为等差数列；（2）若，求.19（10分）、每年的金秋十月，越野e族阿拉善英雄会在内蒙古自治区阿拉善盟阿左旗腾格里沙漠举行，该项目已打造成集沙漠竞技运动、汽车文化极致体验、主题休闲度假为一体的超级汽车文化赛事娱乐综合体.为了减少对环境的污染，某环保部门租用了特制环保车清洁现场垃圾.通过查阅近5年英雄会参会人数（万人）与沙漠中所需环保车辆数量（辆），得到如下统计表：参会人数x（万人）11981012所需环保车辆y（辆）2823202529（1）根据统计表所给5组数据，求出关于的线性回归方程（2）已知租用的环保车平均每辆的费用（元）与数量（辆）的关系为.主办方根据实际参会人数为所需要投入使用的环保车，每辆支付费用6000元，超出实际需要的车辆，主办方不支付任何费用.预计本次英雄会大约有14万人参加，根据（）中求出的线性回归方程，预测环保部门在确保清洁任务完成的前提下，应租用多少辆环保车？获得的利润是多少？（注：利润主办方支付费用租用车辆的费用）参考公式：20（12分）、已知函数，.（1）求的单调区间；（2）若在上成立，求的取值范围21（12分）、已知P（0，2）是椭圆的一个顶点，C的离心率（1）求椭圆的方程；（2）过点P的两条直线l1，l2分别与C相交于不同于点P的A，B两点，若l1与l2的斜率之和为-4，则直线AB是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（12分）.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）过点倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.23（12分）.选修4-5：不等式选讲已知函数，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.留坝县中学2020届高三上学期开学调研考试理科数学 参考答案第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】C【解析】集合和集合表示两个圆上的点，根据圆心距与半径之间的比较，可确定两圆位置关系，根据位置关系可知公共点个数，从而得到结果.【详解】可知圆心距：得： 两圆的位置关系为相交中有个元素本题正确选项：2.【答案】B【解析】由面面垂直的判定定理，可判断的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断的真假【详解】若，如图，则与不一定垂直，故为假命题；若，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则；故为真命题；若，则，故为真命题；若，如图，则与可能相交，故为假命题故选：B3.【答案】C【解析】设直线存在斜率，点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率，再讨论直线不存在斜率时，是否能和圆相切，如果能,写出直线方程，综上所述，求出切线方程.【详解】，圆心坐标坐标为，半径为，当过点的切线存在斜率，切线方程为，圆心到它的距离为，所以有，当过点的切线不存在斜率时，即，显然圆心到它的距离为，所以不是圆的切线；因此切线方程为,故本题选C。4.【答案】B【解析】利用3个扇形面积减去2个正三角形面积可得勒洛三角形的面积，利用几何概型概率公式可得结果.【详解】如图：设，以为圆心的扇形面积是，的面积是，所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即，所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是，故选B.5.【答案】D【解析】结合三角函数平移原理，得到的解析式，计算结果，即可。【详解】化简，得到，根据三角函数平移性质可知，当将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数解析式为，当把所得图像向上平移个单位长度，得到，故，要使得，则要求，故选D。6.【答案】B【解析】通过线性运算将变为，由垂直关系可知；由数量积定义可求得，代入得到结果.【详解】如图：由，得：，又 又本题正确选项：7.【答案】A【解析】， 为第三象限，,考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式8.【答案】B【解析】根据在上，求内层函数范围，结合余弦函数的性质可得答案.【详解】函数，在上有最小值1，根据余弦函数的性质，可得可得，故选：9.【答案】C【解析】作出满足不等式组的平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最大值，所以，故选C考点：简单的线性规划问题10.【答案】C【解析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|8|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|8|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值【详解】由0b2可知，焦点在x轴上，a=2,过F1的直线l交椭圆于A，B两点，|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|2a+2a4a8|BF2|+|AF2|8|AB|当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|b2，58b2，解得故选11.【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，用空间向量求解即可.【详解】解：如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，因为，设所以点，所以，所以因为异面直线角为锐角或直角所以异面直线与所成角的余弦值为故选：A.12.【答案】A【解析】由题意设，则，所以（为常数），令，则，故当时，单调递减；当时，单调递增，从而当时，在区间上单调递增设，则，故在上单调递增，在上单调递减，所以不等式等价于， ，解得，故的取值范围为选A点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数，并进一步求得函数的解析式，从而得到函数在区间上的单调性然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.【答案】【解析】不妨设 ，则，令，可得，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得结果.【详解】作出的函数图象如图所示，由，可得， 即，不妨设 ，则，令，则，令，则，当 时，在上递增；当时，在上递减；当时，取得最大值,故答案为.14.【答案】-1【解析】先对函数求导，求出抛物线在点处的切线斜率，再根据，得到点坐标，由过点的切线，求出点坐标，进而可得切线方程，即可求出结果.【详解】因为抛物线方程可化为，所以，因此抛物线在点处的切线斜率为；又为抛物线的焦点，所以；因为为轴正半轴上的一点，且，所以，所以，因为过点的切线，所以，解得，因为在抛物线上，所以，因此；所以切线方程为或，即，因此切线在轴上的截距为15.【答案】【解析】利用赋值法，令可得：，利用数学归纳法证明：，当时，成立，假设当时不等式成立，即，当时：据此可知命题成立，则，故，的几何意义为点 到点的距离，如图所示，最小值即到的距离，由点到直线距离公式可得的最小值为.16.【答案】【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b0）由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），=（2，0，1），=（2，b，0）. =（2，0，0）设平面APD的法向量为=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量为=（x2，y2，z2）则即，令y1=0得=（0，1，0），令z2=2得=（1，2）二面角QPDA的平面角大小为，cos=即解得b=SADQ=S梯形ABCDSADQ=S1S2，S1=，S2=S1：S2=（34）：4.故答案为（34）：4.点睛：本题的关键是找到点Q的轨迹在四边形ABCD内的部分，它就是一条线段DQ，确定点Q在y轴上的位置,由于本题的背景比较适宜用坐标系和空间向量来解答.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.【答案】（1）；（2）8+2试题分析：（1）由正弦定理化简已知等式可得，又由，可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值（2）由已知利用三角形的面积公式可求的值，由余弦定理可解得的值，即可计算得解的周长【详解】（1）由正弦定理可得：，可得：asinCcsinA，asinC5，可得：csinA5，可得：sinA，又ccosA4，可得：cosA，可得：sin2A+cos2A1，解得c（2）ABC的面积SabsinC20，asinC5，解得：b8，由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA64+41241，解得：a，或（舍去），ABC的周长a+b+c+8+8+218.【答案】(1)见证明；(2)试题分析：(1)根据等差数列的概念得到，变形化简得到，则，得证；（2）根据第一问得到的结论得到，即，由得，即，联立两式求解.【详解】（1）当时，由，成等差数列得：，即，即，则，又，故是公差为1的等差数列.（2）由（1）知数列公差为1，由，得，即，由得，即，联立解得：.19.【答案】（1）（2）需要租用35辆环保车，获得的利润为108500元试题分析：（1）利用表中所给数据，求出最小二乘法所需要的四个量，再利用线性回归方程计算公式分别求出即可得回归方程.(2)利用回归方程先算出需要的车辆数，然后用主办方支付的总费用减去租车费用即为获得利润.【详解】（1）关于的线性回归方程（2）将代入得为确保完成任务，需要租用35辆环保车，所以获得的利润元20.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.试题分析：（1），利用，解得，即可得出单调区间（2）法一：由得，即令，利用导数研究其单调性即可得出法二：由得，即，令，利用导数研究其单调性即可得出【详解】解：（1），当时，单调递增；当时，单调递减，故单调递增区间为，单调递减区间为.（2）法一：由得，即，令， ，在单调递增，又，所以有唯一的零点，且当时，即，单调递减，当时，即，单调递增，所以，又因为所以，所以，的取值范围是.法二：由得，即，令，因为，所以存在零点；令，则，当时，单调递减，当时，单调递增所以，所以，所以的取值范围是21.【答案】（1）；（2）见解析试题分析：（1）由题意可得，解得a=，b=2，c=，即可求出，（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，根据韦达定理和斜率公式，即可求出y=kx-k-2=k（x-1）-2，可得直线过定点，当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=m，易求出直线AB经过定点，定点为（1，-2）【详解】（1）由题意可得，解得a=，b=2，c=，椭圆的方程为+=1，（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理，可得（3k2+2）x2+6